LIVRE DEUXIÈME

Renversant ces valeurs , et développant , il viendra

tang [locr - (®-±^)] = — ^tongiA,

tangue cotÿè tang je cotjé

tangjc

. ta,,g [loog ~ (V)] = 7~S,tan^A-

tang jê

Ces deux équations étant de la forme de celle de l’art. 95, on aura , en réduisant en séries par la méthode de cet article ,

ioo?

/B±Ç\ tang je

\ 2 2 cot \b

sinA

tangue cot1 j b

sin 2 A

, tang3j c 3 cot3|6

sin 3A -j- . . .

00* (-7-C) =*A + gg sin A +1» sin a A

tangs-J . . tang3 je . 0 .

+ J UngM-i SII“ 3A + • ■ •

d’où l’on tire, par addition et soustraction ,

200*— B=A— [tang \b — cot \b\ tangue sin A + i[tang2^ -+- cot2|6] tangue sin 2A — Ktang3i^ ~ cot3{6] tangue sin 3A 4- . . . et

C= [tang \ b 4- cot \ b] tang \ c sin A — \ [tang2 \b— cot2 { £] tang2 1 c sin 2 A -4- 1 [tang3 \ b -f- cot3 \ b\ tang3 \c sin 3A — . .

Ces deux séries régulières, dont la loi est évidente, sont dues à Lagrange: elles convergent d’autant plus rapidement, que c est plus petit par rapport aux deux autres côtés.

98. Il reste, pour compléter la solution du problème dont il s’agit, trouver le côté a en fonction des mêmes données b , c , A. Or, de l’é-

quation

cos a = cos b cos c -f- sin b sin c cos A on déduit aisément celles-ci :

sin 2 \a= sin2 \ b cos2 ! c-+- cos2 \ b si n2\c — i sin \ b cos|c cos^è sin \ c cos A , cos2 \a = cos2 \ b cos2! *H-sin2!ù sin2! c-f- îCO$\b cos ! c sin !&sin \ c cos A ;

d’où Ton voit que sin \ a peut être considéré comme le troisième côté d’un triangle rectiligne dont on connaît les deux côtés sis \ b cos! c, cos ! b sin ! c, et l’angle A compris. Appliquant donc la méthode de l’art. 93, on a, en logarithmes vulgaires ,

log sin \a = log (sin ! b cos! c) — (± cos A - /x — ë^,c. cos 2 A — . . ,

- ’ ‘ tang \b *2tang ’

et

log cos ! a= log (cos ! b cos ! c) -h p. cos A — pi cos 2 A-+- . .

p étant le module 0,434^945 ; par conséquent en soustrayant, Ton a , en logarithmes népériens,

log. tang!« = log. tang ^b— tang!c[tang! b-\-cot\b] cosA -+- \ tang2 ! c [tang2 \ b — cot2 \ b\ cos 2 A — !tang8!c[tang3!ù-t- cot3!ô] cos3A -h . . .

Cette série et les précédentes n’étant pas sous une forme qui permette d’évaluer facilement les quantités qu elles représentent , lorsqu’un des côtés connus est très-petit par rapport à l’autre, il est nécessaire d’en obtenir d’autres qui soient développées suivant les puissances ascendantes de ce côté; et c’est à quoi Ton parvient par la voie élémentaire suivante.

99. 2e Solution. Dans le triangle sphérique A, B, C on a ( f \ cos a = cos b cos c H- sin b sin c cos A ,

(2) tanë> cotèsinc — cosccosA*

sin A

(3) c0t c sin b — cos b cos A ’