V + B'xz + cyz
L'équation (2), dans laquelle (^), (^Y (^ sont des différentielles partielles de i^, apparUendrait alors à un plan dont l'intersection . avec la surface de la Terreformerait le méridien terrestre ; mais dans le cas général, ce méridien , comme nous l'ayons dit, est une courbe à double courbure , et diffère de la ligne déterminée par les mesures géodésiques.
Nous n'expliquerons pas comment on peut tracer cette ligne sur la Terre, parce que l'opération qu'il s'agit de feire à ce sujet est suffisamment indiquée dans les art. 1 69 et sui v. ; mais nous rappellerons que les lignes tracées par les opérations géodésiques ont la propriété d'être les plus courtes que l'on puisse mener sur la surface du sphéroïde : leur premier côté, dont la direction peut êtrç supposée quelconque, est tangent à la surface de la Terre; leur second côté est le prolongement de cette tangente^ plié suivant la verticale; leur troisième coté est de même le prolongement du second côté, plié suivant la verticale, et ainsi de suite.
(c Voyons maintenant quelles lumières peuvent donner sur la » figure de la Terre, les mesures géodésiques feites, soit dans le » sens des méridiens , soit dans le sens perpendiculaire aux méridiens. » On peut toujours concevoir un ellipsoïde , tangj^nt a, chaque point » de la surface terrestre ^ et sur lequel les mesures ^éod^ques^ les
a56 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
y> longitudes et les latitudes, à partir du point de contingence, dans 7> une petite étendue, seraient les mêmes qu'à cette surface. Si la » surface entière était celle d'un ellipsoïde, Fcllipsoïde tangent serait » partout le même; mais si, comme on a lieu de le croire, la figure y> des méridiens n'est pas elliptique, alors l'ellipsoïde tangent varie }» d'un pays à l'autre, et ne peut être déterminé que par des mesures 7^ géodésiques faites dans des sens diflfêrens. Il serait très intéressant 7) de connaître ainsi les ellipsoïdes osculateurs d'un grand nombre j> de lieux sur la Terre. »
Équations de la plus courte distance sur la surface de la Terre.
38o. te Soit a = 5C' H- j^ + z* — i — aai^' = o, l'équation de la D sur&ce dja sphéroïde que nous supposerons difierer très peu d'une j> sphère dont le rayon est l'unité, en sorte que « est un très petit » coefficient dont nous négligerons le quarré. i/ peut toujours être y> considéré comme fonction des deux seules variables x el y\ car }» en le supposant fonction de x^ y^ z, on peut en éliminer z, au
î> moyen de l'équation z = V^i — x^ -* J'' »» que l'on obtient dans ITiypothèse que la Terre est une sphère. Cela posé, si l'on différencie successivement, par rapporta xyz^ l'équation précédente en u, on en tirera
Q = ay-.a*(^) =
leurs dans les équations
(^) ééx - (%) ddy =
qui sont celles de la ligne ][a plus<:ourte sur la surface de la Terre (art. i65), on aura
xdy^yd^x = « (^) dy - a(|) d^x
xd^z — zrf'^v = <t (^') (/«z \ (O);
yd^z — zdy = a (^) d'z
Dous désignerons, comme à l'ordioaire^ cette ligne sous le nom de ligne géodésique.
a Nommons rie rayon mené du centre de la Terre à sa surface D (fig. 35); fl Tangle que ce rayon fait avec Taxe de rotation que nous » supposerons être celui des z, et ^ Tangle que le plan formé par cet }» axe et par r fait avec le plan des xz \ on aura
5C = r sin 6 cos ^, jk = ^ sin 8 sin ^, z = r cos fl (A)j
différenciant les deux premières par rapport à r et ^, puis formant les produits xdy^ydx^ on obtiendra
xdy — ydx = r* sin* fle/^p (sin* ç + cos* ^) = r* sin' fl(fç (i).
Différenciant ta première et la troisième équation (A), en considérant seulement x^ z, r et 6 comme variables, et formant les produits xdz^ zdx^ il viendra
xdz — zdx = — r* cos ^(/9 (sin* 6 + cos' 6) = — r* cos ^cffl (a).
