LIVRE SEOÉME
Différenciant une seconde fois et rejetant les termes de l'ordre oi\ on aura^ en prenant d^ pour constant^
donc à rorîgîne de s on aura , en multipliant par ^, et en se rappellant que dA et dh sont de signes contraires ,
tnaîs, d'après ce que nous ayons. dcjà yu^
dû^ 1 1 ddi. •
partant,
De plus y ds=srt sin 9|(/(p, ; on aura donc^ en substituant pour r,, 8c, '^' et tt; leurs valeurs précédentes,
■^ (1 + «it'.) {(1 — 9««*'.) tang A, + «(^) tang» A. } X sin {*, H- « (^)} — (1 + ««',) cos {a, + « (^)}
négligeant dans le déyeloppement les termes de Tordre^ a^ et réduisant, on trouye, avec un peu d'attention,
Afif
rfy* '"" ^ '' cos A,
On a aussi
z 4= r cos 0}
par conséquent, pour la dififérentielle seconde ,
</*z === c/Vcos 9 ~ (/r sin O.rfB — • rfr sin fl.(i8 — r cos Oifl» — • r sin 9cf •fl ,
ou simplement, en supprimant les termes en a%
d^z = i/^r cos fl — r sin fl(W; mais ddr ss: addu^i donc
^« = a.^cose-.r.sm9.-2;^.
Faisant ici les substitutions indiquées précédeomient et procédant de la même manière, on aura
^ =- (i-«u'.)8in A. -«(^^) lang- A. cos*. + «(-^) ^
Maintenant, si Ton fait attention que ^' = i> ^ que P^^P^ est donné par l'équalion (L), celle (M) deviendra , en substituant aussi pour -^pr sa valeur précédente,
^=«(.-.,^,)i"l:+«(^)ta"s-».-*.-«(^yâ^;
on trouvera de même , à cause de ^=^s. -^ ,
*=-,(i-«^,)-»taA.-«(^)t»ng'*,co8*,+«(^)^.
n suit de là que le cosinus de Tangle azdmutal à l'extrémité de Tare sera
4r Ce cosinus étant fort petit, il peut être pris pour le complément j^ de J'angle aûmulal, qui, par conséquent, est égal à
^ Il faut, pour plus d'exactitude, ajouter à cet angle la partie
y> dépendante de s^ et indépendante de a , que Ton obtient dans » l'hypothèse de la Terre sphérique; cette partie est égale à... » î ^^ (i + tang» A,).tang A, (art. 196). y> Ainsi l'angle azimutal à l'extrémité de l'arc s est égal à
Recherche de Vexpression du rayon osculateur d'une ligne
géodésique quelconque.
387. <ic Le rayon osculateur de la ligne géodésique formant un n angle quelconque avec le plan du méridien , est égal à
jR = ^"^
y> (75 étant constant {Théorie des courbes à double courbure, par » ^.JjxQvoin^ Calcul différentiel, tome I, ou la Correspondance y> sur r École Polytechnique , tome III, p. 36). L'équation du » sphéroïde x^ -f- J^* + 5;* = 1 -f- ^<tu\ donne
xddx +yddy + zddz = — éKs* + addu'-y
y> si l'on ajoute le quarré de cette équation aux quarrés des équa* » tions (O), on aura, en négligeant , comme à l'ordinaire, les termes 7> de l'ordre *%
{x'-\-y'+z')'{{ddxy-\-(ddyY-{'{ddzY) z=ds* — ietds'.ddu's
or, à cause de x* -I- j*'» + z' =5 1 H- a«a', l'équation précédente peut être mise sous la forme
tirant la racine quarrée , on aura
(1+2^7(1 — a« -2^) "ss/îj
et enfin
/îssiH-au'+^-j^.
