LONGUEURS

des grades en iU€Cfes.

99543,7 iooo5a,5

ioo3a3,7

NOMS

des

obscrvateoifl.

iriifni"7i ig

Bouguer et Lacondamine Lambton.

Lacaille.

Mason et DixoQ Bodcovich et Lemaire.

Delambre et Méchain* Mudge.

Melanderbielm ctSyan-* b«rg.

La Terre est donc, comme nous Tavons déjà supposé, aplatie vers les pôles et renflée vers l'équateur. La théorie vient aussi à i'appui de cette conséquence; car en supposant que notre globe, doué d'un mouvement rapide de rotation, ait été originairement une masse fluide 9 il a du, par suite de ce mouvement et de la pesanteur, prendre la forme d'un ellipsoïde de révolution. En effet, Newton démontAi le premier, que si la Terre était homogène, son aplatissement serait

d^ tU' Cependant, l'on voit, par la comparaison des divers degrés mesurés dans les deux hémisphères, que les méridiens sont différens entre eux, et n*ontpasexactemen|; la forme elliptique.

373. Une des opérations les plus importantes de ce genre, est

celle qoi a été exécutée par MM. Delambre et Méchaln, depuis Dunkerque jusqu'à Mout-Jouy, continuée au sud par MM. Biot et Arago jusqu'à l'île de Formenlera, et rattachée au nord à celle da major- général Roy, en Angleterre.

En Toici les résultats, extraits de Yj4stronomie de H. DelMiibre, tome III, page 566.

DECKis.

l«t degti.

Greenwich..

Dunkerque.

Panthéon . .

Évaux. .. .- Carcassoiine Mont-Joi.y..

Formentera

5i»38'4o-oD 5.. a. g.ao 48.50.49,37 46.,o.4=,54 4=i.ia.54,3o 4..-. .«,.96 38.35.66, !■

o'aS-îo-So a. 11.39.83 a. 40. S,83 a.57.48,a4 ,.5,. 9.34 a. 4,. 48,85

iSaaqS, i 168846,7 1 05499, i536o5,8

57o8aT63 57069,31 56977,80 56946,67 56993.84

5Ta5

la.gi

— a,oo

On voit tout d'abord , par ce tableau, que les degrés n'ont pas entre çux les rapports qui conviennent à un méridien elliptique j les trois premiers donnent bien une diminution du nord au sud; mais le quatrième indique une augmentation ou une latitude trop faible à Mont-Jouy. Cette anomalie disparaît en s'arrétant aux résultat» moyens de toutes les observations : aussi M. Delambre, prenant le milieu entre les observations de latitude faites à Barcelonne et à Mont-Jouy, et pour Dunkerque, le milieu entre les deux étoiles, a formé un second tableau où l'on remarque une diminution dans tous les arcs; meiis qui est encore trop irrégulière, puisqu'elle ne devrai! être que de 10 toises environ par degré. Voici ce second tableau.

DECnÉS.

niojcnno.

pudEUrt.

Greenvich., Dunkerque.

Panthéon . .

Évaux

Carcassonne Mont-Jouy.

Formentera

5.-a8'4o-oo 5i. a. 8.5o 48.50.49.37 47.io.4a,54 43..a.54,3o 4, .a. .46.58 38.39.56,11

0"s6'3r5o a.ii.i9,i3 a.40. 6,83 a.57.48,a4 1.5.. 7.7a a. 41 .50,47

a5a4iT9 ia4944.8 i5aa95.i 168846.7 105499, i536o5,8

57097Taa 57087,70 57069,31 56977,80 56960,46 55946.89

7Ta3

373. Si les quatre arcs coDsécuti& du méridien, mesurés en France, appartenaient réellement à un ellipsoïde de révolution; que Ton substituât leurs valeurs dans la formule suivante ,