Différenciant pareillement la deuxième et la troisième équation (A), en prenant j^, z, r et 6 pour variables, on aura
ydz — zdy — — r sin ^rfô (sin- 6 + cos* 8) = — r* sin çcfO (3).
Enfin, multipliant les équations (a) et (3), respectivement par cos ^ et sin ^, on aura, en les ajoutant,
{xdz — zc/jc)cos^4-(jKc/z— zcfy)sîny= — r*^ (cos*^ -f- sîn*^) ) ..^
Maintenant si l'on Ëiit tout varier dans les équations (A), on aura
dx = dr sin 9 cos 9 + r cos fl cos ?rffl — r sin 9 sin ^r/(p, dy = rfrsin 9 sin ^ + r sin 9 cos 9c/<p + r cos 9 sin cprfç), dz = rfrcos 8 — r sin 9c/(>.
Quarrant toutes ces équations , ajoutant et réduisant au moyen des équations sin* ^ + cos* ? = i > sin* 9 -+• cos' 8 = i ^ on obtiendra, à cause de ds^ = dx^ + rfy* + dz\
ds^ =:dr^ + r* sîn* 6d<p* + r^dA* (5).
a En considérant ensuite u' comme fonction de x et de y^y et X désignant par h la latitude du point M' (fig. 33), on peut supposer j> dans cette fonction, r s; i et A s= loo* — 6, ce qui donne y au liea 7> des équations (A),
X s= cos h cos ^y y :sz cos h sin ^ (B) ; et puisque i/ est fonction de x^y^ il Test aussi de h et '9; on a donc
u' = /(x,y), V«/(A,(P); différenciant ces équations, il vient
du- = (I) rf« + ^ rfK,
donc
« mais on a, en vertu des équations (B),
x^ ^y^ s= cos* hy ^ = tang ^, }^ d'où l'on tire par la différentiation,
sinhcoah ^ ^ a^ ^
D En substituant ces valeurs dans l'équation différentielle précédent^ 7> en vly et comparant séparément les coefiiciens de dx et de dy^ od » aura
(\du!\ __^ cos ^ /^'X sîn ^ /'^"'X »cir/ *"" sin A \dA / cosA \{îf"/' (di/\ sin ^ /Ai\ ,■ cos f /dtx\
soustrayant la seconde de la première, après avoir multiplié l'unie
et Fâutre respectivement par ddy^ ddxy on aura, en faisant atten»
tion que les relations (B) donnent cos <p s= ^ , sin f = ^,
--};:4ixddx-^yddy)
Or, en négligeant dans les équations (O) les quanlités de Tordire »i
on a
xddy — yddx = o.
De plus , les deux équations xddz — zddx = o, yddz — zddr = o étant multipliées respectivement par zxy ty et ensuite ajoutées entra elles, donnent
D'un autre cAté Téquation 5c* +^*4- jc* = i fournît, en la diffi^en* ciant deux fols de suite et en regardant âx^ dy^ét comme ya« riables ,
xddx ^yddy +• zddz 4- {dx^ + ^* + &*) = o, ou à cause de cfo* = c/x* + dy^ + {/z%
«(/•x -^yd'y + z(f*z -f- (/^' = o.
Substituant ici pour zd^z sa valeur précédente, on aura
*^* H- J'rf'/ 4- î^^^-r^ + A- = o; OU bien
(xrf-x +/rfy) («• +y -f «•) = — às"^ («•+r)î
OU encore
xd^x -\-yd^y =3 — {&• cos' A.
Fartant, l'équation (C) se réduit à
s6o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
La première des équations (O) donnera ainsi en l'intégrant
f{xddy--yddx)=fit (^) d^ x=fd.{xdy^ydx)
= {xdy — ydx) -f- const., c'est-à-dire, à cause de l'équation précédente (j),
ï*d9 sin» fl = cds + adsjds ^^) (p) ;
ip étant une constante arbitraire.