Dans le sens da méridien on a, comme. on l'a déjà obsenré, ds =z dh, ainsi
. ddu' /ddu'\
et partant,
R=. 1 +««'-{- et (-gp)-
Dans le sens perpendiculaire au méridien on a , par ce qui précède ,
partant,
/drftt'A
iî == 1 +««'.-« (^) tang A, + ::i^A
Nous croyons convenable de &ire remarquer en passant ^ que Ton obtiendrait tout d'abord la différence des méridiens et l'angle dzimutal aux extrémités d'une ligne perpendiculaire au méridien , ainsi que Texpression d'un arc du méridien en fonction de son amplitude, en introduisant dans les formules (6'7, (c") de l'art. 196, et dans la première de Fart. i84, cette dernière yaleor du rayon de courbure développée jusqu'aux termes en a seulement.
cc Si dans l'expression prccédeate à^F'—P^ Ton &it — â=s 5 1 elle
y> prend cette forme très simple , relative à une sphère du rayon f^ » en faisant d'ailleurs « p=s a,
€t l'expression de l'angle azimutal devient (art. 1 96)
ioo^.ltangA, {1— i^(i + tang*./i,)}.
Maintenant si l'on se rappelle que uf =y*(^, h) y on aura
du'^(^J^+(%)dk:
passant à la différentielle seconde^ en faisant tout varier^ il Tiendra
UTRE SIXIÈME. «79
et divisant tout pai* ds*f on aura
ddi/ /du'\dttp ^^ /du'\ddh j^ fiâu'sd^* j^ fddu'Sd^ dk
■3?" "~ \liJl? ■*■ vajy/Sï' ■*" V"3F/3^ "*" \4p3K//S • 2r
,f^u\ dh* "^ Kdh' J ' ds''
<c Nommons ^ l'angle que le premier côté de la ligne géodésique » forme avec le plan correspondant du méridien céleste; on aura, 3> dans l'hypothèse de la Terre sphérique, ces équations di£fêren- 3» tiellcs
dp, ___ gio./# ddp, ___ asin A co« A . .
37 — Z^T,* 1F — co. h, •'^"S «.»
•2;' = cos^, -^' = — sin'^.tangA.j
démontrées à l'art. iq5.
De là, la valeur précédente de -^ devient
» le rayon oscolateur R dans le sens de cette ligne géodésique, est » donc
j> Soit, pour abréger,
X=si+«i^',
= i-^°6^' V3Â-; - 5 i5r--Âr + 5 Ua- )>
28o TRAITÉ DE GJÉODÉSIE.
» on aura
jR szK + Af.sin 2^ + iV.cos sui.
» Les observations des angles azimutaux, et de la différence des 7> latitudes aux extrémités de deux lignes géodésiques mesurées ,
V l'une dans le sens du méridien, l'autre dans le sens perpendiculaire
V au méridien^ feront connaître, par ce qui précède, les valeurs 7> de Mf N et Ki car les observations donnent les rayons oscula^. n teurs dans ces deux sens. Soient R^ et K' ces rayons j on aura
A ~ 5—, iV j— ,
» et la valeur de Jf sera déterminée, soit par l'azimut de l'extrémité 9 de l'afc mesuré dans le sens du méridien , soit par la différence en » latitude, des deux extrémités de l'arc mesuré dans le sens perso pendiculaire au méridien. On aura ainsi le rayon osculateur de la 3» ligne géodésique, dont le premier côté forme ua angle quelconque » avec le plan du méridien. »
Si l'on nomme 2E un angle dont la tangente = ^, on aura iî=:2SC+Jlfsina^+iS^.cosa^=2C+^(tang aËsina^Z+cos a^), mais tang aE = ^^^-^ ; donc
JR =z K ^ r: (sîn a JB sin a^ 4- cos a£cos a^)
C08 2JC» ^ ^
D'un autre côté , puisque tang a£ s= ^ par hypothèse , on a ^1 = 7v ' «' -^^a—=m> ^«" SSFJl = -ïv^-. et ensuite
Le plus grand rayon osculateur r' répond k u^ ss E, puisque l'ou a
LITRE SIXIÈME. a8i
Le plus petit rayon osculateur rrépoadà^ss loo'-t- •£>pQi8<IU6 Ton a
par conséquent
Ces valeurs étant introduites dans l'équation {m) précédente, on aui*a
JR = î4^ + îl=-^ cos 2(^-E);
et puisque cos 2{^ — JS) = cos* (^df -^ £r) — sin' (^ — B) = acos* (-df — JE) — 1 , il s'ensuit que
iî = r H- (r' — r) cos*.(-^ — JE);
u4 — E étant l'angle que la ligne géodésiquç, correspondante à R, forme ayec celle qui correspond à /.
