LIVRE DEUXIÈME. n

D’ailleurs les coefficients différentiels ’d^db * ctô* ®tant ils indiquent que m est un maximum. Donc, entre tous les triangles sphériques ou rectilignes de même périmètre , le triangle équilatéral est le plus grandi?).

On trouvera au livre VII de la Géométrie de Legendre, d’autres démonstrations de ces deux théorèmes, et les conséquences qui en découlent.

La formule (4) , qui donne l’aire d’un triangle en fonction des trois côtés, procure une expression très-simple du rayon du petit cercle inscrit. En effet, p dénotant ce rayon, l’on a, par l’art. 88,

tang/3 = tang^ A sin (.? — a) ;

partant,

t.ang3p = tang^ A tang|B tang^C sin ( s — a) sin ($ — b ) sin ($ — c).

Substituant pour tang^A , tang^B, tang^C leurs valeurs (art. 64), il vient, réduction faite, et après avoir extrait la racine cubique,

tang p =

y/sin(j — a) sin (s — b) sin (f — c) y^sin s

et enfin , à cause de la formule (4),

tang p =

2sin-j2cos-j a cos-fc sin s

(*) Au reste, la démonstration analytique de cette proposition relative au triangle rectiligne n’exige paslesecours du calcul différentiel, car, à cause de (s-a) -+- (s - b -f -(s-c) = s, il suffit de prouver que le produit des trois parties d’une quantité est plus petit que le cube du tiers de leur somme. Or si x, i4 - x H- S -h S ' sont généralement, par ordre

de grandeur, ces trois parties, le tiers de leur somme sera x H - - — ; et si l’on dé-

velo ppe les deux expressions

on reconnaîtra que le second résultat est plus grand que le premier.

n4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

expression qui rentre nécessairement dans celle relative au triangle rectiligne, lorsque les côtés du triangle sphérique sont infiniment petits.

Quant au rayon R du cercle circonscrit (art. 65), il est donné par cette équation

tan rr R = tangT* tangT^ tangue.

o sinÿZ 1

et si l’on cherche ce qu’elle devient dans le cas du Ier théorème précédent, on trouve R=|c, à cause de tangua tangT £=— cosC=sin-‘-Z: ainsi le centre du cercle circonscrit au triangle sphérique dont faire est un maximum , est au milieu du côté variable -, et l’on conclut de cette propriété que

sin2|a + sin2TA = sin2^c.

On reconnaîtra avec non moins de facilité que le sinus de la plus courte distance du sommet de l’angle C au côté opposé c, ou de la hauteur p du triangle ABC (art. 79) , a pour expression

2cos -r a cos t b . ,

smo = - *. — sin^

1 sin — /»

2 étarlt toujours faire de ce triangle.

Démontrons encore, par l’analyse trigonométrique , ce beau théorème dû à Lexell , savoir : que les sommets de tous les triangles sphériques de même base et de même surface se trouvent sur un cercle unique.

Soient a, b , c les trois cotés d un de ces triangles , c la base commune et 1 sa surface; prolongeons les arcs a , b vers le sommet de l’angle C qu’ils forment, de manière que chacun d’eux soit égal à une demi-circonférence tc : alors la plus courte distance de leurs nouvelles extrémités A', B', mesurée sur la sphère, sera égale au côté c; et si nous faisons a' = tc — a,b' = Tc — b , non-seulement le triangle a' b'c aura meme sommet C que le triangle abc ; mais, d’après ce qui a été démontré (art. 66), le rayon R du cercle qui lui sera circonscrit sera donné par cette relation

tang R =

jsin-ja' sinÿé'sinÿc

V i — cos1 a ' — cos2 b’ — co c* c + -icos a ' cos b ' cos c

Or on a