La seconde des équations (O) donne évidemment
d. (xdz — zdx) = A (j^j ddz :
si nous reprenons celle obtenue plus haut,
on aura sur-le-champ, en réduisant et en y substituant pour X'-f*J^> ^txddx +ydd/ leurs valeurs trouvées précédemment,
ddz = ^SL^Û£±ÏÉ^ = ^ds^.
mais à cause de x* 4-JK' + 2^* = i , on a
z = Vi — (^* + J^*) = Vi — cos* h = sin/l;
donc
{/cfc = — sin hds^ ;
partant
d.Çxdz^zdx) = — a(/j* (^) sin Aj
€>n a pareillement
(f . (jK^Z — zdy) = — «&• Çj- ) sin A.
L'équation (4) deviendra, en vertu de ces valeurs intégrées , r*(/8 = c'ds sin ^ + c'^ds cos p
+ ads cos ^(/y ^^) sin h
•+• «Jij sin pjjfis C^") sin Aj
et substituant pour ^^ Y (^^ leurs valeurs précédentes, on aura r'i/Ô = c'ds . sin ^ H- d'ds . cos (p
— tf{/5 cos ^fds {(j^ ) cos ^ + (-j^ sin ^ tang A} ^adssimpfds {(i^)sin (p — (^) cos (p tang /i} (g).
Recherche de rexpression de Varc du méridien terrestre.
38i. a Considérons d'abord le cas dans lequel le premier côté de » la ligne g<b(iésique est parallf le au plan correspondant du méri- » dien céleste. Dans ce cas, d^ est de Tordre a, ainsi que (fr; on a » donc, en négligeant les quantités de Tordre a* dans Téquation (5), y> ds=: — rrfj, Tare tétant supposé croître de Téquateûr aux pôles. » 4 exprimant la latitude , il est facile de voir (et j'ai d'ailleurs démontré, dans le cinquième n* du Mémorial du Dépôt général de la
Guerre, page 176), que Ton a ô= loo* — A— ^^V ce qui donna
par la diiSérentiation y
D'ailleurs, à cause de x^^+y^+z^ — 1 — aûtu'=o,on a r*— 1— acwi'ssso, et par conséquent drz=iOL — y ou simplement dr = Adu'^ puisque 7= 1 k très peu près. D'un autre côté, puisque
r = y/2ai/ -h 1 = (2au' 4- 1 )• = (1 4- 2au'y =: 1 + ^W,
on aura en substituant dans </^ =a — rdS pour i/0 et r leurs valeurs précédentes,
<i? = nf A [(! + • (g)] =: (1 + W) iA [iH- * (^')]
en négligeant toutefois les quantités de Tordre a*.
Pour intégrer cette équation, soit (i + au^ + cL C^j] ^^J ^û aura s m^fXdh. Or, oa aait, par la méthode générale des intégralea
fl6a TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
approchées (CeUoul intégral de M. Lacroix) , que
r.— r=: r' ^si^ -H r" ^°',-/^' -4-. » ♦»
Par conséquent ^ entre les limites k et ^^ qui représentent les la« titudes des deux extrémités de l'arc s^ on aura
€ désignant A — - A., c'est-à-dire la différence en latitude des deux points extrêmes de Tare s^ et u\ étant ici la valeur de a' à Torîgine de s.
Examen de V écart du méridien terrestre, du plan d'un même
méridien céleste.
58a. « Lorsque la Terre est un solide de révolution, la ligne i> géodésique est toujours dans le plan d'un même méridien; elle D s'en écarte si les parallèles ne sont pas des cercles ; Tobservation 9 de cet écart peut donc nous éclairer sur ce point important de la >i théorie de la Terre. Reprenons Téqua ion (/>) et observons que }B dans le cas présent d^ et la constante c de cette équation sont de 9> Tordre a, et que Ton peut y supposer r=i, {/l;=e/Aetâ=ioo^ — h^ B on aura ainsi
df cos* h = cdh + adhfdh (^) (p').