Détermination du rayon de Vellipsoïde osculateur.
388. <c Nous avons déjà observé qu'à chaque point de la surface 3) de la Terre, on peut concevoir un ellipsoïde osculateur sur lequel > les degrés, dans tous les sens, sont sensiblement les mêmes dans » une petite étendue autour du point d'osculation. Exprimons la y> rayon de cet ellipsoïde par la fonction
1 — a sin*A.{i+;t.cosa(^ + Ç)}j
» les longitudes f étant comptées d'un méridien donné », et soit
— sin*A{i4-^cos2((p4^))==u'==;^--»(ï— îCOsaA){i-f^cosa(ç-fÇ)}^ on aura
C^ = — asîn h cos h {i +A* cos a((p+ff)}
=:*^sin aA Ji+/t^ cosa(^ + ff)J, (^)~ "" ^^^^ ^^ ^^ 4-Atcosa((p + C)},
et par conséquent
s8a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
b' 4- (^) = — ï (i + 3co8 aA) { 1+ A* cos a(^ + ff)),
donc l'expression de Farc mesuré dans le sens du méridien, sera (art. 38i)
i — — {i 4-/AC08a(^-f-ff)J,{i-|-3co8 aA— 5€.8ÎnaA).
a Si l'arc mesuré est considérable , et si l'on a obseryé , comme 31 en France, la latitude de quelques points intermédiaires entre les 3> extrêmes, on aura par ces mesures, et la grandeur du rayon pris » pour unité, et la valeur de a.{x -|-/t« cos 2(^H- f)}. » On a de plus en différenciant la valeur de u', d'abord par rapport à ç, ensmte par rapport à A,
(j'\ = asin* hcos h.fi sîn a(^ -f- C) (/ï), jT^j = 4sin h cos h. /a sin a(<p -f- ff) = asin ^h.fju sin a(^ 4-^) j ainsi ^ la dernière valeur de « (art 38a) deviendra
-zr s= — a<t€iu tang^ft ^''"'*J^^^— ^ sin a((pH-C)
*== ^^^'^ • *'^ïr (^ "'" ^^^* • *) • ^^^ ^(^ + ^)-
L'observation des angles azimutaux aux deux extrémités de Parc, fera donc connaître aft.sin a(^+C) ; et si l'on dififérencie l'équation (w), on aura
et par conséquent
-^^ = 4a^ tang* Acos a((p Hhf)j
or, puisque le rajon osculateur, dans le sens de la perpendiculaire à la méridienne, est
/ddu\
IrVRE SIXIÈME. »gS
on aura, en éliminant les coeiSciens différentiels, et ponr le degré dans le sens perpendiculaire au méridien, * ^
iJ=i*4-i***sin*A{i-f-/*cos2((p+^)}-f*4*-a/4tang\Ac()S9(^+C)»
(c La mesure de ce degré donnera donc la valeur de cl/i cos ((H-S) ; )i ainsi l'ellipsoïde osculateur sera déterminé par ces diverses me- » sures : il serait nécessaire, pour un aussi grand arc, d'avoir égard » au quarré de i dans Texpression de l'angle 'zr, sur- tout si , comme on V Ta observé en France, l'angle azimutal ne varie pas proportionnelien » ment à Tare mesuré ; il faudrait même alors ajouter à l'expression » précédente du rayon de l'ellipsoïde, un terme de là forme. . . . y> ak sin A. cos h.sin (^+^')> P^^r avoir l'expression la plus généy> raie de ce rayon. 7>
38g. Maintenant, pour déterminer Tellipsoïde osculateur en partant des mesures de la Terre, il conviendrait, comme à Fart. 177, de comparer à la figure elliptique les dôgrés mesurés des méridiens ^ et l'on verrait que cette comparaison donne, pour la figure des méridiens, des ellipses différentes qui s'éloignent trop des obser* valions pour pouvoir être admises; d'où Ton doit conclure que la Terre n'a point la forme régulière que l'on serait d'abord tenté de lui attribuer^ Cependant, avant de renoncer entièrement à la figure elliptique, il importe de déterminer celle dans laquelle le plus grandi écart des degrés mesurés est plus petit que dans toute autre figure de même espèce. M. Laplace donne deux méthodes pour atteindre ce but : elles sont exposées au livre III, page i38 de la Mécanique céleste. On peut aussi employer à cet effet la Guéthode des moindres quarrés (art. 37&). C'est dans l'Ouvrage même de ce grand géomètre que l'on prendra une entière connaissance de la théorie actuelle qu'il a envisagée sous le point de vue le plus général.
