co8.r y^&-^(sin.r^f 4-sin..r ^f

Faisant T' i/^ =s - + i', et omettant les puissances de tf supérieures à la première , ainsi que le produit l!K , il vient i' :^ — -5-, et de là

Donc le tems de la demi-oscillation ascendante est diminué par l'effet de la résistance du milieu, de la même quantité que celui de l'oscillation descendante est augmenté. D'où il résulte ce théorème , que le tems de V oscillation entière est le même que si le mouue-ment avait lieu dans le vide.

Pour déterminer l'amplitude K' de la seconde demi-oscillation , il faudra faire t^=^T' dans la valeur de s relative à cette demi*

5oa TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

asdilation; alors en ne conservant que les deux premières puissance! de K^ on trouvera

De ipéme, ai iif^, K^^^ ete. , représentenl les amplitiides de la troir sième, cpaËrième, etc. demî-osciilation, en aura

ce qui fait voir que ces amplitudes diminuent successivement et avec d'autant plas de rapidité, que. te coelScient m de ki résistance est plus grand.

Bonguer a rema«;ué le premier que les ampUtudesdes arcs (écrits par un pendule oscillant dans l'air, décroissent à très peu près en procession géométrique , quand le nombre des oscillations croît en progression arithmétique. Cette propriété se déduit aisémeot de la théorie précédente ; car on a d'abord

Mais lorsque le pendule est composé d'un fil extrêmement fin et

que la boule qui y est suspendue est tréS-pes^nte, le tenne^^,dA

à la résistance de Pair, est très petite et les amplitudes décroissent avec'beaucoup de lenteur; on peut donc supposer dans les valeurs précédentes^ que ce terme est constant peudaut un court intervalle

de tems. Alors si l'on désigne par q le facteur i — ^^, on aura

sensiblement

K' == qK, K" = K\

ee qui vient à l'appui de la remarque ci-dessus.

LIVRÉ SIXIÈME. 3o5

Poisaon canaidère eD outre le caa où la fonction ^ expt*ime la SIQC6 renfemttcait un terme proportionnel à ïa> simple vitesse

et représenté par n j. ce II est, dit ce savant gécmiétre, fecile de

y> s'assurer qne le tems de l'oscillation entière resterait encore le » même que dans le vide, pourvu toutefois que la résistance du 7> milieu fiit une force très petite par rapport au poida de la leâlille, y> et que l'on négligeât, dans le calcul, le quarré de /let le produit y> de 72 et de m. En effet, l'équation du mouvement serait alors

^s dx ds , A*

3) en prenant le signe + pour la première demi-oscillation,, et le j> signe — pour la seconde , et en observant que le terme — n j

ds

7> change de signe de lui-même, à. cause du facteur ^, en passant 7> d'une demi-oscillation à l'autre. Or, si l'on faît^ = ^»e * , que

dx X

y> l'on mette- à la place de 77 sa valeur approchée -, et qu^aprôs

y> les substitutions Ëiites on supprime les termes multipliés par 71* y> ou par m/i,. l'équation précédente deviendra

7) Divisant tous lès termes par e ^ , et remplaçant le acteur rhé^ ^ y> par m, ce qiii est permis , puisque le teins t ne saurait devenir très y> grand pendant la durée dHine seule demi-oscillation, on aura

» équation d'où Ton tirera sans peine les mêmes conséquences que » ci-dessus, relativement à la durée de chacune des deux demi« » oscillations.

» Quelle que soit la loi de la résistance, la supposition que cette y> résistance est une force très petite relativement au poids de la y> lentille , est conforme à ce qui a lieu dans la pratique où la densité j» du milieu est très petite, et où l'on a soin de prendre, pour former

3o4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

3) la lentille^ une matière très dense ; mais on doit obsenrer que j> cette supposition n'est plus nécessaire ^ quand la résistance est » proportionnelle au quarré de la vitesse ; en sorte qu'alors cette :x> résistance peut être une force comparable au poids de la lentille. y> Il suffit, dans ce cas, que Tamplitude de l'oscillation soit très petite, 9 pour que le tems de cette oscillation ne soit point altéré par la 9) résistance; car dans le calcul que nous venons de foire , l'approxi- » mation n'a point eu lieu par rapport au coefficient nij mais bien 2) par rapport aux puissances de Jt. »

Comme il importe , dans la pratique , de connaître la valeur de^,, soit M la masse du corps oscillant, g sa pesanteur dans le vide,. P^ son poids dans le milieu où se &it l'expérience , p son poids dan» le vide^imaura

p = gM, p, = gJH'j donc g, = ^j

c'est cette dernière valeur qu'il faudrait substituer dans toutes les^ formules précédentes.

Mouyement du pendule dans la supposition d^'unfil extensible^

5g6. Jusqu'à présent, le fil à l'extrémité duquel est suspendue la masse oscillante, a été supposé inextensible ; et en effet, cette hypothèse peut être admise dans la pratique, sans qu'il en résulte aucune erreur sensible, sur-tout lorsque le pendule n'est mis en* mouvement que quelque tems après avoir été suspendu. Cependant,^ comme dans les expériences délicates, oi^ne doit fkire abstraction d'aucune des circonstances physiques qui sont de nature à influer sur les résultats ou les conséquences qu^on eh vent déduire, M. Poisson , après avoir considéré le cas où le pendule oscille dans un milieu résistant, a examiné celui de l'extensibilité du fil, etsoff élégante analyse l'a conduit au résultat même que Borda a énoncé dans son Mémoire sur les expériences du pendule {Base du Système métrique, tome III, page 554);. Voici de quelle manière M. Poisson^ traite la question actuelle.

