LIVRE DEUXIÈME. i

puis simplifiant à l’aide de la formule cos mC = ±

réduisant et changeant les logarithmes népériens en logarithmes vulgaires, on a

log c = logÆ — fA. b- cos C — (JL A cos 2C — fJL ~ cos 3C — . . . ,

/ 1 désignant le module 0,4342945. Cette série très-remarquable est due à Legendre.

ETANT CONNUS l’hYPOTÉNUSE d’üN TRIANGLE SPHÉRIQUE RECTANGLE, ET UN DES ANGLES OBLIQUES, TROUVER LA VALEUR DU COTÉ ADJACENT A CET ANGLE, EXPRIMÉE EN SÉRIE.

94. L’équation qui donne le côté de l’angle droit c en fonction de l’hypoténuse a et de l’angle compris B est, d’après l’art. 56,

tang c = tang a cos B ;

on a donc

tang a — tang c = tang a(i — cos B ) , tang a 4- tang c = tang a (1 4- cos B);

or, si l’on divise les deux équations l’une par l’autre, il viendra

ou

tang a — tang c 1 — cos B

tang a -h tang c 1 -f- cos B ’

sin ( a — c) sin (a 4- c)

tang3{B;

et si l’on change les sinus en exponentielles imaginaires , on aura

e(a-C)s/-i e-{a-C)^fZl g(a 1) \/~i e — (a|-c)yCr7

tang2! B;

Multipliant et divisant par on trouve

d’où

ei{a-c)\[^\ — j | tang2|B.eW-‘ — tang2| B . e ~ ac sf~"1 ■

Mais

el{a-c)\J-

- tang^B.e-^- = - tangJ |B . ■ substituant cette valeur dans l’équation précédente, on tire enfin

ei(«-c)vcn ■ + ■»■«•* b.«W~ï .

i -h tang 1 \ B . e~~ %asf~ '

Maintenant si, comme dans l’article précédent , on prend de part et d’autre les logarithmes népériens, et que l’on développe en vertu de

la formule log (i H- z) = z — *— -h *— — il viendra

2 (/. o) y^7= tang H tang H Be v^T + ± tang H B^6a ^ - • • . .

— tang 1 1 Be ~ W- ‘ j tang 4 j B<? ~ 4“^ — j tang 6 j Be -h • •

et enfin

a c = tang* -jB sin 2« — tang4 -j-B sin -+- ÿ tang6 -j- B sin 6« .

Cette série, que Lagrange a publiée pour la première fois dans les Mémoires de l’Académie de Berlin , année 1776, se déduit aisément de celle de l’article précédent, comme on peut s’en assurer; elle n’est qu’un cas particulier d’une autre plus générale, que Legendre a donnée dans ses Exercices de Calcul intégral , lorsqu’il s’est proposé de développer en séries convergentes l’arc dont la tangente est donnée par une fonction rationnelle des sinus et cosinus d’un autre arc indéfini ( voyez cinquième partie, page 238).

95. Soit généralement tang c = 0 tang a; on aura, d’après ce qui précède ,

a - c = — 0 sin aa - i ) sin 4« + .

Si l’on voulait avoir a — c en fonction de c, on tirerait d’abord de