LIVRE DEUXIÈME

trique ; car en divisant le on aura pour quotient

premier membre haut et bas par e

e‘By/ — i — i A — i

ou pour abréger, — ;

et le second membre pourra s’écrire ainsi :

a — be~ C yT~~ 1 — (a — beC ^ ~~ 1 ) a — be~ ^ ^ — *-j- a — beC ^ ~ 1

, ou, plus simplement,

L’équation (3) est donc de la forme

« — » fi — y .

a-f- i fi -\-y

or , si dans cette dernière on chasse les dénominateurs , et que l’on réduise, on trouvera

et si l’on remplace a, (3, y par les valeurs que ces lettres représentent, on aura

aB sj — i e

a — be

- be

ou prenant le logarithme népérien de chaque membre , sB \/— i = logN — logD.

Maintenant, développant le second membre d’après la formule connue, log (i — x) = — ^ - - T — etC*’ °n aura

*cc'/-' + ±-elCv'-' +Lic'-'+...

a aa* 3a3

4le-,cV-,

puis divisant tout par 2 l/— 1 , et réduisant au moyen de la formule

emC \J—i g— m Cv^T - — - = sin. mC,

on aura enhn pour la valeur de l’angle B, exprimée en parties du rayon,

B = ^ sinC-p sin 2C sin 3C-f- .

Cette série élégante, à laquelle Delambre est parvenu le premier, est évidemment d autant plus convergente , que b est plus petit à l’égard de a : elle donnera B en secondes en multipliant tous ses termes par R".

Il suit de là que si l’on avaità résoudre l’équation tane x = - (,sinC

^ o i-f-rcosC*

et que v fut une très-petite fraction, comme ci-dessus, on aurait

x = v sin C — ^ sin 2C4- ^ sin 3C— .

Pour avoir le logarithme du côté c par une série qui procède suivant les cosinus des multiples de l’angle opposé, mettons au lieu de cosC sa eC \J — r j e — C \j — 1

valeur - - - ; on aura

c3=a'-+-b2 — abeCxJ~x — abe~C et par conséquent

c2 = (a — beC [a - l,é~c'f~')

Prenant le logarithme de chaque membre, et réduisant en série il vient

a loge = 2 loga - - e Cyf=; e*V^T

^e“CV/r' ^ -3C