Soient, à un instant quelconque, fl l'angle formé par le fil et la verticale 5 r la longueur variable du pendule, ou la distance du centre d'oscillation au point de suspension; t le tems écoulé depuis une époque déterminée; ^la gravité. Soient aussi xtly les coordonnées

horizontale et verticale du centre d'oscillation , rapportées au point de suspension conune origine; en sorte qu'on ait

X = r sin 6, j^ = r cos ô (a).

L'élasticité du fil est une force qu'on peut regardeir comme appliquée au centre d'oscillation , qui est dirigée suivant la longueur du fil, et qui ne peut être qu'une fonction de cette longueur : ainsi, en la désignant généralement par ^r, les composantes horizontale et verticale de celte force seront <pr.sin 9 et ^r.cos 9.

Cela posé, si l'on considère les oscillations du pendule comme ayant toujours lieu dans un plan vertical , mais sans que la masse oscillante ait le moindre mouvement de rotation sur elle-même , et qu'on prenne l'élément dt constant; les équations du mouvement du centre d'oscillation, relativement aux axes x^y seront, en faisant attention que lélasticité et la gravité agissent en sens contraires,

-^ 'i' ^r.ûn^ ^=: o^ ^ + ^r.cosfl — ^=o,

desquelles on tire, à cause des équations (a),

et

îJf+J^ + r.çjr — £r = o (c).

Pour éliminer de ces deux dernières équations les coordonnées X et j)^, on remarquera qu'à cause des relations (a), Ton a

dx = rS cos 9 + c/rsin 9, c/jk = — rt/9 sia 9 + rfrcos 9 (rf);

et par suite

xdy — ydx = r*(/8;

- par conséquent

d.{xdy -^ydx) = xd^y — yd^x = d.r^d^.

D'ailleurs, à cause de r^= x* + y% il vient, en différenciant deux fois de suite,

dr^ + rd'r = xd^x +ydy + dx*+ dy^i

et, comme des relations (d) Ton tire

dx^ + dy* — dr' + r'd^^ • 2. 39

3o6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

il s'ensuit que

xd^x +ydy = rd^r — r^c/fl*;

partant, les é<;(uations {h) et (c) se changent en celles-ci :

-^ +^r.8în 8 = (i),

a? ~" ''•5? +?r— ^•cos8 = o (a).

Il est à remarquer que Téquation (i) se déduirait aussi du principe des aires, et celle (52) de (ïette considération, savoir, que la force accélératrice, danâ le sens de la longueur du fil, a pour composantes,

la force centrifuge r.^, la force élastique ^r, et la grayité décomposée suivant cette longueur.

La forme de la fonction %r est inconnue; mais, comme r variepeu pendant le mouvement, si Ton appelle a sa valeur à un instant déterminé, et que Ton fasse généralement r = a — u^u sera une très petite quantité dont on pourra négliger les puissances supérieures à la première; alors on aura

^r = -^ ^— Bu;

\^ et B étant deux constantes données par Fobservation. Pour les déterminer, soit h la longueur du fil avant qu'il ait subi aucune extension; supposons qu'après l'avoir ainsi mesuré, on le suspende verticalement, et qu'on attache la lentille à son extrémité inférieure; soit A l'extension du fil, due au poids de ce corps, et prenons a pour sa longueur totale dans cette position, de sorte qu'on ait a =3 & + A. Il faudra donc que la force ^r soit nulle pour r= 6, et égale à la gravité g pour rti^a. Ainsi, l'on aura ^6 = ^ (a — a) = ^ — Ba xs Oy et ^A = ^ s= ^; d'où l'on tire A ^=^ gj

JB s=s £, et par conséquent

Cela posé, les équations (1) et (a) deviennent, en divisant la première par r*, substituant a — i^ à la place de r, et négligeant le quarré de u* et le produit udu^

g+f.sm9+^sin«î.|.|=o (3),

4.|.ij^^(i cosG) + (a— tt).g^ = o (4). .

Ces équations n'étant pas susceptibles d'être intégrées rigoureusement par les moyens connus, M. Poisson les traite par la métliode des approximations successives déjà employée à l'art. Sgô.

D'abord, à cause de la petitesse de l'angle 61 et de celle de la quantité u, l'équation (3) peut être réduite à celle-ci :

ou plutôt, pour comprendre da.ns une première approximation tous les termes qui dépendent de la première puissance de 6, soit au lieu de

€.6 un terme n% n* étant un coefficient constant très peu dilTcrent de ^,

et que l'on déterminera bientôt; on aura

et en intégrant, comme il a été enseigné à l'art SgS, il Tiendra

fl = h.cos(nt+ k)'j

hetk étant deux constantes arbitraires. En laissant ces constantes indéterminées, on observera seulement que A est un très petit angle, d'après la supposition qui a été faite.

Si l'on substitue cette valeur de 6 dans l'équation (4), et qu'on néglige la quatrième puissance de h et le produit h^Uy on aura

p^^S.u — -«.cos»(/zf + i) + h^an^ sinV(7if + k) = o.

Mais le dernier terme de cette équation ayant A* pour facteur, on peut, sans erreur sensible, y mettre^ au lieu de /i*j ainsi, toutes transformations faites ,

^^ + g.i, + !^5!^^.cos.3(7îf+A:)=o,

d'où l'on tire en intégrant, et négligeant le quarré de «,

w = A'.cos.[«y/(f) + A;Q- '^jH- 5~.cos.2(7îf+ A).