aoo

qui dérive de celle de l'art. 178, et dans laquelle ^"= -^ désigne le

grade moyen , a Taplatissement ; on aurait, entre ces deux inconnues^ quatre équations qui étant combinées deux à deux , donneraient exac'tement les mêmes valeurs pour ^'^ et oc, en supposant toutefois que les erreurs d'observation fussent insensibles; mais, comme il n'en est pas ainsi, on cherche à déterminer l'elUpse qui satisfait le mieux aux arcs mesurés. U existe, pour cet effet, une méthode très élégante que M. Legendre a appelée Méthode des moindres quarrés, et qu'il a publiée pour la première fois dans un Mémoire sur la Détermination des orbites des Comètes. Elle jouit de l'avantage de diminuer autant que possible l'influence des erreurs commises dans la mesure des arcs entiers, ou dans une série quelconque d'observations, en rendant minimum la somme des quarrés de ces erreurs. L'illustre auteur de la Mécanique céleste a, depuis, confirmé l'exactitude de cette méthode par sa savante Théorie des probabilités. Si, par exemple, on a le système d'équations

jE = a 4- i^ H- cy + yz + ,

dans lesquelles aie, a'Vd . . • sont des coefficiens connus, et xyz...^ sont des inconnues qu'il faut déterminer par la condition que les

valeurs de £, £' se réduisent à une quantité ou nulle, ou très

petite; on aura, pour la somme des quarrés des erreurs,

+ ^{ab+a'V+a!V'...)X'\-^{ac+a'c'+a!'c\ ..)y Or, le minimum de cette expression , pris d'abord par rapport à x

â46 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

seal, sera [Calcul différentiel à^ M. Lacroix, n* i33)

o =: lab 4- x26» + J^2ic + tlbf+ etc. ;

en représentant, pour abréger, par lab la somme des produits semblables ah^a'b' 4-,.., par 26* la somme des quarrés 6*+&'»-f-..., et ainsi de suite.

Le minimum^ pris en disant varier/, sera de même

o = 2ac -H x^bc +/2c* + ilfc H- etc. . .; puis, en faisant varier z, on aura

G = 1af+ xl.b/-{- y^cf + z2/* + etc . . .

Il suit de là qâi^^ pour former V équation du minimum par rap^ port à Vune des inconnues, il faut multiplier tous les termes de chaque équation proposée par le coefficient de Vinconnue dans cette équation, pris avec son signe, et égaler à zéro la somme de tous ces produits.

Par cette méthode, qui non-seulement est exacte, générale et directe, mais encore d'une application fuciie, on obtient autant d'équations du minimum qu'il y a d'inconnues, et il ne s'agit ensuite que de résoudre ces équations du premier degré, par les voies ordinaires. Elle consiste en quelque sorte à prendre le centre de gravité des observations que l'on compare, pour trouver des valeurs les plus avantageuses. On pourrait aussi employer la méthode des Équations de condition, imaginée par Mayer, et dont les astronomes font encore usage dans certains cas ; parce que, quoiqu'elle soit moins sure que la précédente , elle exige moins de calculs numériques (voyez V astronomie physique, tome II, page 191).

374. Pour donner une application du principe des moindres quarrt^'s, nous emploierons les élémens suivans, qui sont ceux auxquels s'arrêta la Commission des poids et mesures.

LIEUX des obêermiioQs.

Dunkerque. .

Panthéon... ,

Évaux

Carca.ssonne .

Mont-Jouy. .

LATrrUDES

en gradet.

ARCS COMPRIS exprimes en modules.

DP 62472,69 PE 76145,74 EC 84424,55 01/62749,48

H-h it

iio«^ 981668

Le 5o« gracie étant d'environ a565o modules, égaux ckacnn à

deux toises (art. i45), on peut faire p = îj^^ , j3 étant une très petite fraction;' et pour lors Téquation (a) renrersée , sayoir,

iï— iï' = 4 + i « — sin (iï~ Jï') cos(iï+ Jï% deviendra

^-^'^Jto^^'^ + «.^8in(fl--jr)cosCH+ff').

Maintenant, appelant £, i5^ . • les corrections additives aux latitudes de Dunkerque, du Panthéon, etc... on auraKH- E — H'—E'y au lieu de jBT— jff', etc. , et alors , en unités de grade,

E — JET = o,oo325a + (a,435) fi — (0,626) ot, ET —E' = o,oo3443 + (2,969) fi — (0,389) <^y JE" — £"" = — 0,001219 + (5,291) fi + (0,062) «, E'" — £- = — 0,001999 + (2,o56) fi + (0,292) a.