Formules pour corriger la mesure d'une perpendiculaire à la méridienne^ et la différence en longitude de ses points ex^ trémes.
5qo. Lorsau'un réseau trigonométrique , destiné à faire connaître la l^gae» d'un grandarc, eeioompri, en^deuxba«s mcurée. auxquelles il est lié, on déduit de l'une de ces bases la longueur de l'autre. Si la longueur ainsi calculée ne difi^e que très peu de la
a84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
mesure directe, il y a tout lieu de croire que le résedu et Parc scmC «xactSy à fort peu près. On fait disparaître ensuite la petite dififêrence entre le calcul et Tobseryation , en modifiant arbitrairement les angles des triangles dont la mesure est presque toujours un peu moins sûre que celle des bases.
Pour éviter, dans ce cas, de s'appuyer sur des considérations vagues et incertaines, Pillustre auteur de la Théorie analytique des Prohabilités vient de prescrire des règles sûres, au moyen des^ quelles on corrige de la manière la plus avantageuse, non-seulement l'arc mesuré perpendiculairement à la méridienne, mais encore la différence en longitude de ses extrémités. Voici en quoi elles consistent.
Concevons, sur une sphère, un arc de grand cercle AA^J!'* . . (fig. 57) coupé en A\ A^\ . . . par les côtés de la chaîne des triangles ACC% CCC. . . ; désignons par A l'angle CAA'^ par u^'^ l'angle CAA\ par ^•> l'angle C'A*A'\ etc., et soit Cl'angle ACO, C^"> l'angle CCC\ C^»> l'angle CC'C\ etc.; on aura (art lég)
^ étant l'erreur de l'angle observé C\ t désignant l'excès sphériquc du triangle ACA'.
Dans les triangles sphériques A'CA^^ A'C'A"'^ on aura
pareillement
A^'^ + ^•^ + C^'^ ~ e^'> = a<i + f'\ ^o 4. ^s) ^ (xo g(0 = aQ ^. i(o^
^(3) ^ ^4) ^ (^3) ^3) aQ ^ iC3)^
d'où l'on tire facilement
A^'^ z=m A ^ C -— C^O ^ (XO . C^3) j^ c^.i-0 (X..-i>
— ^ + ^'^ ^W ^ ^(8) ^ti^.) ^ ^(ti-»)
< 4- fCO fCO 4. ^(3) ^ai-O ^ ^^-o^
Introduisant cette valeur dans la dernière ci- dessus et réduisant, il vient
en supposant donc ^ déterminé par Tune des méthodes du chap.YI^ livre V, et bien connu, Ferreur de Fangle A^^ est
le signe supérieur ayant lieu si n est impair^ et le signe inférieur si n est pair. Les valeurs de *, <^*^, <^*^ sont toujours fort petites , et sont susceptibles d'être déterminées avec précision. En désignant par Tl'excès des trois angles observés sur deux angles droits; paryÇ^ les erreurs des angles ACC^ CAC\ du premier triangle; on aura
quantité donnée par Tobservation de ces angles (art. 149).