1» Maintenant, si Ton nomme P Tangle que feil le plan du méridien 9» céleste avec celui des xz, d'où Ton compte rorigine de Tangle Ç:
» on aura visiblement ^ = tang P (6g. 54), xVz' étant les coor-
9» données de ce méridien^ dont on a vu ci-dessus que Téquation 1» dilféreulielle est
dz^ =i adxf ^ bdf i fa la craiparant à la précédente, qui peut se ofêttre sous la forme
o » c// — tang Pd:^,
UTRE SIXIÈME. a65
on voit que û et J sont infinis. En effet, dans celle-cî la différentielle cfe' est censée n'avoir disparu que parce que son coeflEicient =o; on peut donc écrire
G X (fz' =5 ((/ — tang P(/x', ou bien
on a donc
Divisant ces deux dernières équations l'une par l'autre, on obtient
— J = tangP; et puisque aetb sont infinis, l'équation (a) de l'art. Syg, se réduit à
donc
Éliminant les coeffîciens différentiels dojit nous avons trouvé la valeur, on tirera
o = X tang P -y - «(^') tang P H- «(^)
On peut supposer P = ^ dans les termes multipliés par «&; de plus, ^- = tang ^ j on a donc, en divisant par ^, l'équation précédente.
tang? — tangP = -^ — r^^-- = ^«^ i .
°^ ^ COS h C08 p cos h COS f cos p
substituant pour (yA (t'\ leurs valeurs (art.38o), on aura, après la réduction qui se présente naturellement,
tangf-tangP= ^»^ ., .^ =:--V^4,
a64 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
ou bien
cos h cos <p (tang<p~tangP) = ^jj.^^ (D); mais par les formules trigonométriques connues ,
lang <p - tang P = fî^^Ji:^ = f^CiziP).
^ ^ ° COS f cos jP cos ç cos f '
à cause de cos P = cos ^, à très peu près j donc Féquation (D) deviendra , réduction faite y
puisque ^ — P est un très petit arc.
Il est facile de voir, en considérant les arcs PMj PM (fig. 34) comme des portions de circonfcrence,queron a Jf J/'=(^ — ^P)cos^; c'est la distance de l'origine de la courbe au plan du méridien céleste; et comme le premier côté de la ligne géodésique est supposé parallèle au plan de ce méridien, les différentielles de Tangle P et de la distance dont on vient de parler, doivent être nulles à cette origine ; on a donc à ce point
d.{^ — P) cos h 5= d(^ cos h — (ç — P) sin /i(fA = o (E);
d'où Ton tire
g = ((p-P)tang^j
et en éliminant ^ — P, à l'aide de sa valeur précédente , on a
^,=:(^-P)tangA=J^
âk ^^ ^ ^ cos* A
D'un autre coté, l'équation (/?') donne
dh cos' h cos'
donc
cos' h co:»* A cos* A '
LITRE SIXIÈME. - a66
donc, à cause que u'. et K se rapportent à l'origine de l'arc s,
et enfin
dp " (10 *"6 '^' , -/Kl ) ^,
dh cos* h "^ cos* h ^ -''
Il est visible qu'à rextrémité q de Tare mesuré , le côté mq de 1a courbe fait avec le plan du méridicu céleste mn , un angle nmq à
très peu près égal à -^ , puisque l'on peut prendre Tare pour la tangente, dans le cas actuel ^ on a donc
nq ^^ d.jfi — P) cos h ^ mn "^ dh '
P étant supposé constant dans la difierentîatîon; en désignant dona cet angle par «r, on aura, en vertu de l'équation (E),
narzzzL-^ cos A — (9 — P) sin Aj
si Ton remplace ^ par sa valeur, et que Ton élimine ^ — P, oa aura
Qu^,, ./^(^') .(!)»,»
cos h cos h cos h
» l'intégrale étant prise depuis l'origine de l'arc mesuré jusqu'à soft » extrémité. »
Pour intégrer le dernier terme de cette équation, soit fc = A, +£, ou bien h^=z h — e=z h — dhj et soit en outre u\ ce que devient 1/ lorsque h se change en h,; on aura d'abord par la méthode des intégrales approchées, et en négligeant les puissances de €,
partant
é6$ TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
réduisant ton les termes au même dénommatettf, et dévéhfh-
paDt -^ qui domie (^) + (j^h) ^* ■+•••> P^^^ ^' est fonction de A, on aura
C08 f (i -|- 1 tang
j5{(|')«.,>gA..+(|^)iA}
OU simplement
ce les valeurs de h , (^^ el (^l) devant se rapporter ici, pour plu»
3D d'exactilude , au milieu de l'arc mesuré. L'angle ^ doit être supposé j> positif, lorsqu'il s'écarte du méridien, dans le sens deA accroisse- . % meus de 9. j>
Expression de la différence en longitude, des deux méridiens ce testes passant par les extrémités d^un arc du, méridien terrestre.