Afin de pouvoir considérer ces erreurs séparément, on regardera conune une nouvelle inconnue l'erreur E!\ par exemple, et l'on aura

£ = E" + 0,006695 + (5,4o4) fi — (1,016) et, E! =E''\- o,oo3443 + (2,969) fi — (0,389) ^> E' =E',

£'''=£"+0,001219 — (3,291) iS — (0,052) £t, £'^ = £" + o,oo32i8 — (5,348) fi — (o,344) a.

Appliquant le principe des moindres quarrés, énoncé précédemment, et exprimant d'abord la condition du minimum^ par rapport à rinconnuc £", dcHit tous les coefficiens sont 1; on aura, par Tad* dition de toutes ces équations ,

o =; 5£" + 0,014575 — (0,266) fi — (1,801) «; donc

E^^ — 0,002915 4- (o,o55) fi 4- (o,36o) a.

La substitution de cette valeur dans les cinq équations ci-dessus, conduit a

i48 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

E sa 0,003780 + (5,457) jS — (o,655) et

E' 5= o,ooo5a8 + (3,oa2) jS — (0,029) et

jE" = — 0,002915 + (o,o53) jS + (o,56o) a }^ {b).

JS"^= o,ooo5o3 — (5,295) fi + (0,016) a

Od exprimera la condition du minimum par rapport à /3, en multipliant chacune de ces équations par le coefficient de j3 dans ces mêmes équations, pris avec son signe, et en égalant à zéro la 3omme de tous ces produits. Si l'on opère de la même manière par rapport à a , Ton aura les deux relations

o = 0,026957 4. (77>458) fi — (4,729) «, o = — o,oo4o6o — ( 4,729) fi •+• (0,666) « î

d'où l'on tire

et = 0,00675 , fi S=5 0,0000775 J

donc l'aplatissement le plus probable, résultant de l'ensemble des observations, est

et le 5o« grade

Enfin, substituant dans les équations (b) les valeurs de a et j8, on aura, pour les erreurs exprimées en secondes décimales,

iS=— 2*,i9, £' = 5',65, K'=— 4%79, £'''=i',34, £-;=o>5;

de là^ en secondes sexagésimales,

B = — oV3, £' = i",83, JST' = ~ i'',55, JS''' = o",42,JS«^=o>2.

L'aplatissement déterminé de la sorte, est beaucoup plus grand que celui qui résulte des phénomènes de la précessioiTet de la nutation, et qu'on trouve de y~^, en le déduisant de deux inégalités du mouvement lunaire, l'une en latitude, l'autre en longitude. On sait d'ailleurs, par la comparaison des arcs mesurés en France et à l'équa* teur, qu'il est seulement de ^ (art. 180); résultat bien peu difiërent du précédent. Ainsi l'aplatissement 7^ que fournissent les seules mesures de France, appartiendrait à une ellipse qui ne peutconyenir

k là figure générale du globe , et qui supposerait dans les observations des latitudes de Paris et d'Évaux des erreurs beaucoup plus fortes que celles qui sont probables. De telles anomalies dans les latitudes ne pouvant donc être entièrement attribuées aux observations , l'on est porté à croire qu'elles tiennent à des attractions locales qui agissent irrégulièrement sur le fil-à*plomb, et écartent la figure de la Terre de celle d'un ellipsoïde de révolution.

Si, dans les équations (6), l'on fait« i=jjsy suivant Newton, et que Ton cherche, comme on vient de l'enseigner, l'équation du minimum, on obtiendra une résultante qui fournira une nouvelle valeur de /3; et pour lors le 5o" grade, qui est une fonction de cette valeur, s'accordera suffisamment avec la détermination adoptée (art. 1 77) j mais il résultera de là , que les valeurs de £, jE', E' s'écarteront davantage des limites probables des erreurs des observations, dans l'hypothèse du minimum absolu. (Consultez à cet égard, le Mémoire cité de M. Legendre , et la Mécanique céleste, tome II , page i4o.)

