LIVRE DEUXIÈME. i3i

Ordonnons d’abord le second membre de l’équation (i) par rapport aux puissances ascendantes de l’arc c; en y mettant au lieu de sine et cos c leurs valeurs en séries (art. 91) ; on aura, en s’arrêtant aux termes en c8,

cos a — cos b fi — — ) sin b (c - c Q ) cos A.

= cos b -+- c sin b cos A — \ c2 cos b — jC3 sin b cos A , ce qui fait voir que

(4) a = b -h cP -t- caQ 4- c8 R-p . ,

P, Q, R,... étant des coefficients indéterminés. Prenant donc le cosinus de chaque membre de cette série hypothétique , il viendra

cos a = cosÆ

— cP sin b —

Q sin b — c3 P2 cos b — c3

(^R - g- ) sin b

PQ cos&;

et comparant terme à terme cette valeur de cos# avec la précédente, on trouvera , après quelques réductions faciles ,

P = — cos A,

Q = + |cot6 sin2 A,

R = -t- -p cot2 b) cos A sin2 A ;

ainsi en portant ces valeurs dans la série (4)> on obtiendra celle-ci :

(I). a = b-c cos A H- \ c2 cot b sin2 A -P i c3 cos A sin2 A (j -P cot2 b)...

Le moyen de déterminer maintenant l’angle B est de faire

tangvaoo°— A — B) = tang (ioo— A + ioo-B) = tangue,

car 2oo° — A — B étant un très-petit angle , on pourra le développer en série suivant les puissances de sa tangente. En effet ,

cot A tang B -p i tallgX= tang U — cot A~ *

i32 traité de géodésie.

et si pour tang B on met sa valeur (a) , on aura

sinAcosA(i — cosc) -f-cotè sine sinA tang JT j — cos*A(i — cosc) — cotisinccosA

-j-cJsinA cos A -h ^c — sin A coté

,î 2 cos2 A — Çc— ^cosAcot b

Réduisant le second membre en série par la formule du binôme , on obtiendra , après les réductions ,

tang x = c sin A cot b -H c2 sin A cos A •+- cot2 b)

-t- c3 sin A cos2 A cot A(i + cot2 b)

— ~ sin A cot b.

Mais en général

x = tang x — ^ tang3 x -4- . ;

ainsi substituant ici pour tang x sa valeur précédente , et faisant attention que sin3 A = sin A (i — cos2 A), 1 on aura la sérié

(II). 2oog — B = A -t- c sin A cotb -+- jC2 sin A cos A (i -t- a cot2 b)

H- j c3 sin A cos2 A cot b (3 H- 4 cot2 b) — ^ c* sinAcotè (i + 2 cot2 b). . .

Il reste à obtenir l’angle C. Or, l’équation (3) devient, en y mettant pour tang c sa valeur en série ,

tarie G = —

55 sin

sin A tang c

sin b — cos A cos b tang puis développant également en série, il viendra

sin b ( t — cos A cot b

tangC

sinA , sin A cos A coté c3 sin A , sin A cos* A cot1 b

= CT:-T + ^ - HT* - + 3 sinT + c - Sintr— ;

sin 6

sin b

et parce que

C = tangC — { tang3 C -+-