3o8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Quant à l'cqualion (3), elle devient, en négligeant la cinqoiémt puissance de et le produit uâ\

dt* *^ a a a. 3 o* ' a m dt

Si l'on y met pour ô et m leurs valeurs précédentes, et qu'on remplace ^ par n* dans le produit ^ • ^J ce qui ne peut occasionner

aucune erreur sensible, on trouvera, après les développemens et les transformations convenables,

Si dans le premier terme du second membre, qui a h^ pour facteur^ on met 9 au lieu de sa valeur approchée A.cos {nt+k)^ il n'en résultera aucune erreur sensible^ et Ton aura, en réunissant les deux termes en 0,

on a donc

De là, l'équation précédente se change en la suivante , g + „-.« = »i.(,&)co,.5(«/+*) -

Enfin intégrant et négligeant le produit h! et qui est du même ordre que a*, il vient

fi =s A . cos . (nf 4- *) — 8^ (i — ^) cos . 3 (n(-|- A)

ftAVC-)

^. {cos.[fy/(f)H-nf+ A'— a]]

«i/o - cos Qy/(D —nf + k' — *]}.

Cette valeur de 9 et celle de u trouvée précédemment sont suffisamment approchées. La valeur de u renferme la loi des oscillations qui ont lieu dans, le sens de la longueur du fil; celle de contient la loi des oscillations du pendule de part et d'autre de la verticale* Cette dernière loi étant celle qu'il importe de connaître, M. Poisson examine avec soin la valeur dé Tangle 9 ; et il observe cl'abord, que la partie de cette valeur qui est multipliée par lih'\^{tt) est la même chose que

or, en négligeant le produit Vi^'*», on a A.C08 («f-hA) — 2^î^.8in {nt+k).sttx Ql/©+>t']

d'ailleurs, en négligeant le produit h?k\/{a)^ on peut remplacer h?. COS. '5{nt+k) y par

A'.C08.3{«f+^+^.8in.Q^(f)+A']};

si donc l'on fait, pour abréger,

19QÛ A^ a >/ — -*'

la valeur de 9 prendra cette forme très simple

6 = A.cosi^ — ^h^.cos.Zv.

L'angle 9 atteindra son maximum quand on aura ^ ss: o, c'est-idire

2^ .(sin.v — 5^A*.8în Zv) = oj

ou bien, en substituant pour ^ sa valeur, et mettant 3sin v— "ésin'.^ à la place de sin '5Vf

, X (1 + 9-^A* — la^A* sin* y) .sin j^ ssas o^

5io TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Des trois fiicteurs dont se compose cette équation ^ le dernier est le seul qu'on puisse égaler à zéro , parce que h' et A* sont supposés très petits; op aura donc sin v = o, d'où Ton tire v i=p^^p étant un nombre entier quelconque, et t désignant la demi-circonfërence d'un cercle dont le rayon est l'unité.

Si l'on introduit cette valeur dans celle de 9 trouvée ci-dessus , on aura

ordinaire d'un fil inextensible ; mais il n'en est pas de même de la durée des oscillations, qui ne sont plus isochrones.

En effet, dit M. Poisson ^ si l'on compte le tems t à partir du maximum de l'angle , de sorte qu'on ait à la fois < =; o, et ^ = o , et i)ar conséquent

;t^.îAyW.sinA^ = o,

le pendule aura fait une, deux, trois, etc., oscillations, quand l'angle v sera devenu égal à 'tt, 27f, Stt, etc.; et si l'on désigne en général par P le tems qu'il emploie à faire un nombre p d'oscillations , on aura

ce qui donne, en mettant pour k la valeur tirée de l'équation précodente, et négligeant le quarré de /tV(*)>

Or, cette valeur de P n'étant pas proportionnelle à p, à cause de sin.rr^ . \/(^)+^ j qu'elle renferme, il s'ensuit que les durées

des oscillations successives ne sont point égales entre elles. Cepen-n dant , l'on doit observer que cette inégalité n'a pas d'influence sensible sur la durée moyenne de ces oscillations, conclue du tems que le pendule emploie à en faire un grand nombre, ainsi que cela se pratique ordiiiairement*

XIVRE SIXIÈME. 5ii

Soif, pour le faire voir, T cette durée moyenne j T^ déduira de P en divisant P par p\ on aura donc

ainsi il est clair que Finfluence du terme variable sera d'autant moindre que le nombre p sera plus grand. En supposant donc ce

nombre très grand, on a sensiblement !r = -, ou remplaçant n par

sa vafeor préeédente, et négligeant la quatrième puissance de A,'

Il résulte de la, i*. qu'en faisant, dans cette équation, 7^= i ,pour connaître la longueur a du pendule qui fait ses oscillation moyennes dans l'unité de tems , on aura

^*. Que si a et 7* sont donnés par l'expérience , on aura

=ér>-?o+i^B

^D+rO+^)3

h étant à très peu prés la demi-amplitude de roscillation , et payant la même signification que^, dans l'art. SgS. Ainsi, le terme multiplié par h^ est la correction des valeurs de T, a et g^ due à la grandeur de l'arc parcouru , et l'extensibilité du fil augmente cette correctioa

dans le rapport de i + — à l'unité.

