CHAPITRE IV
Détermination de la figure de la Terre, par les observations
du pendule.
Théorie du pendule simple oscillant dans le idde.
595. i^t Ton attache un corps, une sphère de métal, par exemple^ à l'extrémité inférieure d'un fil ou d'une verge mobile autour d'un point fixe placé à l'autre eiktrémité , et qu'on l'écarté un peu de sa situation verticale, il fera, étant ensuite abandonné à l'action de la pesanteur, de petites oscillations qui seront à très peu près isochrones ou de la même durée , malgré la difierence d'amplitude des arcs décrits. Les oscillations^ c'est-à-dire les allées et les venues alternative» du pendule, se nomment aussi vibrations : elles se perpétueraient, sans la résistance que l'air oppose au mouvement du corps oscillant, et sans celle que le pendule éprouve au point de suspension. On nomme ainsi le point autour duquel le mouvement a lieu.
La durée des oscillations dépend de la grandeur et de la fiigure du corps suspendu, de la masse et de la longueur de la verge, ainsi que de la densité du milieu dans lequel se fait l'expérience. II ne sera question, pour le moment, que du pendule simple oscillant dans le vide ; c'est celui dont la masse de la verge est supposée nulle relativement à celle du corps considéré comme un point infiniment dense. Nous ferons voir ensuite comment on détermine la longueur de ce pendule idéal, dont les oscillations se feraient dans le même tems que celles du pendule composé, et qui aurait par conséquent pour longueur la distance du point de suspension au centre d'oscillation, c'est-à-dire au lieu où Ton conçoit réunie toute la masse du corps en mouvement.
On sait, par ce qui précède, que les mesures géodésiques, com^ binées avec les observations célestes, font connaître l'ellipticité de la Terre. Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'elle se déduit aussi avec beaucoup d'exactitude des longueurs observées du
pendale à secondes ; car d'après la loi de la pesanteur^ Vaccroisse* ment de ce pendule, en allant de l'équateur au pôle est proportionna au quarré du sinus de la latitude , et sa valeur dépend de celle de rellipticité du sphéroïde terrestre.
Richer remarqua le premier cet accroissement de la longueur dtt pendule, dans le voyage qu'il fit en Amérique^ en 167S1; il trouva que son horloge, réglée à Paris sur le tems moyen, retardait chaque jour, à Cayenne , d'une quantité sensible. Environ soixante ans après lui, Bouguer fit des expériences du même genre au Petit-Goave dans Hle Saint-Domingue, à Quito sur le mont Pichincha, et dans d'autres lieux de la Terre ; et il s^assura par ce moyen que Pintensité de la pesanteur, l'un des phénomènes les plus singuliers du système du monde, décroît en outre dans le sens de la verticale, en s'éloignant du niveau des mers.
594. Pour examiner de la manière la plus simple les circonstances du mouvement du pendule, dont les excursions sont censées &ites dans un plan vertical, nous partirons de ces principes connus, savoir :
1*. One lorsqu'un qorps descend, par la seule action de la pesanteur, le long d'une courbe, il a en chaque point la même vitesse quo s'il était tombé librement depuis le niveau du point de départ jusqu'à celui d'arrivée, quelle que soit la courbe décrite;
a*. Que l'équation du mouvement d'un point matériel assujéti à
parcourir une coiïrbeestT-J=^, ouj-tss ^; ^ étant la force continue estimée dans le sens de la tangente à cette courbe, ,î l'arc décrit au bout du tems f , et |/ =: ^ la vitesse acquise (Mécaniquû
de M. Francœur, n* i64).
