Far ce qui précède, on a

8În X'' = sin X cos {tr' -f- Ç) sin X' = sin X cos a^ ). (i)

sîn X sin 0-' = cos y^

50S (or' -H Ç) I DOS a' >.

' COS X'

Ces relations sont d'un merveilleux secours pour la solution du problème qu'il s'agit de résoudre maintenant. D'abord si dans les équations {V) de l'art. 36 1, qui font voir que X'' est compris entre *j- A et — * Ay on Ëdt, par cette raison,

sin X" = sin A cos a"^

d'où il suit que a" z:na*+^\ elles deviendront, par la substitution de cette valeur, et en Ëdsant de plus a' = 6* (i -+• «),

, ... t cos A. A^t/r-4» i iJD* AC08* ^ \

^* — fl(i— sin»A cQa«0 l (tf^j

ds s=5 bch'* ViH-.«sin*Xcos*V ) mais puisque cr'' = a' *|- ^> on a, en regardant ^ comme constant,

de plus, si l'on feit J = 17, on aura

et U pourra être considérée conmie une quantité très petite du même ordre que €; partant

du =: d^ Vi + « siû' A cos» (<y' +?)• .j 3o

s54 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Qr, pour n'admettre daos ]a valeur de l/qae de» termes da troiaîème

ardre, il sMflSra de prendre

008 {^ -I- §) c=: C08 0»* — ^ SÎÛ O^,

cos^ (o"' 4- 0) = cos* «•' — a^ sin or' cas o-,

C08*(^' + ^) = COS^Or';

et comme le dévelQppement de l'équation précédente çst i/Z/sïçd^Ci-l-icsin^Acas^Cd'-hÇ)— ï«'sin<Aoo»Ha'-M)]

on a, en intégrant entre les limites m^ et Tn!*, et remarquant que lai constante est nulle, vu que 27et ^ s'évanouissent en même tems,

I7=Ç(i+|£sin'AcosV — |6»sin*Aco8*o^)— 7f*(€8in*Xoo8«r^8ina'); ensuite, si l'on a égard aux deux dernières relations (5) , il vient £;^=0(i'+i6sin*A'— i€-sin*V)— ï?*^cos^'sinA'cosX',

et réciproquement, par le retour des séries,

0^C/^(x — i$ain»A'+|c»sin*A')+iC/^€cosr'8inA'co8A' (0;

^» = î/-* (i — . € sin* A'), Iç'^ïr.

Actuellement , il s'agit d'obtenir le développement de la latitude A'' en fonction de A^ et des puissances de l'arc ^, sur une sphère dont le i^ajQn est h :or, à cet égard, le théorème de Maclaurin donne

Les valeurs, des coeffiicieDS dififêrentiels des difiëreos ordres étant rapportées au point où ^ = o, on a (art. igS), en se bornant aux termes de l'ordre 0', et comptant les azimuts y 'y F"" du nord à Fest,

A"=:A'— 0cosf^'— i0*sin»f"tangA'+i^»sin*r'cosr'(H-tang»AO?

puis mettant dans cette équation, pour ^ sa valeur précédente, Ton a, à l'égard du sphéroïde ,

A" = A' — CT cos F' (x — i É sin* A' + 1 «• sin < AQ

— ^ £/*8in« F' tang A' (i — «sin* A')

— \ iU* cos* F' ^in A' cos A'

+ i £/-» sin* y cos F' {\ H- tang* A') • . . (/')»

tmUÈ SIXIÈME. s55

L'azimut F^' se détermine ayec la même Ëtoilité; 6&r Bttilràlit 1» notation actuelle ^ on a

et par l'artiele cité ,

V" =s f^' — f sin r' tang >}

-f- 0* 8ia r* cod ^' (i -I- tailg» X') ■ • .

— \ sin f" Gos» f" tang X' (i -|- J tang*X') + f » sin r' tang A' (^ H- i tang» A');

puis éliminant Ç, il vient, après quelques transformatrons Êicile^ à efièctuer,

V'' ^F'-^tX sin r' tang X' (i — i € sîn* X' + 1 €• sin* X')

4*- U^ siû F^ cos f^(i + tang' A' — c tang* X') + t/» sin» r' tang X' (| + ^ tang» A') — U^ sin >^' cos» r'tang A' (f-^ tang* X'). . . • * ^{m').