Telle est, presque mot à mot, Faddilion que M. Poisson a Édite à son Mémoire sur le Pendule, imprimé dans le XV« cahier du Journal de PÉcole Polytechnique, page 345. Ce savant géomètre est revenu depuis sur cette matière , et a traité le cas où la sphère qui termine le pendule composé prend un petit mouvement de rotation sur elle-même (voyez la Connais, des Tems de 1819, p. SSa)-

Correction des amplitudes décrites par un pendule composé.

397. Nous avons démontré k l'art. 394 que si 2?^ est la durée d'une oscillation observée , s8 l'amplitude correspondante , et q^e nf

5i2 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

soit la durée d'une oscillation infiniment petite, on a

Soit JV' le nombre d'oscillations faites par le pendule dans Parc a8 pendant un tems quelconque T'y et N le nombre d'oscillations infiniment petites qu'il aurait faites dans le même tems; la durée d'une

rrv

de ces oscillations sera dans le premier cas^y? = T, et dans le se-

cond cas -^ = /; ^n sorte que la formule précédente se changera en celle-ci :

Si la durée totale de l'expérience était très courte, on pourrait, dans cette formule, mettre, au lieu de l'amplitude 6, l'arc moyen

^, c'est-à-dire la demi-somme des amplitudes de l'arc décrit au

commencement et à ta fin des observations; mais il est beaucoup plus exact de faire usage de la formule suivante due à Borda, savoir ;

fjL étant le module 3,3oa585og. La démonstration qu'en a donnée M. Biot dans son Jistronomie physiq., tome III, page 169, revient à ce qui suit.

afl étant l'arc dans lequel le pendule oscille à l'orîgîne du mouvement, fl sera l'angle qu'il décrit de part et d'autre de la verticale, abstraction faite du très petit terme dépendant de la résistance de l'air (art. 5g5). Pendant le tems qu'il emploie à décrire cet arc entier, il ferait un peu plus d'une oscillation infiniment petite ; il en ferait

1 H g- (art. 394). Si donc le pendule continue d'osciller dans l'air,

l'arc ô diminuera continuellement et deviendra 6,, 9., 9j,. . . 9,, et les nombres correspondans d'oscillations infiniment petites seront

, sin* I, flîn* 1, , s in* I3 ^^ sin* I,

pinsi , après un nombre ÎV' 5= /i d'oscillations finies écoulées depuis

Fépoque où Vécart du pendule était 0, le nombre des oscillatipna infiniment petites correspondantes sera représenté par

, ain* I, , gin* 1, , ' sin'l,

^ "*" ir '^ "76" ^ "76"-

Il faut, pour sommer cette série, connaître la loi de décroissement des arcs 9t> 8^9 83. . ... Or, on sait, par la théorie et Texpérience, que ces arcs décroissent sensiblement en progression par quotiens, quand le nombre d'oscillations croît en progression par différences; et comme ils sont fort petits, même à l'origine du mouvement, on a à très peu près (art. 5y5) ,

sînfl, = q" sinfl;

q étant un coefficient constant pour le même pendule.

Cela posé, si on appelle S la somme des termes de la série pré* cédente, non compris le premier, on aura sans erreur sensible ,

et par conséquent, d'après la propriété des progressions géomé-» triques,

OU bien, en exprimant «S' en fonction du premier terme sin 0^ du dernier sin d«, et du nombre n des termes,

n résulte de la très grande densité de la bo^e métallique, <5fne le pendule oscille pendant long-tems , et que par conséquent les amplitudes 6 et fl« diffèrent peu l'une de l'autre. Or, on a en général, dans le système des logarithmes ordinaires ,

et, en série,

C^y = 1 + <: log. ?2»+-£.*- log». iî?| H-etc;

yjmêj ^^ n o ainô, ' i.ai»* © sin I» ' '

5x4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

fi étant toujours le module si^3o358 \ ainsi à fort peu prés

et par suite

( sîn e V

— H-^iog.^r^,

«lin 6 (ainâ-i^ainO») ^ • «in 8

La somme des oscillations infiniment petites correspondantes à n oscillations finies du pendule obseryé sera donc

sinfl (sinfl — sin fl„) "*]

mais vQ la petitesse des arcs 9, 6. et leur peo de dîfiéreiice, on a sensil>lement

telle est la formule qu'il fallait démontrer.

Propriété du centre (Toscillation.

59B. n reste encore un point important à examiner pour compléter la théorie du pendule composé oscillant dans fair; c'est de savoir si la position du centre d'oscillation est effectiy^ment indépendante de la résistance du milieu, ainsi qu-on Ta implicitement supposé à l'art. 3g5, lorsqu'on a eu en vue la détermination de ce centre.

Pour résonne cette question de Mécanique , il faut remarquer que la vitesse d'un corps qui se .meut .dans un fluide quelconque étant sans cesse diminuée par la résistance de ce fluide , cette résistance exerce nécessairement son action dans le sens directement .opposé au mouvement du corps , et peut être considérée comme la résaltante de toutes les résistances partielles dues aux molécules fluides situées dans la direction du mouvement des points de la surface choquée. Ainsi, toutes les molécules du corps sont bien animées de la force accélératrice de la pesanteur; mais sa surface antérieure est la seule qui reçoive le choc dumilieu. Or, eu vertu de la liaison du système, ces forces appliquées ne produisent pas tout leur efiet^ et

^'après le principe de d'Aleoibtf t, ^ on calcule les Ibrcea qui out lieu réellement, il doit y avoir équilibre entre celles-ci , priaea en eeoà contraire, et les forces appliquées. I>e plus, à cause du ^int fixe de suspensi^Mi, les cwiditions d'é<^vlibre se réduisent à une seule; savoir, que la somme des momeasdes forces en équilibre, pri3 {^r rapport à ce point, soit égale à zéro.