37^ }/[. Delambre préfère la méthode qui donne les moindres erreurs de latitude, moitié positives, moitié négatives; celle qu'il emploie pour cet efiet n'est pas directe, mais elle est trop simple pour la passer sous silence. Ce célèbre astronome prend la formule

(£r' -.H) = ^ ^ [1 H- 1 * cosî (H' — Jï) C08 Ça'-hH)]»

qu'on déduit aisément de celle de l'art. 178, en 7 négligeant les puis* sauces supérieures de l'aplatissement, et transformant le terme en « par le procédé de l'act. 184; puis il détermine, d'après l'arc mesuré, la différence H' -^H des latitudes pour différentes hypothèses d*aplatissement, et par conséquent l'erreur des observations. £n considérant, par exemple, la latitude de Paris comme la plus exacte, et appliquant la formule ci-dessus aux arcs du méridien compris entre le Panthéon et les lieux rapportés dans les tableaux précédens, il a reconnu que, pour l'aplatissement « = 7^, la somme dès erreurs se réduit presque à rien, tandis qu'aucune d'elles ne passe V \ de la division sexagésimale: L'aplatissement ~ satisfait encore assess bien à la condition, au lieu que -^ donne la somme des erreurs sss,^ ib^'j^Q {Abrégé d'ji9trQnomiey^^Go^)Jïo\il fait donc pré^.

b5o traité de Géodésie.

sumer que -p^ est à peu prés l'aplatissement de l'ellipsoïde osculateur à la surface occupée par la France.

376. Jusqu'à présent l'on n'a guère déterminé avec succès l'ellipticité de la Terre , que par la comparaison des arcs de méridiens. Cependant les géomètres désirent depuis long-tems faire concourir à cette détermination les mesures d'arcs de parallèles. En effet, les deux ligues de courbure d'une surËice quelconque étant perpendiculaires entre elles, la mesure d'un arc de parallèle est, théoriquement parlant, propre à &ire connaître si la sur&ce à laquelle elle appartient est ou n'est pas de révolution. Par les opérations géode- 8iques,on ne mesure pas directement cet arc; ce sont, comnjiepour la méridienne, les triangles établis le long de cette ligne qui «erTent è en déterminer la grandeur (art. 2o5) :il ne reste plus ensuite qu*à en évaluer l'amplitude par les signaux de feu , ou à l'aide d'excellen» chronomètres, ou par tout autre moyen. Mais il parait si difficile d'obtenir cette amplitude a^vcc unô extrême précision, qu'on a peu d'espoir d'acquérir par là, sur la véritable figure de la Terre, plus de lumières qu'on n'en possède maintenant. Néanmoins, Tonne diit pas négliger de £iire entrer en considération les mesures d'arcs de parallèles, ou de perpendiculaires à la méridienne, si les observations de longitude et d'azimut peuvent inspirer assez de confiance, et si les opérations géodésiques ont été faites avec tous les soins que leur importance exige. Il conviendra dans ce cas , de recourir aux formi/Ies et aux moyens que M. Laplace a proposés, et que nous ferons connaître dans le chapitre suivant.

. < «La longueur d'un arc de parallèle compris entre les points extrêmes d'une chaîne de triangles, et son amplitude étant connues, on aura aisément la longueur du de^ré moyen de ce parallèle ; car ce serait sans doute un hasard si les portions de cette ligne étaient rigoureuseniept proportionnelles à leurs degrés. Les irrégularités observées dans les arcs de méridiens donnent lieu de penser quil en existe Dussi dans les arcs de parallèles. Cependant, si les difierencea entre les dçgrés d'vw même parallèle sont très légères, et qu'elles fMussent être uniquement attribuées aux erreurs des observations, l'on sera en droit de conclure que, dans le lieu où l'on a opéré, la sur&oe de la Jtrre est réellement de révolution. Pans la supposition contraire, lé parallèle iuesuré.çeraii^l courbe irrégulière,, jet la diffîrenee de

longitude de ses ëif trémités ne sera pas rigoureuseitaent son- amplBtude : CD déterminera alors^, pat les méthodes connues, el employées à régatd des méridiens, Tellipse qui y âati^ait le mieux. Mais quç pourra-t-on eoaclure de là? que la Terre, dans le lieu des obsei^ations , a sensibFement la forOie d'un ellipsoïde. .