M. Laplace cherche ensuite la probabilité que Terreur (1) est contenue dans des limites données, et il trouve que la valeur la plus probable de e est celle qui rend nulle la quantité e — \T\ d'où il suit qu'il faut corriger, comme on le &it communément, les trois angles de chaque triangle, du tiers de l'excès 7 de leur somme observée , sur deux angles droits plus l'excès sphérique.
Faisant
diminuant l'angle C, de \ T, c'est-à-dire employant les angles corrigés de chaque triangle ; enfin nommant C, C\ ce que
deviennent, par ces corrections, les angles C, C^'^ ; on aura
visiblement ^
AS"^ ^ A +C^ C^'^ + ^•^ — etc.
— ^ 4- ^ — ^ + etc.
— f + t* + t* — etc.,
^.i-o ~ aq ^ «. c + C^"^ — etc.
+ e — ^ + etc.
+ t — . «co ^ etc.j
et Terreur de l'angle ^"^ sera
€ — ^ dse (a).
M. Laplace Êdt remarquer qu'il y a de l'avantage à observer
fl86 TftAITÉ DE GÉODÉSIE.
les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on yient de le dire ; cet avantage consiste en ce que la probabilité de la seconde erreur (a) est moindre que la première (i).Cet illustre géomètre prescrit en outre de ne rejeter aucune des observations géodésiques qu'on admettrait si elles étaient isolées , dans le cas où quelques^ unes s'éloigneraient un peu des autres , atin de pouvoir leur appliquer avec succès les formules de probabilité.
391. Si Parc AA'A^*. . . est perpendiculaire au méridien Ax^j que 9 soit l'angle mesuré par ce méridien et par celui du point extrême ^^"\ et que V soit le plus petit des angles que ce dernier méridien fait avec l'arc AA^^^x on aura
. ^ coa^
h étant la latitude du point A. Si donc /^ et cT/^ expriment les erreurs des angles f et ^, on aura , en difiërenciant^
^ sin h cos ç
Si Ton a mesuré avec une grande exactitude l'angle que le dernier côté de la chaîne des triangles forme en ^'^ avec la méridienne de ce point, on aisra
^.A^"^ étant l'erreur de ud^"^.
Abaissons maintenant des sommets C, Cj C... des perpendiculaires CI y CTy CT... sur l'arc AA'A'...\ on aura à très peu près
Al = AC cos A y ir 5= ce cos A^^\
et généralement
j(oj(i-M) (XOC('-»-o cos A^'^'\
En supposant donc que ^ soit la caractéristique des erreurs, on aura, après avoir divisé par celte dernière équation , son expression difierentielle,
On a, par ce qui précède,
et le (i+ 1)'*"' triangle donne
par conséquent
^■^^^^^'^ . ^^c^'O'-'' j. J^ cc'-^oco-occo cet C^^^occi-occo
— J^. CC«-«)cc«-i-.>cco . cet C^'-occ'+occo.
« Mais « est , par ce qai précède , Perreur de l'angle CS^ ou » (Xi-occoc^-^-o^ corrigé en en retranchant le tiers de l'excès de la » somme des trois angles observés du triangle sur deux angles droits.
» Soit 7^'^ l'erreur del'angle C^'-^C^'-^'^C^'^ainsicorrigéj-C e^^+f^"^) y> sera l'erreur du troisième angle C^^''>C^^'^C^^. On aura donc
» ce qui donne, en observant que dans le premier triangle, le côté }> ~'^C est u^C que je suppose mesuré exactement ,
;>.C(oc(^o ((ê^'' 4-7^*'). cot C('*oci'-oc(0\
3) le signe 2 serrant à exprimer la somme de toutes les quantités j> qu'il renferme depuis i c» o jusqu'à i inclusivement. On aura donc » ainsi la valeur de cT. J^*^J^'"^"\ En réunissant toutes ces valeurs, 7> on aura, pour l'erreur entière de leur somme ou de la ligne mey> surée , une expression de cette forme ,
pe +q/ + p^'^e ^ + q^'^f^^ + etc. (o).