Cela posé, la force appliquée à une molécule dm quelconque du corps est g,dm^ et son moment est pg^dm\ p étant la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la verticiàe passant par cette moléouie , et ^, la gravité relative au milieu dans lof^sfiX le corps oscille. La foroe appliquée à ua élément d^ de la surface choquée, et agissant dans le sens du mouvement de cet élément,

sera représentée par Nî^ ^ c/w , " et son moment le sera par

Nr^ 2p d^l r étant la distance au point fixe, et la résistance du

milieu étant ^supposée proportionnelle au qoapré de la vitesse de Tclément de la surface. En efifet, la vitesse angulaire du corps

de "dà

est j^, et la vitesse absolue de l'élément c/<2r est r ^. Maintenant

puisque les momens provenans de la résistanoe du milieu sont, pendant la durée de la demi-oscillation descendante , de 3i|;ne contraire à ceux de la pesanteur, et que tousces momens sont de même signe pendant la durée de la demi-oscillation ascendante; la somme des-momens des forces appliquées sera en général

fpg.dm q= fNr' ^, dv,

la première intégrale étant prise dans l'étendue du corps , et la seconde intégrale dans l'étendue de la sur&ce choquée seulement. D'ailleurs , la somme des momens des forces qui ont effectivement lieu , et qui agissent dans le sens des tangentes auxt^ercles verticauK qu'elles £bnt décrire, est

r'ir.dmi

dt'

l'intégrale étant prise dans toute l'étendue du corps. On a donc, pour réquation d'équilibre entre les forces appliquées et ces dernières prises en sens contraire ,

5i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

en prenant le signe supérieur lorsque le corps descend^ et le signe inférieur lorsquil monte.

Mais par la théorie du centre de gravité, on a fpgidm '==^gxfpdnt = giPMy P étant la valeur de/i relative à ce centre, et ilf la masse du corps; donc, à cause de P ss 22 sin 9, l'équation précédente devient

i?5^.ilfsinflrF§iV.~5?/r-(//n = o (i),

en désignant d'ailleurs, pour abréger, par JV, l'intégrale ftfr^dfwr =rs Nfr^dm. Quant au moment d'inertie fr^dm^ il est égala Jf(jR* + *•) (voy. la Mécaniquede M. Francœur, n* a4o, ou celle de M. Poisson). II résulte de là, que l'équation du mouvement d'un pendule single d'une longueur A, qui oscillerait dans le même lieu et en vertu de la même force accélératrice^. , serait

;^^.Jf'sinG=f:^..7i-g.A-itf' = o (a);

(k étant = G, puisque dans ce pendule le centre de gravité et celui d'oscillation se confondent). Ainsi, pour faire coïncider ces deux ' mouvemens , il suffît d'établir les deux équations de condition suivantes :

Xf^.M' RgtM iV. N

La première équation ^ zzzjr^^^ ou A s=: — -j^ — , déterminant Ta

longueur du pendule simple dont les oscillations seraient synchrones à celles du pendule composé Jlf , il s'ensuit que cette longueur, c'est-à-dire la distance du centre d'oscillation au point de suspension, est indépendante de la résistance du milieu. Quanta la seconde équa-

**^" m7r^^+1?) ^^ Â^' ^'^^ fournit la valeur de n en fonction de N, ;

et comme la masse M du pendule simple reste indéterminée, on a, en la faisant égale à Jf ,

n Ni j, . A\a

Pour une même oscillation, la valeur de n sera constante ; maïs d'une oscillation à la suivante cette valeur changera, si les deux portions de sur&ce choquées alternativement ne sont pas semblables;

ce qui résulte évidemment de ce que jV, est une intégrale étendue à toute la partie de surfisice exposée au choc du fluide. Si, pour plus de généralité, nous eussions supposé la résistance

une fonction de la vitesse, représentée par Np + N'p +.. . ; -W^,itf^ étant des coefiiciens constans, et €, €'... des exposans positifs quelconques , cette nouvelle hypothèse n'aurait modifié en rien les conséquences précédentes, ainsi qu'il est aisé de s'en convaincre.

On trouve dans les (Buvres de Jean Bemoulli, tome IV, page 389, une solution analytique de cette question ; mais Clairaut est le premier qui, au moyen du principe de la conservation des forces vives, ait découvert les propriétés ci -dessus (Mémoires de V académie des Sciences, année 1738).

Exposé des expériences et des réductions à faire pour déterminer

la longueur du pendule à secondes.

3gg. Après avoir donné tout ce qu'il importe le plus de connaître sur la théorie du pendule, il convient d'expliquer la manière de déterminer par l'expérience la longueur de cet instrument, lorsqu'on veut l'assujélir à faire ses oscillations dans l'unité de tems, et en déduire la loi de la variation de la pesanteur en différens points de la surface du globe terrestre.

