CHAPITRE ni

Continuation de la recherche de la figure de la Tetre^ ctcprès les mesures géodésiques et la théorie de M. Laplojce.

S78. 2^1 l'on pouvait satisfaire aux équations de condition qu'expriment les formules relatives à la ligne la plus courte tracée sur une sur&ce engendrée par la révolution d'une ellipse autour de ison petit axe (art. 56a ), il s'ensuivrait que la figure de la Terre serait conforme à cette hypothèse; mais jusqu'à présent il n'est aucune opération géodcsique, considérée en elle-même, qui ne donne une ellipticité difierente. Toutefois , si la surface terrestre, abstraction faite de ses aspérités y est irrégulière, elle s'écarte peu de celle d'une sphère. Il est donc important d'examiner les propriétés d'une ligne géodesique étendue sur un tel sphéroïde.

Clairaut paraît être le premier qui se soit occupe de cette question délicate ; mais l'illustre auteur de la Mécanique céleste a donné sur ce sujet important, une analyse beaucoup plus complète et plus savante, et au moyen de laquelle on peut non- seulement décider, d'après des mesures géodésiques prises dans le sens da méridien et suivant des directions perpendiculaires à cette ligne, si la Terre est ou n'est pas un ellipsoïde de révolution, mais encore déterminer autant d'ellipsoïdes osculateurs qu'on a formé de perpendiculaires à la méridienne , et sur lesquels les positions géographiques des objets peu éloignés des points de contact seraient sensiblement les mêmes que sur le globe terrestre. C'est cette analyse que nous allons faire connaître, en suivant, pour arriver aux formules qui en dépendent, la voie qui nous paraîtra se rapprocher le plus de la méthode adoptée dans cet Ouvrage.

MéUiode pour déterminer la courbe du méridien terrestre.

57g. Si la Terre est réellement un sphéroïde irrégulier, le méridien terrestre est une courbe à double courbure, qui, cependant, doit d'autant moins diflfêrer de la courbe produite par l'intersection du

a54 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

plan du méridien céleste et la surface de la Terre , que cette sur&ce s'approche plus de celle die PellipBoïde (art. 160).

Pour déterminer cette courbe , soit u^=iO l'équation de la sur&ce de la Terre j u étant âne fonction des trois coordonnées orthogonales X, /, Zf en sorte que iis=/(x, /, z) j / dénotant le signe

^'ime fouctîom ... «.

D*abordoû sat^ dfi^rès l'art. 160,, que le méridien terrestre est la courbe qui est déterminée par le système des droites menées , par tous les'poitits du méridien céleste, perpendiculairement à la surfoce du sphéroïde, et que chacune de ces droites ou normales peut être censée parallèle au plan de ce dernier méridien. Soient donc x^y^^ les coordonnées du pied d'une de ces normales, et x^, f^ zf les coordonnées courantes^ les équations de cette ligne seront,

= oj

puisque l'équation différentielle de la surface du sphéroïde est dzssapdx Hh qdy. Maintenant 6i

i =i ax + by + d

est l'équation du méridien céleste relatif au zénit du point x,^, z^ on aura, dans. la supposition que ce plan et la normale sont paral«^ lèles , la relation suivante :

op + fcj + 1 = o (i)j

mais u = o étant Péqaalion du sphéroïde , on a nécessairement (art. 166)

et pour lors la relation (1) prend cette forme,

OU

« Pour avoir les constantes a et b y on supposera connues les )» coordonnées du pied de la verticale parallèle à Taxe de rotation )) de la Terre, et celles d'un lieu donné de sa surface. En substituant ^ successivement ces coordonnées dans l'équation précédente , on ?s> aura deux équations, au moyen desquelles on déterminera a et b. ^ L'équation précédente , combinée avec celle de la surface i^ = o^ }> donnera la courbe du méridien terrestre qui passe par le lieu A> donné. j>

Si la Terre était un ellipsoïde quelconque, u serait une fonction rationnelle et entière du second degré en xyzj c'est-à-dire que l'on aurait en général

+ ^'jc + By + Cz