585. « Pour avoir la différence en longitude , des deux méridiens > correspondans aux extrémités de l'arc, nous^ observerons que » u\^ P,, ^,, ^, étant les valeurs de u', P, A et ^ à la première 2> extrémité, on a, en verlu de ce qui précède,
Mais a très peu près ~ =: — -^^-^ \, ; c = a (-^j tang h, , amsi
qu'on l'a vu ci-dessus; et comme on peut faire d(p = ^ — ^,, dhz=: h — A, = €, on a
par conséquent si l'on soustrait Tune de l'autre les équations (G), on aura
LITRE SIXIÉl^. 9%
-r, v«P «P.; — çQj, ^^ — -j^jr^- , et si Fon éliixune (^ — • ç,), on obtiendra
à cause que cos h = cos A. à fort peu près.
Mais
donc
Enfin, multipliant ces deux membres par sin h^^ et fais vit atteptioui à la valeur de 'z?*, on aura
{P — P,).sia hi = nsr.
« Ainsi Ton peut, par l'observation seule, indépendamment de la 5) connaissance de la figure de la Terre , déterminer la différence eu » longitude I des méridiens correspondans aux extrémités de l'arc » mesuré j et si la valeur de l'angle <w est telle qu'on ne puisse pas » l'attribuer aux erreurs des observations, on sera sûr que la Terre y> n'est pas un sphéroïde de révolution. »
Considérations relatives à la perpendiculaire à la méridienne^ différence en latitude des deux extrémités de cet arc.
384. ce Considérons maintenant le cas où le ( ôté de la ligne y> géodésique est perpendiculaire au plun correspondant du méri- » dien céleste. Si l'on prend ce plan pour celui des xz\ le cosinus
» de l'angle formé par ce côté sur ce plan sera ^ — ^~^ ^ • pour
le démontrer, soit mm' ( fig. 35) le premier côté de la ligne : éodcs'que perpendiculaire au plan du méridien /'£;lesecondcôté77)^^7i'';«s(/t^
â68 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
fonnera sur ce plan, Fangle do rt il vient d'être parlé; car si l'on abaisse sur le plan P'E parallèle à P£, une perpendiculaire m^'p qui sera par consécpient une horizontale, l'angle pm'w!' sera évidemment celui que ds fera avec P'E^ ou PE. Cela posé, si par le point m' l'on mène la petite horizontale c/jc, et par le point j9 la verticale cfe, on aura, par la propriété du triangle rectangle,
pm^ = \/dx^ + c/z% et le triangle rectangle m!p7n!' donnera , en désignant le rayon des tables par i ^
ds:i::pm'z= y/Tx^ + (/z- : cos pm'w!' = ^^''^^^''^ i
mais ce cosinus est nul à l'origine m , puisque mm! est perpendiculaire au plan PJSj donc dx = o, t/z = o, et Ton voit en outr^
que dy = cfe, ou que ^ = i.
U suit de là et des équations (A), que
d.r sin fl cos ^ = o, c?.r cos 8 = 0;
différenciant ces équations en faisant tout varier, et éliminant dr entre les deux résultats , on obtiendra
rd^ = r sin 6 cos S tang ^d^ ;
mais l'équation (5) ci-dessus donne à très peu près, ds = rd(p sin 6; donc si l'on divise la précédente par celle-ci, on aura
de ^^^ tang ç cos I ds ""^ r *
4c La constante c" de l'équation (9), est égale à la valeur de S> xdz — zdx à l'origine ; mais nous venons de voir qu^à ce point, 3> (fx = o, (/z = o; donc cette constante est nulle, et l'équation (9) 7> donne à l'origine
de if ' ^ ds^F^'^^i
égalant cette valeur à la précédente, on obtient, à cause de tang ç = sin ^, du moins à très peu près,
c' = r, cos 9, = r, sin ^,,
y> les quantités r^ et ^6, étant relatives à l'origine. Fartant^ si I'od
3> considère qu'à cette origine, l'ppgle (p est ce que nous ayons » nommé précédemment 9, — - P, ^ et dont nous avons trouvé la
» valeur égale à — ;^, on aura à ce point
cos* A,
ds \^ J cou* hi^
en faisant toutefois r, = 1.