Cela posé, soit^ la force accélératrice de la pesanteur qui ianime le point matériel M (fig. 58) suspendu à l'extrémité du fil CiÛ^suppps^ sans pesanteur et inextensible; C le point de suspension ; ^P = x l'abscisse verticale, et PM=jr l'ordonnée du centre d'o&cillation ^C = a la longueur du pendule ; ^D = & la flèche de l'arc B^^ff; B le point de départ du mobile ; s l'arc ^M dans lequel il se meut;^ enfin v la vitesse qu'il a acquise au point Jf après le tems écoulée
La vitesse v étant due à la hauteur DP^ on a, à cause de. 4 9/ DP = b^Xy
aga TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Mais l'arc s décroiasant à mesure que le tems t augmente^ on doif écrire
Il faut exprimer ds en fonction de dxy afin de pouvoir intëgrer cette équation; ce qui est facile y car le quarré de l'élément de l'arc s ajanS pour expression
ds*=zdx^ + dy^ d'où ds = dx\/i+(^\
et l'équation de la trajectoire ^MB étant
X* -1-^' — ^ax 3= o, on trouve de suite, par la differentiation, que
// fî^ — cct r ^
et de là
dt= ""^
Multipliant et divisant respectivement par sa les fiicteurs sons le radical, puis indiquant l'intégration, on a
Le développement du Sicteur ■ J! ^== (^ "~ £;) * P^ ^ ^^
mule du binôme conduisant à une série convergente, l'expression de t se change en celle-ci :
et pour lors l'intégration est réduite à celle des termes de la forme vcTj— X*) ' ^^ l'eflectuera au moyen de la formule connue
mais comme on doit ici intégrer entre les limites xsso^ x=i by afin d'obtenir le tems de la demi-oscillation , son premier terme devient nul par l'une de ses suppositions. Si donc on fait successiyement m = i , m = 3, /n = 5. . . , on aura
V/(éx — a:*) "" 4 J l/(6ar— a*) "*" a. 4*^
ainsi de suite.
D'un autre côté, a cause de /-tt^ ^ == / -77==========7= =
arc ^cos = ^T' \ on obtient, en substituant ces valeurs,
A la limite x=ib on a {=o; mais à celle ;c==:o, il vient •••
arc ^cos s= ^^^ J = ^, ou Stt, &7f, 77r j tt étant la demi-
circonférence pour le rayon =s i. Donc en désignant par 71a valeur de t résultant de l'intégrale définie, on a
'■=J'v/a>{'+G)"à+(rD"-ife+(r|l)'.^+-} «>
c'est le tems que le mobile met à descendre du point B de départ au poiAt ^ le plus bas où la vitesse , en vertu du premier principe
énoncé précédemment, est S/^ffb. Arrivé à ce point, le mobile ne pouvant ni s'arrêter, ni rétrograder, puisqu'il n'y rencontre aucun obstacle 9 continuera à se mouvoir dans le même sex]|S, et fera la demi-oscillation ascendante parfaitement égale à la première; ce qui est manifeste, car lorsque f^so on a x=:b. Après cela il descendra, par le seul efièt de la pesanteur, pour faire une seconde oscillation , et ainsi de suite 3 en sorte que la durée de chaque oscillation sera= aT (*).
(^) La valeur de 7* donnée par Téqnation (1) se déduit d'nne formule plus gé* nérale, obtenue par M. Laplace (^Mécanique céleste, tome I^ n? 11). Cet illustre géomètre y coasid^ le cas des oscillations coniques {voyez aussi à ce sujet la Mécanique de Francœur); mais dans les expériences du pendnlj^on di^ose Tap* pareil de manière que les oscillations soient circulaires.
âgé TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
La flèche b de l'arc 98 décrit par le pendule étant le sinus yerse do Tamplitude de cet arc , on a i = 1 — ces b= asin* ^ 0; mais l'amplitude 8 étant très petite ^ on a, à fort peu près, asin^ 7 6 s= ^sin* 0;
ou désignant maintenant par t la durée d'une demi-osciUation dans un arc infiniment petit, on aura
puisqu'en supposant b assez petit pour pouvoir négliger les termes de la série précédente , où cette quantité entre comme Ëicteuri on a, pour l'oscillation entière,
af = 9ry/| (a).
Il s'ensuit que, quelle que soit l'amplitude de l'arc BAB'^ pourvu cependant qu'elle soit très petite, le tems de V oscillation entière sera le même.
Il résulte encore de cette hypothèse, que pour un autre pendule o! oscillant dans un autre lieu où la gravité est g\ on a
Donc lorsque les tems des oscillations respectives de deux pendules sont synchrones ou égaux.
c'est*à-dire que les longueurs de deux pendules battant les secondes j par exemple, sont entre elles comme les forces accélératrices de la pesanteur.
Si l'on supposait au contraire un pendule invariable, ou les longueurs des pendules égales, on aurait
ainsi, A?^ tems seraient réciproques aux racines quarrées des forces accélératrices.
Dans le même lieu on a g^=^sfy ^^ ^^<^^^ ^^^ équations (a) et (3) donnent^ pour deux pendules de différentes longueurs^
c'est*à*dire que les durées des oscillations sont entre elles comme les racines quarrées des longueurs des pendules.