Le pendule d'expérience dont Bouguer fit usage en Amérique, était un petit poids de cuivre^ formé de deux cônes tronqués opposés base à base et suspendu à Textrémité inférieure d'un fil de pitte très mince , d'un mètre environ de longueur (*) : ce fil était saisi par une pince à son extrémité supérieure, mais de manière cependant qu'il y conservait toute sa souplesse. Maupertuis et les autres académiciens français qui mesurèrent les premiers un arc de méridien au cercle polaire, firent aussi de semblables expériences à Pello; mais ils se servirent de petits globes de difierens métaux, traversés chacun par une verge de cuivre, qu'ils adaptaient ensuite à leur horloge. Vers la fin du siècle dernier, les expériences du pendule furent ré*

(^ La pitte ou espèce d'aloës , eat une plante très commune en Amérique , et dont les fibres ont beaucoup de force et de flexibilité. Bduguer s'était assuré , eu formant des hygromètres avec ces fibres , qu'elles se ressentent très peu de l'hn* midité de l'air, et par conséquent qu'elles conservent assez exactement leur Ion-* gueur, quelque soit l'état de l'atmosphère.

3i8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

pétccs à Paris avec une précision |tisqu'aIors incôEiiiae , et par des procédés en partie nènveatix, imaginés par Borda, l'Un des membres de la Commission des poids et mesures. L'appateîl de ce sayant géomètre est des plus ingénieux et des plus simples : il consiste en ime boule de platine du poids de 620 granunes environ, qu'on &it osciller à Textrénriité inférieure d'un iîl tnétaUique de 4 mètres de longueur, attaché à une suspension à couteau posant sur des plans d'une matière très dure. Quel que soit l'appareil qu'on emplcne à cet ctiçt, la loi^ueùrdu pendule est, comme nous l'avons déjà dit, la di* stancedu point de suspension au centre d'oscillation; centre qu'Une faut pas confondre avec le centre de gravité du système.

Afin de pouvoir bien comprendre toutes les réductions que nécessitent les expériences du pendule composé, faites avec l'apparéfl de Borda , nous observerons que cet appareil se compose de troisparties distinctes, qui sont le couteau, le fil et la boule. Le couteau, dont le tranchant posésur unplan parfaitement horizontal, est traversé en son milieu par une petite verge au bas de laquelle on attache, au moyen d'une vis de pression, l'extrémité supérieure du fil. La boule est mise en contact avec la partie concave d'une petite calotte de cuivre ayant même rayon que cette boule, et ces deux pièces adhèrent l'aneà Tautre, tant par la pression de l'atmosphère, que par un léger cnâdt de suif. De cette noanière, on a la faculté de suspendre la boule successivement par difiR^rens points de sa surface. Enfin, la calôlte et lu boule tiennent à Textrémité inférieure du fil fixé au bouton de la calotte, au moyen d'une vis de pression (yojez le tom. III de la Ba^e du Système métrique décimai).

Le fil métallique doit être d'égale épaisseur dans toute sa longueur, parfaitement homogène et aussi mince que possible, afin qu'en présentant moins de surface à Pair, il puisse osciller plus libteitieiit. Borda avait adopté un fil de fer; mais M. Biot préfère un fil de cuivre, qui n'est pas, comme l'autre, susceptible d'être soumis à l'action du magnétisme terrestre, et qui ne fait pas craindre par conséquent qu'une nouvelle force s'ajoute à la gravité qu'on veut observer.

4oo. Avant de mettre dcGnitivement le pendule en môùvtîtnent,

. lorsqu'il est suspendu à une muraille très solide , on fait en sorte

que les oscillations du couteau pris séparément, aient la même

durée que celle de l'apparei} entier. Le petit poids, attaché à l'ex*

trëmité svpëridure 4^ I0 verge du couteau , et qu'on peut ^tire glisser à vûloDté» im procure le mpyen. Alors, le couteau ayant son centre 4e grayitp extréiçepiie^Qt ppès de l'axe de rotat^qn , U est permis d'eu faire abstriiqtion.

Apré3 avQJr placé ^ne Jiorloge derrière le pendple mis en mouyer ment 9 Pt Fen&rmé le f^opt dans une cage vitrée, pour le mettre k l'abri diss mouven^ens (}e l'air, on compare les oscillations du pendule à celles de. l'^prloge dont on détermine rigoureusement la marche par les retours diurnes de plusieurs étoiles au même vertical : c'est à quoi Ton parvient, avec la plus grande fecilité, en rendant parfaitement immobile une lunette dirigée sur une arête verticale de quelqu'édifice , et observant pendant plusieurs jours consécutifs les occultations des étoiles qui passent dans le cliamp de cette lunette.

Pour éviter l'ennui de compter les oscillations une à une, et les erreurs que ce moyen pourrait occasionner, on procède ainsi, qu'il suit.

Lorsque le pendule et l'horloge sont en repos , on fixe , sur la lentille de celle-ci, un petit cercle de papier blanc, pour servit de signal. Le centre de ce cercle et le fil du pendule déterminent la position d'un plan vertiqal dans lequel on place à une distance dg 8 à ]LO"'4e l'appareil, uac lunette terrestre, qu'on rend ensuite im* mo]^ilç l^pwpd le ;Çentre (du signal est exactement derrière le fil du pendi^e. On piace aussi quelquefois entre la lunette et le pendule un petit écran à fond noir, de manière que le bord vertical couvre la moitié de l'épaisseur du fil du pendule ; cet écran est destiné à éclipser le signal au moment où il passe à la verticale. Cela &it, on met le pendule et l'horloge en mouvement; alors, si leç oscillations sont synchrones, et que le fil et le signal passent ep xnè^xe tems à la verticale, ils ne se sépareront jamais, en supposant.qu'ilsnifgrchentdans le même sens; mais, comme ils ont toujours des vinsses, différentes, ils ne tarderont pas à se séparer. Par exemple, le pendule allant plus vite que l'horloge, dépassera le signal de plus en plus, et finira par terminer son oscillation au moment où le signal passera à la verticale ou se cachera, derrière l'écran, et, dans ce cfis, il aura gagné une demiroacillation spr l'horloge; puis il arrivera , après un intervalle presque égal, que le fil du pendule et le signal de la lentille passeronteuméoie teqis à la verticale, mais en allant dans des directions opposées : pour lors le pendule aura gagné sijr l'tiorloge une