Quant à la difierence en longitude ^ = f '' — ^\ elle ne peut être calculée aussi aisément : voici comment Ton parvient à son expres-

sion.

Pour décomposer en deux parties , s'il est pôssibte) le second membre de la première équation {d)y soit lait

j^ dt" cos h , Cdr^ cos A

^A 253 1 ■ ■ . fc « ■ j *f^ » *" V t

^ 1 — sin* A cos* r' ' a (i — sin* A cos* ry

C étant un .coefficient qu'il s'agit de déterminer ; et soient égalées entre elles les deux valeurs de ûff , on trouvera sur«4eH:hamp

C = — (a — i) v'^r^TTsu^Xco^V' ;

ainsi te deuxième terme de la valeur hypothétique de d^ prend la forme suivante,

et en multipliant haut et bas par a-^-h \/i H- 1 sin» A cos' &'y puis se rappelant que a» — A» s=s ^'c, on a

6'i cos A rfr*

a *a + Av^(i-t-i8m*Acoa*r)

s56 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

donc la valeur de d^ devient

T ^__^ ttw" COa X fc*i C08A rfr* "^

^ 1— siii*Acos*r*' "* â * a+Av/(i + •»m*Acos»ry

Eûfio prenant l'angle û»'', d'après la formule

tang cJ' = ÎSCiL,

'^ COS A '

donnée par la propriété du triangle sphérique rectangle pnU'a , et Élisant attention qu'à cause de dcJ' z=; — -tang»^ ^ ^.^^

* ,, rfr* COS A

1 — sin" A coa'^ r '

Avant d'intégrer cette équation, il convient de lui Êiire encore subir une tronsforinalion, pour la composer des seules quantité» relatives au triangle M'PM" : or, on a, par ce qui précède,

a = & VT+T, cos X s= sin F^ cos A' et cos a'

sin A^

donc

j^ j „ dS.i sin F'' cos a'

= </û)" ^ id^.t sin f"' cos X' (i — «H- i « cos* X')r

et intégrant entre les limites m' et m", il vient

(p" T- !p' =x a>" — a)'.— i «^ sin F' cos V (i — £ + ^ « cos» X%

o" —- ta' étant la différence en longitude des méridiens pm", pm! sur une sphère du rayon h. Mais dans ce cas ,

Ainsi, déterminant la valeur des coefficiens différentiels (art. igS)^ on obtient, avec un peu d'attention,

» — ^= — -7 Ç» — --—7 — .tang A'

^ cos A ^ cos A O

, , ^3 sin JP^' cos* y f, , , ^ / I \

1 vs sin V tang* a^

et ensuite

— { «Ç sin /^ C05 X' (x — s + i fi cos'A')*

COS A

enfin si Ton exprime ^ en fonction dé UyOn aura, tbutesréduetions faites,

{f^ (p') ce» X' = Vûn /^' (i — 1 €^- 1 if)

— ET» sin J^' COS /^' tangA'(i— €H-i €Coy V) H- iP sin /^' COS» /^' (i 4- tang» X')

— i/« sin« /^' (^tang» xO (A!').

Ce sont ces formules mêmes que M. Legendre a publiées dans son Mémoire sur les triangleis 6phânoïdîc|ues : bien entendu qu'il faudra ^

dans toutes, feire U= \ ^', U^ = p r^', ÏP = J r", afin d'avoir en

secondes, les termes où ces quantités entrent comme facteurs. Oh juge, à leur inspection^ de l'influence de Texcentricité de la Terre

sur les quantités qui en dérivent, en y mettant pour € sa valeur -;

(art. 167); et elles mettent à même àe pouvoir apprécier en outre le degré d'exactitude des formules (tf') , (f), (c') des art. 193 et igS; enfin elles sont sous une forme telle , que Ton peut aisément résoudre le problème suiviaDit :

367. Étant données lès latitudes de d'eux points et îeut différence en longitude y trouver leur plus courte distance sur le sphéroïde de révolution, et les a^mut^ de cette ligrtB géodésique.