De l'équation (i) l'on tire, en désignant 2t par r, et en supposant b extrêmement petit,
telle est la valeur de la pesanteur^, qui, comme l'on sait , représente le double de l'espace qu'un corps , tombant dans le vide , parcourrait dans la première seconde de sa chute. Elle se détermine avec la plus grande exactitude; par les observations du pendule, comme nous le ferons voir par la suite. Nous remarquerons seulement pour le moment, que si un pendule simple d'une longueur a fesait iV^oscil-
lations dans T secondes, on aurait d'abord r = ?^, et ensuite
vr exprimant la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon =s i. lorsque a = a', et T = T', on a
donc les quarrés des nombres d* oscillations, faites en même tems par deux pendules de même longueur, sont comme les forces accélératrices.
Lorsque deux pendules de difierentes longueurs oscillent dans un même lieu et dans le même tems, ou a ^=^', T = T'; partant
a —jfi'
or, en supposant que a' soit la longueur du pendule simple qui bat les secondes, et que a difiere très peu de a', on a. en faisant N=:N'^n, K
Les deux derniers termes de cette expression sont donc la coi^rection à faire au pendule observé^ pour le réduire au pendule à secondes.
On conçoit maintenant que les obsenrations du pendule doivent £ure connaître la figure de la Terre, puisqu'il existe une relation entre la pesanteur et la longueur du pendule qui bat les secondes, et que l'intensité de la pesanteur dépend de la grandeur du rajon terrestre. Le tome second de la Mécanique céleste contient^ sur cette matière, des déyeioppemetis importans que ne comporte pas cet Ouvrage.
Mouvement du pendule dans un milieu résistant.
395. Puisqu'un corps plongé dans un fluide perd une partie de son poids égale au poids du volume du fluide qu'il déplace, il est clair que le pendule qui oscille dans l'air, fait moins de vibrations que s'il était mis en mouvement dans le vide, toutes choses égales d'ailleurs. Si donc un pendule battait successivement la seconde dans difierens milieux , sa longueur augmenterait à mesure que la densité des milieux diminuerait, par la raison que cette diminution de densité produirait une augmentation dans la pesanteur du pendule. Un autre faitdîgne de remarque, c'est que, quelle que soit la résistance du milieu, les oscillations du pendule se font toujours dans le même te/n^; cette résistance diminue seulement l'amplitude de l'oscillation et finit par l'anéantir. Bouguer est le premier qui ait énoncé ce théorème, dans son excellent Ouvrage sur la Figure de la Tbrr^^page 34 1. Borda s'était proposé d'en donner une démonstration; mais son Mémoire sur la Tliéorie du pendule n'ayant pas été publié, M. Poisson a repris le même sujet, et Ta traité de manière à ne laisser rien à désirer. Voici sa démonstration, à quelques observations et développemens de calculs prés.
Soit g^ (fig. 39) la gravité relative au milieu où se font les oscillations, et comme précédemment ^P = jc, uc/Jf = ^, ^B = K, CM = C^ = à, et prenons pour unité la masse du pendule réunie
à son centre d'oscillation ; g^ t- sera la gravité décomposée suivant la tangente à la courbe.
Supposons la résistance du milieu proportionnelle au quarré de
la vitesse, comme on le &it le plus généralement, et repi^entons-Ia
par m^yin étant an coefficient constant donné par Fexpérience,^
et qui dépend de la densité du milieu et de la figure du corps oscillant. L'équation du mouvement du centre d'oscîUatioa sera, pendant la première demi-oscillation y
en observant que la composante ^, -j- de la gravité tend à diminuer
Parc s tandis que la résistance du milieu tend à l'augmenter, puisqu'elle s'exerce toujours en sens contraire du mouvemept^ qui se lait ici de JU vers ^. On a en outre
x = aQi — cos^h et par conséquent
dx * s s ï J* -
-5- = sm - ;= - — — 5 -1 -f-. . r
as a a s. 3 ar '
£n négligeant d'abord les puissances de ^ et de ^ supérieures à fa première , l'équation (i) devient
et intégrant par la méthode du n"" 3^4 {Calcul intégral élémentaire de M. Lacroix), on a
en mettant le signe ---^devant le radical, parce que t augmentant , 5 dinûnue. Les constantes arbitraires se déterminent par la condition^
ds
qu'on ait en même tems f = o,5s=JC,^ = ojif étant l'amplitude
de la première demi-oscillation supposée très petite , et ^ ïs a lavitesse au point de départ. On trouvera d'abord
^ = o = \/c — Êi-»:*, d'où C = ^JS:*j
dt Y. a ' a '
fl. 38
€t par conséquent
^'ailleurs, à €aufie dç
il vient
t = -4— .arc fcos = ^^ -f- C.