3jo traité de Géodésie.

oscillation entière. Le mouvement continuant, le pendule finiura par gagner encore une oscillation, à Tinstant où il passera à la verticale, ou s'éclipsera derrière Técran en même tems que le signal , mais, cette fois, en marchant dans le même sens que lui. La dispa- / rition simultanée du fil et du signal derrière Técraa, se nonnme coïncidence ou concours. Ainsi, selon que le pendule va plus vite ou plus lentement que l'horloge, il gagne ou perd deux oscillations sur elle , dans l'intervalle de deux coïncidences consécutives.

4oi. Soit iV^ le nombre des oscillation» faites par l'horloge entre deux coïncidences, ou le nombre de secondes écoulées; Ndc a sera le nombre des oscillations du pendule, dans le même tems, en supposant que l'horloge et le pendule soient à peu près d'accord, comme dans les courts appareils ; et si l'on désigne par T la révolution diurne, on saura combien le pendule d'expérience fera d'oscillations

dans un jour, en disant cette proportion

le terme ci= -^ sera d'autant plus petit que N sera plus grand. H

est vrai qu'en rendant cet intervalle plus considérable, Tépogae de la coïncidence est plus difficile à Saisir : toutefois cet inconvénient est racheté par l'avantage que procure la petitesse de la correction

Dans l'appareil même dont Borda a fait usage , la durée de l'oscillation du pendule était de a'^, et la lentille de l'horloge feisait par conséquent, dans l'intervalle de deux coïncidences, deux fois le nombre d'oscillations du pendule plus deux. Ainsi, au lieu de la proportion précédente , on a celle-ci :

â HP/

Lorsqu'on a obtenu plusieurs valeurs de 7^, par le moyen de plusieurs coïncidences, leur somme divisée par leur nombre est le résultat moyen auquel on s'arrête définitivement pour en conclure la longueur du pendule simple qui battrait les secondes dans le lieu des observations.

4o9. Camme il importe de tenir compte de l'amplitude de Tare décrit par le pendule aux diverses époques de l'expérience , afin de pouvoir réduire les oscillations du pendule composé au cas de Pinfiniment petit, on place devant le pendule une petite échelle horizontale divisée en parties égales, et dont on mesure la distance à Taxe de suspension. Les écarts du pendule de part et d'autre de la verticale, peuvent alors se mesurer assez exactement, et &ire cou* naître l'amplitude de l'arc à un instant donné.

Cela posé, nonunons N' le nombre d'oscillations &ites par le pendule dans un certain tems, etiVle nombre d'oscillations infiniment petites qu'il aurait Eûtes dans le même tems ; appelons en outre et 8' les ampliludes décrites au commencement et à la fin des observations ; on aura (art. 697)

fi étant le module 9,5oa585og.

4o5. Une des opérations les plus délicates est de mesurer la longueur du pendule d'expérience, et de la réduire à ce qu'elle était aux époques des coïncidencies. On conçoit d'abord , que l'on a dû observer à ces époques la hauteur du baromètre , et noter la température de l'appareil, au moyen de thermomètres placés dans l'intérieur de la cage où se trouve cet appareil : on conçoit en outre, qu'il faut être pourvu d'une mesure par&itement étalonnée sur lé mètre , afin de pouvoir déterminer la longueur absolue du pendule. Cette mesure, qui accompagne l'appareil de Borda, est une règle de platine à peu prés pareille à celles dont nous avons donné la description (art. i45).

Après avoir mis le pendule en repos, on place au-dessous de la boule un petit plan d'acier bien horizontal, et on l'élève doucement jusqu'à ce qu'il touche la boule sans la soulever. Cela fait, on le fixe invariablement, et on ôte le pendule pour y substituer la règle dont on vient de parler. A l'extrémité inférieure de cette règle , est un^ languette mobile ou une échelle divisée en parties égales,, que l'on fait descendre jusqu'à ce qu'elle soit en contact avec le plateau d'a*cier ; de cette manière on a, en parties de la règle, la longueur totale du pendule composé, prise depuis le plan de suspen^on jusqu'au 2. 4i

52à TRAITÉ lŒ GÉODÉSIE.

bas de la bôùle. Od a soin , pendaift cette c^ration^ if observer la tanpératQre';eDfi&,ioD évalue la longueur -do fil, ceife de la retg^ -cothpriae entre l'axe de suspension et 4e point ou est attaché le fil^ ^nsi que le diamètpe de -la boule, et Ton pèse csaOtemeot cette â>oole et la calotte à laquelteeile adOiére.

Quant au poids du fil, comme il est fort petit, on le déSirit de celui d'une plus grande dimension ; car, en supposant que le fil soit d'une homogénéité parfaite et de forme cylindrique , son poids est proportionnel à sa longueur.

