LIVRE DEUXIEME

l’équation hypothétique , tanga = | tang c, ou, pour abréger, . . . tang a = $' tangc; ainsi, en vertu de la série précédente, on aurait

c - « = tt? sin 2C - * (ttv)' sin 4c+i (t^?) sin 6c ’

ou

; - i GtI)1 sin 4c + * (rrr)* s,n 6c ;

ou bien , en changeant les signes ,

a-c= (i^)sii,2c+i(i^),sin4c + |(^) sin6c.

Ces séries ne peuvent être utiles dans la pratique , qu autant qu elles convergent rapidement, ce qui exige que soit une fraction plus

petite que l’unité.

RÉSOLUTION d’un TRIANGLE SPHÉRIQUE DONT DEUX COTÉS SONT PEU DIFFÉRENTS DU QUADRANT.

96. Soient a et b les deux côtés donnés , supposés très-peu différents du quart de la circonférence; on propose de trouver C en fonction des trois côtés a, b, c.

Par hypothèse ,

et comme a et /3 sont très-pebts, l’angle C a pour mesure un arc trespeu différent de c. Soit alors

C = c + Jf|

sin^-C = sin-|(c-f- x) = sin^c + \oc cos^c,

puisque æ est fort petit ; et par suite ,

sin3 |C = sin2 {c x sin^c cos|c\

ia6# *

L’équation exacte

1 n sin|(ô-hc — «)sin j(a -4-c—

Mil 9 Vj - - ; ; i - y

A sinasinb

obtenue dans l’art. 64, résout la question proposée; mais vu qu’il serait pénible d’avoir C avec une grande exactitude, il vaut mieux calculer le petit excès x de l’angle C sur c. Pour cet effet, l’on mettra dans l’équation précédente pour a , b et sina^C leurs valeurs actuelles, et l’on aura

sin2 \c + x sin-^c cos^ c =

, sin,^ccos*7(a — p) — cosï-j-csm*j(« — P) .

cos a cos

puis prenant la valeur de x sin-^c cos -§-<?, il viendra

rSin4r^Xr-[CMH(»-W-^«CQ5^]sinHc-siD-|(»-p)cOS-|<-

cos a cos p

cos a cos/3=£cos (a -H ]3) -+• |cos(a— j3) = cosa|(a— jS)— sin24-(eH-/3),

puisqu’en général cosp = i — 2.sin2±p = acosa-^/> — i ;

donc

sin* y (a -h p) tangue — sin*-j(a — (3)cot \e COS a COS P

Telle est la formule à laquelle Delambre est parvenu par une voie différente: en prenant les petits arcs pour les sinus, elle rentre dans celle que Legendre a donnée; c’est-à-dire que l’on a, d’après cette hypothèse ,

x = i 0 “h Z3)2 tangue — K« — /3)acot \c. (2)

2e Solution. On parvient plus simplement à cette formule ainsi qu’il suit. D’abord, à cause de

on a