Soient pour données, les latitudes vraies H' y H" des points Jlf', M^', et AÇ) leur différence en longitude. On calculera d'abord les

latitudes réduites x' et A" à l'aide des formules tang A^ = - tang H' et tang X'' =: - tang' JET'', et faisant ensuite les quantités connues

A" — X' ssshy (^" — ^') COS A' ou Ap COS X' =e A, et les inconnues C/cos P^':xzXy CTsîû >^'=^'; les deux équations- (if), (f) seront de la

forme k = Py -- Qx'f + 'Hx'y — Sf (m),

P9P9 Qy 9* • • • étant des coefficiens connus. Il serait très pénible de déterminer rigonreusement x' et y par l'un des procédés ordinaires d'élimination ; mais puisqu'il suffit d'avoir une solution approchée ' Jusqu'aux quantités du troisième ordre inclusivement, on l'obtiendra ainsi qu'il suit.

La valeur dey déduite de la première équation, dans laquelle ou peut supprimer le très petit terme — Sy\ est

etdelà y=.|(n-^-^- + î^x'-^:^->

substituant cette valeur dey* dans l'équation (;i) , on au ra un résultat tout eux" et x!% et qui sera, en s'arrétant aux termes du troisième ordre,

tirant la valeur de x^, il vient, pour une première approximation.

\J^ "^^ ''pT ^* •+" pi) >

p3 pn

et en élevant au quarré , on a

Maintenant, si dans l'équation (n) Ton introduit les valeurs de ^ et dey\ et que l'on s'arrête toujours aux termes^^du troisième ordre, on trouvera

h =/>«' + ^; + ïàqQk'x' — rA-x' 4- 4* ~ a^M»^} équation de laquelle on tirera, pour une seconde approximation,

mais

P = (1 — lÉ + if), p = 1 — iÉ8in*A'+|t«8m*A^

Q = tangA'(i— e-f-ie'cos'X'), q = itangA'(i — 6 8in*X')>

il = (I + tang» A'), r = i (i + tang» A'),

S s=i tang* A', * ss i « sin A'cos A'>

donc x^ ou

-*• i: h^t sin A' cos X' — i k^h (tang* A' — i); par suite y\ ou

— ^ A:A* — ^ A* tang* A'.

De là, il est aisé de déterminer l'azimut F^ et la ligne géodésique M^M^' z=zhU\ car on a

tang V' = -^j et Z7» = x'* + /*•

Four ce qui est de Tazimut V^\ on l'obtiendra au moyen de la relation (4) de l'art. 56i ^ qui donne

-.^f, sin V cos a' sm /^" = ni — î

cos A '

le problème est donc complètement résolu.

Vil triangle dont les côtés sont très petits par rapport aux

dimensions du sphéroïde.

568. Il reste une question importante à examiner pour compléter l'analyse précédente; c'est de savoir si les triangles sphéroïdiques; dont les côtés sont très petits à l'égard des dimensions du sphéroïde, peuvent être résolus par les mêmes règles que celles qui s'appliquent aux triangles sphériques, ou s'ils exigent une méthode toute particulière.

Soit MM' M!' (fig. 3o) un triangle sphéroïdîque dont les côtés sont supposés fort petits relativement aux axes de l'ellipsoïde de révolution. Désignons par A, A', A'' les latitudes réduites des points JM, M'^M'y par^', ^" les azimuts des côtés JOT, MM^^ par rapport au noéridien PM. Enfin, soit le côté MM' z:^hU' et le côté MJyï' = bïT'\ h étant toujours le rayon du pôle.

Cela posé, il s'agit d'abord de déterminer la position des points M'y M!' d'après ces cinq données, savoir : A, hU'y blT'y A! y A".

OVy on a 9 en vertu des formules {}') , (//}% ^^ deux^valeura

»4o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

A' = A — C^'sin^'(i— i6sin*X4-|€*sm^A)

— i U"^ sin» A' tang X (i — € sin* A)

— ^ €Î7'* cos' u4' sia A cos A

+ ^ 17" sin* ^' cos ^' (1 4- tang» A),

A'' = A — I/"5in^"(i — i€sia*A + f 6*sin*A)

— i I/^"» sia» ^' tang A (i — « siû' A)

— i 6t7"* cos» ^" sin A cos A

+ ï ï/"' sin» ^" cos ui/" (i + tang» A).

