LIVRE DEUXIÈME

cosa'=— cos a, cosb'=—cosb, sin|«' = cos|a, sin^£'=cos|&;

par conséquent

icos-^acos^b cos-yc tanche tangR = - M- — •

D’ailleurs I étant l’aire du triangle sphérique ABC dont les côtés sont abc , l’on a

SinjZ = t - f - ~r - •

1 4 c°s 7 a cos 2 b cos ~ c

multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

tang R =

tang|c sin {2

Donc R est une quantité constante, donc enfin la circonférence qui passe par le sommet C et par les deux points A', B' diamétralement opposés aux extrémités A , B de la base commune, est, ainsi que M Steiner l’a fait remarquer le premier, le lieu géométrique des sommets de tous les autres triangles équivalents. Cette démonstration, beaucoup plus courte que celle de Legendre , complète en même temps le théorème de Lexell renfermé dans l’énoncé précédent; mais celle de M. Steiner, fondée sur des considérations purement géométriques , est d’une admirable simplicité. [Voyez le Mémoire de cet habile géomètre , inséré dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, tome VI (i 84 1)-]

Les auteurs de Traités de Trigonométrie sphérique à l’usage de l’Astronomie, donnent ordinairement une collection de formules différentielles trigonométriques , et même de formules aux différences finies : nous en démontrerons quelques-unes à mesure que le besoin s’en fera sentir ; maison pourra consulter, pour plus de détails, le ier volume de Y Astronomie de Delambre , ou la Trigonométrie de Cagnoli , 2e édition , traduite de l’italien par Chompré.

Voyons maintenant la résolution des triangles, par la voie des séries.