M. Laplace découvre la loi de probabilité des valeurs simultanées
de e et /y et trouve les limites entre lesquelles est comprise la fonction (o).
Sga. On a vu, à l'art. 387, que le rayon osculateur de la ligne
géodësique au point A de départ, se déduit de Tare mesuré, et qu'en désignant par i ^ttul le rayon mené du centre de gravité de la Terre a sa sur&ce, le rayon osculateur dans le sens de Parc AA^^\ * • perpendiculaire au méridien de ^, est
de plus, si l'on nomme s la longueur de l'arc mesuré A^% on aura^ à fort peu près (art. 387),
ce qui donne , en différenciant et s'arrêtant aux quantités du second ordre,
enfin on a, par ce qui précède,
i's z=z pe + qf ^ etc.,
qr lAW ± Ç — ?'^ + ?*^— etc.)
sin h sln A
le signe inférieur ayant lieu si n est pair, et le signe supérieur si n est impair.
(c Supposons que , pour vérifier les opérations , on mesure vers » l'extrémité ui^'^ de l'arc A A' A' . . . une seconde base. L'expres- » sion de Terreur de cette base , conclue de la chaîne des triangles » et de la base mesurée au points, sera, par ce qui précède, de )» la forme
Le +• m./+ f'^.e ' + m^'^.jT' •+• etc. (/?) j
cette expression sera d'ailleurs connue par la mesure directe de la seconde base. M. Laplace trouve , en la désignant par A , que Ton a
e — jr— , y ~ F ^
etc.;
If = /• — m/H- ffi' -t- /^'î* — m^'\f'\ H- to^'?* + etc.
Alors en substituant ces valeurs dans la fonction (o)y on aura la correction résultante de la mesure de la seconde base, en l'afièctant d'un sfgne contraire. De cette manière y le poids du résultat se trouve augmenté; c'est-à-dire que la probabilité de ses erreurs étant rendue plus rapidement décroissante , ces mêmes erreurs deviennent moins probables par la multiplicité des bases.
La mesure d'une seconde base sert aussi à corriger la di0erence en longitude des points extrêmes, ou l'angle ^"\ Il suffît de substituer à la fonction (o) celle-ci :
\e —> e + ^ -^ etc.j,
qui exprime l'erreur de ^"^; le signe supérieur devant être pris si n est impair, et l'inférieur si n est pair. Alors on a
p = =b 1 , jf = o, p^*? = rp 1 , q^'^ =5 G, etc. ; et la correction additive à faire à l'angle ^"^ est
q;A.(/— fCO + /CO— etc. — jm+imCO — etc.) /»— 7ii/+m*+/CO*mW^O+/nCO»4.etc. *
Par ce moyen, l'erreur qui peut encore affecter l'angle ^^"^ ainsi corrigé, se trouve renfermée dans d'étroites limites. M. Laplace observe que si l'on diminue autant qu'il est possible le nombre des triangles qui doivent mesurer une ligne géodésique , et que Ton apporte une grande précision à la mesure des angles , deux avantages que procure l'emploi du cercle répétiteur et des réverbères , la méthode ci-dessus , appliquée à la mesure d'une perpendiculaire à la méridienne, sera une des meilleures dont on puisse faire usage pour avoir la différence en longitude des points extrêmes de cette ligne.
Les considérations analytiques sur lesquelles ces préceptes sont fondés étant beaucoup trop relevées pour cet Ouvrage, nous renverrons au deuxième Supplément à la Théorie analytique des Probabilités, qui est entièrement consacré à l'application de cette théorie aux opérations géodésiques.
a^o TRAITÉ DE