On détermine ensuite la constante C, en faisant dans cette dernièreéquatioD tzszOyS;=zKy et alors on a C = o j donc
/ = --i^{arc(co8 = ^)}î donc enfin
Pour avoir une valeur plus çxacte de s^ soit
^ = JC cos^tt/^ + ^'j
en subslituant cette valeur dana Téquation (1)^ puis négligeant les^ puissances de K supérieures à la seconde, ainsique les produits A*^,
A" ^ , on aura, pour déterminer la correction s'y Téquation
Cette équation, qu'il s'agit d'intégrer, ayant la forme de celle-ci:
de laquelle on tire
yzsip cos.^x + q sin.u^x
, si Q . AxfRàx CO8 . Ax — cos . AxfRdx sin . Ax ■* A
ïlYKt SIXIÈME. ^99
(Calcul intégr. élém. de M. Lacroix, n* a8a), on trourera avec un peu d'attention et en faisant
u = ty/%
que l'intégrale cherchée est
s' zszp C08 Z^ + 9 8În U H (ï 4- î COS. nu).
Les constantes p et ç se déterminent de manière qu'on ait à-la-fois t = G, y sïï= G, ^ =5 oj or, dans ce cas, on a i^ = o, et l'équation précédente donne
ensuite, si on la différencie par rapport à / et u, pour obtenir le rapport 5^ j ^^ 37 = ^> o^^ trouvera, après avoir fait i^s= o, que la constante q est nulle. On a donc
,'=:^(i-4cos.«^5 + icos.aiY/ï)' et enfin
^ = ircos-/^Ç+^(i-|cos.f^Ç + icos.af^0
Ainsi, en supposant K assez petit pour qu'on en puisse négliger la troisième puissance, cette formule représentera la valeur de s pendant toute la durée de la première demi-oscillation.
Si l'on désigne par 7^ le tems de cette demi-oscillation, on aura, pour le déterminer, l'équation ^ := o, ou
cos.r^f + ^(i-fcos.r^5 + icos.ary/|^^
en négligeant le terme multiplié par IC, on tirerait de cette équatioB, Ti/^ = -) '^ étant la demi-circonférence pour le rayons 1 j fidsant
donc T 1/^ =c ^ -4- ^, et négligeant les puissances de tf supérieures à la première, on aura
5oo TRAITÉ DE GÉODÉSIE. /
cos , r» Aï = cos - — i' sin - = — f',
.2Tt/^ = cosTT — t'sinTT = — i;
cos
substituant ces valeurs dans Téquation précédente, et négligeant le
Km
produit t'Kj on obtiendra f ' = -g- ; partant
ainsi le tems de la première demi-oscillation est augmenté par l'eSet de la résistance du milieu.
Four avoir la vitesse au point le plus bas, différencions la valeur
trouvée pour ^, et substituons dans j la valeur de Tj nous aurons , en appelant /^ cette vitesse et en rejetant les puissances de K supérieures à la seconde, /^= — K (i — ^^ j \/ ~î ^^ ^^^^ ^^
Élisant abstraction du signe qui indique seulement le sens du mouvement,
il suit de là que la vitesse acquise au point le plus bas est diminuée par la résistance du milieu.
Déterminons maintenant le tems de la seconde demi-oscillation. A est alors le point de départ où la vitesse est égale à celle acquise pendant la première demi-oscillation.
Faisant ici ^P' = x, ^M = ^, CM = CA = a, l'équation du mouvement pendant la seconde demi-oscillation sera
d's dx ds^
dx
parce que, dans cette circonstance, la composante ^i -r- de la pesanteur et la résistance du milieu sont deux forces tendantes à diminuer l'arc 5, compté du points le plus bas, qui est maintenant le point de départ. En faisant deux approximations successives, conmie dans le calcul précédent , on a d'abord
et «n intégrant,
les deux constantes arbitraires étant déterminées par la condition qu'aiH point de départ ^^ on ait ï = o, * = o, ^ = ^a= JT (i — ?^) v/Ç.
Ensuite, posant * = JT (i — ^^\ sin . t »/& + /, on trouve
donc, en ne conservant que les premières et secondes puissances deiS:,
*=JS: (i-ÏJ^) 8in.*^Ç-2^(i--f cos.iy/&-icos.a*^&).
Telle est la formule qui représente par approximation la valeur de s^ pendant la durée de la seconde demi-oscillation.
ds
Le mobile s'éle vaut jusqu'à ce qu'on ait j= o, si Ton désigne par T le tems de la seconde démi-oscillationi on aura, pour le déterminer, réquation ^ = o, ou