577. Au lieu d'évaluer un arc dé, parallèle, on peut calculer la longueur de la ligne géodésiquc perpendiculaire au méridien principal, et déterminer ensuite son amplitude par Tobservation et le calcul; car on a vu, à Fart. 188, que, de la combinaison du degré de l'arc perpendiculaire à un méridien , et du degré de ce méridien à la même latitude , l'on déduit Êicilement l'aplatissement de la Terre supposée de forme elliptique, çt plus exactement que par la comparaison de deux degrés rapprochés du méridien. La méthode de calcul à employer, pour déterminer la longueur dont il s*agit, a été exposée au chapitre XI du livre III. Quant à l'amplitude cherchée, il est visible qu'elle est égale à Tangle que forment entre elles les normales des extrémités de la ligne géodésique calculée. Or, par les observations de latitude et de longitude, on connaîtrai tant les angles que ces normales font avec le rayon du pôle de la Terre, que celui des deux méridiens extrêmes; il ne s'agiradodc plus que de calculer le troisième côté d'un triangle sphérique dont on connaîtra deux côtés et l'angle compris.

Soient, par exemple, -H", H' les latitudes des extrémités de l'arc perpendiculaire mesuré , et P leur différence en longitude; on aura, par la propriété du triangle sphérique, et en désignant en outre par U l'amplitude de l'arc dont il s'agit,

sîn» ^'V = sin* K-H" — H') -f- cos H cos H' sin» ^ P;

ainsi, en divisant par cette amplitude la longueur de l'arc perpendiculaire mesuré, on aurait la longueur du degré moyen. Mais il est plus exact de faire usage de la valeur du premier degré perpendiculaire, dans la recherche de l'aplatissement (art. 188); degré qui coïncide sensiblement avec la portion correspondante de la section verticale ayant même direction.

Mais comment évaluer en général l'amplitude U d'un arc P' perpendiculaire au méridien AP (fîg. 52 ) , et résultant de la section

&ite sur le sphéroïde de révolution , par un plan passant par la normale AN! c'est ce que Ton va feire voir.

. Par les extrémités -af , B de Parc P', concevons les normales ^Nj £N' à la sur&ce terrestre , l'oblique BN^ et la droite hN parallèle à BN'. D'après cela, si, dans le plan ^BN et par le point B^ l'on mène l'horizontale AjBT et la perpendiculaire jSi{ à cette horizontale , l'angle BRA sera l'amplitude de P'. Or, cet angle qull s'agît de connaître, est sensiblement égal à celui des deux normales ^Ny BN qui mesure l'amplitude de la plus courte distance ^B. On s'assurera de ce fait ainsi qu'il suit.

D'abord si, par le point R' pris sur la normale 5iV^', et sur la perpendiculaire RR' au plan NBA^ l'on mène respectivement à \éN et BR les parallèles R1A\ RIB\ l'angle B'R'A'=:zBRA sera l'amplitude de la section AB = P'. Ensuite si l'on appelle 4 l'angle JiBN' formé par la normale BN' et l'oblique JSiV", angle qu'on trouvera de 8",6 environ dans l'hypothèse de l'art, 188; il est visible que l'angle RBR' = 4'» c* dont le plan est perpendiculaire à NBA y sera, à très peu près, égal à 4 sin ^; f^ étant l'azimut de AB sur l'horizon de £f, et calculé sur la Terre supposée sphérique. Ainsi ^ pour passer de l'amplitude calculée JBiî'-^'à l'angle 5'iî'ud^' ou JBi{^, il ne s'agit que de faire usage de la formule pour réduire un angfe à l'horizon (art. 96). Soient donc BR!A' = O, et BRA = CX ; on aura, à cause de B'R'B = 4' = 4 ^in f^, et d'après Farlicle cité;

O'— O = (0tang i O sin 1" — (^^ cot ^O sin 1'';

quantité tout-à-&it insensible, et, dans tous les cas, bien plus petite que Terreur qui affecte l'angle O, et qui résulte de celles des observations de latitude et de longitude. On peut donc toujours prendre pour amplitude de l'arc de section AB = P', l'angle bNA des deux normales des points extrêmes.

LITRE SIXIÈIAE. â55