Voyons, d'après ces considérations, ce que devient l'équation (ç); d'abord, puisque c" = o et que <p est de l'ordre a, on a sin 9 s= 9, cos ^ = 1 , et alors Téquation (q) se réduira , en rejetant les quantités de l'ordre a% à
r-rfO = dds.9 — o^dsfds (^).
Différenciant par rapport à ^, divisant tout par ds et remettant pour c' sa valeur précédente, on aura
ddê^ cos #, dpi /du\\ ^-j^
^ = "TT "2^"*" * \dh) ^^Ji
mais l'équation (5) donnant assez exactement ds s^ r,{f<p, sin 9, , on
a à l'origine
dp, . 1
c2ft "" r, 8in#(*
D'un autre côté, de l'équation de la sur&ce du sphéroïde on tire
€t comme en outre
fls= loo» — A — (J^y et que dr =: acfa', on a
fl, =s lOO» — h, --'CL
\dhj
partant, l'équat. (H) deviendra , à cause de cos 9, = sin|^, '+'*C^Oî €t de sin 6, = cos M, + » 0^0} 9 ^t ^^ éliminant r, et ^,
vjo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
dà», ''" {*' + ' &)} . ^^f^\
= tang{^.H-«(^)}(x-|.«u'.)--«(^')
= {tan6*.+.(f^-)} (x-W.) {x-taog/...(^i-)p -.«(^■>
Enfia, dcveloppaat et rejetant les termes en a% on aura, après la réduction,
^ = (i — a«a'.) tang A. + a (~^) tang* ft, (I).
L'équation -^ = ^ ^.^^ devient, par les mêmes substitutions, et par un procédé analogue ,
dp^ 1 Lmf-'i
(i + mu\) cos Ta. + « ("SrOj ^^* A. Fi — - T-^) tang /i.J
D'un autre côté, l'équation {p) donne à l'origine
rflp, ,
, sin^ #, *
rf<>,
ar
codA,^
et la précédente donc
r\ ain* 0, ^" r, cos A,'
et comme aussi, à très peu près, sin 6, = cos A, , on aura
c = r, siu 6j,
Cette même équation {p) étant différenciée, en regardant d$ conuno constant, le terme cds disparaîtra ^ et si on élimine du résultat
^ =? — r-r, c?r = adu\ etc , on aura
dd(^i ds ^ ' ds , \dp, )
dj* rî sin I, r, ain* #, ^^ coa* A,
Mais, à très peu près, sin 9, = cos A, et r. = i — ttvl^ ; ainsi
fit* coa* A, cos* fc, "^ co»' A,
Wi/ \ cos* A, A
L'équation fl= loo' — A — flt^^)donneA= loo* — ô — ^i^'^
si donc on développe h suivant les puissances ascendantes de ^^ c'est-à-dire de l'accroissement de l'arc perpendiculaire au méridien, on aura, par le théorème de Maclaurin ,
en ne conservant parmi les termes de l'ordre 5', que ceux qui sont indépendans de a.
