LIVRE DEUXIÈME. n

cos x = cos x , sin .r = sin x ,

2 COS 2 J? = COS 2X+ I , 2*sin 2 X = — C0S2X-+- I ,

4cos3^ = cos 3 J? -+- 3 cos x , 4sin3 J? = — sin 3# H- 3 sin x ,

8cos* .r = cos l\x + 4 cos A- 3, 8 sin4 x = cos4*^ — 4COS2-r-i“ 3.

Nous aurons aussi occasion de convertir en parties du quadrant , ou en grades, un arc donné en parties du rayon pris pour unité. Cette opération est fondée sur la considération suivante :

Si l’on suppose que le rayon soit développé sur la circonférence, il comprendra un nombre de parties du quadrant , que l’on obtiendra à l’aide de la proportion

n désignant la demi-circonférence d’un cercle dont le rayon = i, Q le quadrant, et R un arc égal au rayon.

Dans la pratique, iQ dépend du système de division que l’on adopte; ainsi, dans l’hypothèse que iQ = ioo grades ou degrés décimaux, Je rayon sera exprimé en centigrades ou minutes centésimales, par

RX = 20^00 = 6366', 1977237,

dont le logarithme = 3 80388012297, à cause de7r = 3, i4i 5926535g, et de 2q = 20000'.

De même le rayon sera exprimé en décimilligrades ou secondes centésimales, par

Rl= *000000 = 6366l9.,77a37,

dont le logarithme est 5 . 8o388oi . Nous employons l’accent grave pour désigner les minutes et secondes de degré décimal , afin qu’on 11e puisse pas les confondre avec les minutes et secondes de degré sexagésimal.

Ainsi, un arc quelconque, donné en parties du rayon considère comme unité, sera exprimé en secondes, par exemple, en le multipliant par R" ; et un arc donné en secondes sera converti en parties du rayon , en le divisant par R".

Si l’on employait l’ancienne division du cercle, on aurait, à cause de îq = 180 x 3600'',

R" = 206264", 8, et log R" = 5. 3i 44^5 1 .

Il est remarquable que R" = ^77, 1 du moins à très-peu près. Pour

s’en convaincre, il suffit de remarquer que le sinus de 1", vu sa petitesse , pouvant être pris pour l’arc même , on a sensiblement

- r, = — : mais — — „ — R" exactement ; donc sin 1 arc i arc i

^ sin i"*

Nous ferons, par la suite, usage de l’une et de l’autre expression du rayon réduit en secondes.

RÉSOLUTION D’UN TRIANGLE RECTILIGNE DONT DEUX COTÉS SONT DONNÉS AVEC L’ANGLE COMPRIS.

i°. En supposant cet angle très-obtus ;

i°. En supposant qu’un des côtés donnés soit très-petit à l’égard de Vautre.

92. Soient a , b les côtés connus, et C = 2* — 9 l’angle compris, 9 étant très-petit.

La formule (A) de l’art. 47 donnera, en conservant la notation qui y est indiquée, et en faisant attention que le cosinus de C est négatif,

cî = <iî + i2 + iab cos 9\

mais l’angle 9 est si petit par hypothèse, que les tables des sinus qui ne renferment les logarithmes qu’avec sept décimales, ne donneraient pas le log cos 9 avec assez de précision ; ainsi l’évaluation du terme iab cos 9 ne serait pas assez exacte : à la vérité on pourrait , dans ce cas, recourir à la formule de la page 57, mais il vaut encore mieux procéder ainsi qu’il suit.