LIVRE DEUXIÈME. m

ainsi l’on a définitivement la formule suivante, due à Lhuilier, de Genève :

tangos = y/ [tang î tang tang (~î~) tang (-,“)] ' (8)

Toutes les relations précédentes sont connues ; mais la route qui nous y a conduit nous paraît nouvelle et directe , et c’est ce qui nous a engagé à les reproduire ici.

90. Avant de terminer cette matière, appliquons d’abord la formule (6) à la recherche du maximum d’aire d’un triangle sphérique dont deux côtés sont constants; et dans ce but, égalons à zéro la différentielle du second membre de cette formule , afin de caractériser ce maximum ; il viendra sur-le-champ

ou bien

0=1+ co t\a cot \b cosC, o = sin^<2 sin^Æ cos^<z cos^ cos G.

Or, en mettant successivement pour cosC ses deux valeurs, i — asin2^C et 2cosa^C — i , on a

acos^a cos-^6 sina|C = cos|(<z — £>) , acos^a cosy^cos2^G = cos£(a-+-£);

et , divisant ces deux relations l’une par l’autre , il vient

tang2|C =

cos 7 [a — b) cos-j- (a-\-b)'

Mais, par une formule de Néper,

tang^ (A + B) =

i cos|(a — b)m tang y C ’ cos {(a -h b) 1

ainsi , définitivement ,

tang^C = tang \ (A -f-B) , et G=A + B.

Observons toutefois qu’on arrive au même résultat sans l’intervention du calcul différentiel, car en multipliant l’équation (3) précédente par la valeur de cos \ (A + B — C) trouvée à l’art. 66, on a cette expression nouvelle

sin{ 2 = tang|<z tang^Æ cos-|(A -+- B — C) , laquelle montre évidemment que l’aire 2 est un maximum lorsque C = A + B.

Ainsi de tous Les triangles sphériques formés avec deux côtés donnes et un twisième à volonté, le plus grand est celui dans lequel ! angle compris par les deux côtés donnés, est égal à la somme des deux autres angles.

Cherchons pareillement l’aire maximum d’un triangle sphérique dont le périmètre est donné , et pour cet effet ayons recours à la formule (8), dans laquelle le côté c = is — a — b , puis faisons tang^ 2 = u , pour abréger ; on aura

u = y tang \ s tang£ (, s — a) tang|(j A) tang{ (a + b — s) ,

et les équations relatives au maximum étant — = o, = o, on trouvera d’abord

du tangy(j — a) tangÿ(« -+- b — s )

da cos*j(a-+-Â — s) cos*ÿ(j — a) ° 1

ou , en réduisant ,

ensuite

ainsi

du

ai - s,n (f - «) -

sin (a ■+■ b — s) = o ;

jï = sin (s — b) — sin [a + b — s) = o :

et par conséquent