D'ailleurs, à cause de ds == r, sin 6,c/^, de sin 0^ = cos h^ et de r, = 1 à peu près, on aura
ds <2^cosA|'
et partant,
a^n,^^s ^ ^s ^. cosA/VaV'
Mais nous avons vu que 57 == * (^) cof a' ^ ^* ^° vertu de l'équation (I) on a, pour la valeur approchée de -gj;' , -^ = tang h^. Donc l'équation ci-dessus deviendra
» - *■ = - ^âs; {(f ) «""8 A. + (^} - i *• tang A,.
a La différence des latitudes aux deux extrémités de l'arc mesuré 3» fera donc connaître la fonction
COi
3 il est remarquable que pour le même arc mesuré dans le sens du
j> méridien, cette fonction est, par ce qui précède, égale à ^^^ ^ ;
10 elle pourra être ainsi déterminée de ces deux manières, et Ton » pourra juger si ces valeurs trouvées, soit de la différence des lati- D tudes, soit de l'angle azimutal «r, sont dues aux erreurs des » observations, ou à Texcentricité des parallèles terrestres. »
Expression de la différence en longitude, des deux extrémités de Parc terrestre perpendiculaire au méridien.
585. ^ étant évidemment fonction de Tare mesuré dans le sens du méridien, et ^ étant ce que devient Çi, lorsque cet arc reçoit un accroissement s y on aura, comme ci-dessus, et en ne conservant que la prenodëre puissance de ^,
« <p — 9, n^est pas la différence en longitude des deux extrémités » de Tare s; cette différence est égale à P — P, j or, on a, par c% j> qui précède (art. 385) ,
donc, à cause que h s= /^ a peu de chose près^
mais (gj étant ce que devient (-^J , lorsque l'arc en question re^-oit un accroissement ^, on a, par le théorème connu,
partant
D'un autre côté, puisque * §i = -A-, on a 4- = ^ ' , . et par conséquent
« — P — f*. — P ^ s= l^i^cll.
enfin
coa' A,
sfrj'— '•+-«) --ê*- -"-S?!
(c Pour plus d'exactitude, il feut ajouter à cette valeur de P — P, )) le terme dépendant de s^ et indépendant de ot, que Ton obtient » dans Thypothèse de la Terre sphérique; ce terme est égal à
» — i ^* "^r ^^^'* ^9^^» ^^°®^ ^'^° ^» ^^ parties du rayon,
: ^--^^+a(^).tang A.-!^^?;^
COSfK
Détermination de l'angle azimutal à Vextrémité de Varc
perpendiculaire au méridien.
386. » II nous reste à déterminer Tangle azimutal à Textrémîté » de Tare s. Pour cela, nommons x'fz' les coordonnées du point y> m' (fig. 36) rapporté au méridien APX^ de la dernière ex- 3) trémité », et xyz les coordonnées de ce même point, rapportées au méridien APX. Le cosinus de Tangle azimutal /7/n'/7i, d après ce
qu'il a été dit ci-dessus, est égal à ^ , — ^j et puisque xyn sont
les coordonnées de la première extrémité de l'arc par rapport au plan APX^ on aura d'une part, à cause que le premier côté de s C5t supposé perpendiculaire à ce dernier plan,
dx, dz, dy^
de là , en ne conservant que la première puissance de s,
dx ___ ddx, dz ddz,
et de Tautre part on aara, en rapportant les coordonnées aux nouveaux axes y
x's=x.co8(P-.P,)4-J'.sin(P — P,)> y =^ cos (P— -P.) — * sin (P — iP,).
Ainsi, P — P, étant, par ce qui précède, de Tordre «, la différentielle de la première des équations précédentes donnera
divisont tout par ds^ et Ëiisant attention que pour le point que Toa considère y se change en y, , on aura
et par conséquent
Maintenant on a x = r sin 6. cos ç. Différenciant en faisant tout Tarier, et observant que ^ est un très petit angle, on trouve
i£x = i/rsin G.cos f + ^cosScos9{iO — rsinS sin (pd^ = dr sin 6 ■+■ r cos flûS + r sin 6. f {/(p.
Passant à la différentielle seconde, et regardant dp comme constant, on obtient, en négligeant les termes de Tordre a%
ddx = ddr sin fl + r cos 6ddd — r sin 9dp\
D'un autre côté, r= i + au'i donc ddr=z addu!\ donc enfin , en divisant l'équation précédente par (ij% on a, pour la première extrémité de Tare i,
ensuite, à cause de u =y(^, fl), il est clair que
/du\ » , /du'^
rf« = Qd»+(f)<9.