D^un autre côté, la formule {V) donnant la différence de longitude de deux points, tels que M^ M\ on aura éridemiùent, en désignant par Ap la diflférence M'PM^'^

àq> cos A = (£/' sin-^'— C/"sin^'0(i— i«+|€»)

-H (Ï7"' 8in ^' cos ^" — J/'» sin -df ' cos u/') X tang A (i — 6 +-^ € cos* A)

-|-(Z7'»sinu^'cos»^'— l7"*sin^''cos*u^0-(T+teng»A) + (V"*sin«^"— (/'•sin^^O-Cjtang» A).

Or, les trois quantités A', A'' et A^ se trouvant maintenant déterminées, on aura, à l'aide des formules (/?), (q) de l'article précédent» la longueur bU du troisième coté JtfJtf' du triangle proposé.

56g. Si l'on considère ifti triangle rectiligne mm'm'\ dont les côfés seraient égaux à ceux du triangle sphéroïdique JUM'3f\ Pangle M ^e celui-ci sera égal k ^' -^ A^'% et dans le triangle rectiligne, l'angle m correspondant sera égal à Jlf — « t\ z étant une inconnue qu'il &ut déterminer, et qui est nécessairement fort petite. Or, d'après la notation cir-dessus, on a

cos (JJf-z) = --^fipjp î

ou bien, à cause de la petitesse de z, il vient , en développant et e'arrétant aux quantités du second ordre,

Z sm Jlf — { Z' COS JH =5 — ^ ^Yp ^î

équation dans laquelle il ne s'agit plus que de substituer pour U* s^ valeur déduite des formules (p), (q) de l'art. 567. Mais le développement de cette voleur^ poussé jusqu aux quantités du quatrième ordre,

étant fort long et exigeant beaucoup d'adresse analytique, nou9 nous bornerons à feire remarquer que Ton obtiendrait

Z7* = £/^'»-f- IT'^ — iWlT' cos iW — i VU'"" sia» Mi

delà

a sin Jf — i 2» cos Jlf = I f/'t^' sin" J»f j et ensuite

z = I t^'CT' sin Jlf H- ^ U'*U"* sin M cos M'y

ou simplement

z = f i/'tr' sin M-,

VU que le second terme yg U'^U"^ sin M cos My qui est du quatrième ordre, supposerait que les termes du sixième ordre ont été conservés dans la valeur de Ï7* {voyez le Mémoire de M, Legendre).

Il résulte de là, que la valeur de z est égale au tiers de Taire du triangle sphéroïdique, et qu'elle doit être exacte, aux quantités près du troisième ordre. Ainsi, les triangles de cette espèce, dont les côtés auraient pour amplitude un degré ou même plus, peuvent se calculer comme les petits triangles tracés sur la surface de la sphère. Ce principe est même applicable à tous les triangles géodésiques qui seraient formés sur une surface peu diOerentc d*une sphère; car, comme Tobserve M. Legendre, (c on peut supposer » qu'une telle surface se confond sensiblement dans la portion oc- » cupée par le triangle que Ton considère, avec un sphéroïde ellip- » tique disposé de manière que les sections verticales de plus grande y> et de moindre courbure, qui se coupant toujours à angles droits » dans un solide (art. 187), se confondent avec les sections sem- » blables et de rayons égaux dans l'autre solide. Alors le triangle 3> commun aux deux sur^ces jouira de la même propriété que les » triangles sphériques. »

Nous pourrions suivre une méthode analogue à celle de l'art. 563, pour résoudre les differens cas des triangles sphéroïdiques quelconques , dont deux côtés seraient des arcs de méridiens ; mais les solutions précédentes étant déjà plus que suffisantes dans la pratique, nous terminerons cette matière, sur laquelle il existe d'ailleurs un ouvrage complet, qui a pour titre : Elementi di Trigonometria sferoïdica, par M. Oriani.

b4s traité de Géodésie.

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