464. Toutes ces mesures étant prises, il s'agit d'aroir la lefDgueor idn pendule, 'comptée depuis le plan de suspension jusqu'au centre d'oscillation du système. Nommons M\ Jtf'y M'" les masses de la boule, de la calotte et du fil, et désignons par /', /', /'", f , /', /" les distances de Taxe de suspension aux centres de gravité et d'oscilla-* fion de ces trois parties de l'appareil; enfin, appelons A la longueur du pendule simple synchrone au pendule composé*; oaaura(Jlfécanique de M- Francœur, n* aSa)

ou bien, si Ton multiplie les deux termes de cette firaction^par la pesanteur jf, (art. Syô), et qu'on nomme P", JP"^ P"^ les poids de la M- viendw boule, de la calotte et du fil,

le second terme de cette râleur est donc la correction due au poîdf de la calotte et du fil.

On sait, par la théorie du centre d'oscillation, que si R est le * rayon de la boule, D la distance du centre de grayité ûk la calotte au centre de la boule, et X la longueur du fil, on a

UV^E SIXIEME. 52$

En effet, le fil étant extrêmement fin, peut être considéré con^qe une ligne pesante j et le centre de gravité de la calotte se trouvant à très peu près sur la sur&ce de ta sphère, coïncide sensiblement arec le centre d'oscijlatîon de cette petite pièce. En substituant oes^ valeurs dans l'équation précédente, on obtiendrait précisépent l/Bt^ formule enn^Lo^ée par M* Biot, à la page 1,75 du tome Ul à^e sopi astronomie physique; mais il est tout aussi simple de laisser cette équation sous la fom^e que nosus lui avons 4onnée.

4o5. Heprésentons maintenant pjar b la distapce du plan de suspension au commencement du fil , par A celle du- même plan au bas de la boule, donnée par la règle;. et çcoisidérona 4r,yÇ ^ comme les dilatalions du platine, de la règle qui a servi à mesurer lependuley et dq fil métattîqQe, pour Vuuité de longueur. On aura d'abord à très peu près, eu coâseryant d'ailleurs ka notatioa ci-dessus,

topgueur du fi), ou A s= A — ait-^ L

Supposons ensuii^ qi^ç cette longuçigir oJ^servée à la tempér^twe moyenne x des coïncidences du pendule et de l'horloge , l'ait été a une température x' plus haute lors du contact du plan d'acier avec la boule : alors , à cette second.e époque , la longueur dont il s'agit ayaqt été trouvée trop longue de la quantité P^fixf — 5c) , it Êiut la diminuer de cette même quantité pour la ramener à l'état où etto s6 trouvait lors des coïncidences. Mais, comme l'observe M. Biot^ la très petite différence qui existe entre A et A permet de Ëiire cette GorrectioB sw la longueur même A. De plus, comme la règle est supposée représentjBF des parties du mètre à la température de la glace fondante, et qu'elle a été mise en expéçienoe à la températupç^^ elle a donné une longueuif A tr«p co^rtç de la quantité Afx"; on a donc, en&isant ces deux corrections de dilatation,

distance du plan de suspension )ou A'=A-^A/(*'^;p)+A^*". au bas de la boule, ) ,

D'un autre côté, le rayon de la boule, à la températi:^e zéro, étant jR, a di!^ se trouver augmenté de Hwx a la température moyenne des coïncidences j ainsi, la disit4QCç 4u plw 4^ ^pçfijH^W au centre de la houle, ou

/=A'--iî(i-H4r*)î

5a4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

6D a d'ailleurs

ces valeurs étant substituées dans celle de Q , trouvée précédem-^ ment, il vient

loBgueur du pendule dans Pair /, =r A' — lî (i -|- flwc) 4- — -- — Q.

4o6. Si Ton désigne par/y, etp le poids du pendule dans Tair et dans le vide, et dans la même circonstance par ^> et ^ la gravité ,

on aura & = ^. Le rapport dtp a p^ dépendant de la densité ac*

tuelle de l'air, il faut donc, pour le déterminer, avoir égard aux hao* teurs du baromètre et du thermomètre. Si, par exemple, v exprime à la température de x degrés centésimaux , le volume d'air déplacé par le pendule, et que A soit la pesanteur spécifique de Pair, aa terme de la glace fondante et à o*,76 de hauteur barométrique, oa aura (art. a48) , pour la pesanteur spécifique A, à la taonpérature moyenne x, et sous la pression h de l'atmosphère,

o-,76(i+o,oo375x)^i+ggg5J »/ v -r jk -r j

et par suite, le poids de l'air déplacé, ou n ss L^v\ donc le poids do pendule dans le vide est

Maintenant, si l'on &it attention que A et /étant la longueur du peiH dule dans l'air et celle du pendule dans le vide , qui ferait ses oscilla* tions dans le même tems, on a

et que p. =::p — n =/i — A.i;, on aura

liais ti^ s= -7^ ; c'est le rapport du poids de Pair pris pour unité ,

à celui du platine, le thermomètre étant à zéro, et te baromètre marquant 0*976 ; donc la longueur du pendule dans le vide, ou

'"^ *"^o-,76(i + iiu:)(i+iix).i59io*

LITRE SIXIÈME. SaS

Dans cette derpiére réduction, nous supposons que la masse da p^idule est toute de platine, quoique le fil et la calotte soient réelle» mentde matières différentes; mais il n'en r&ulte évidemment aucune erreur sensible.

407. n reste encore deux corrections à opérer; la première sert à &ire connaître la longueur du pendule à secondes, dans le lieu même des observations. Or, si N désigne les oscillations dans un jour solaire moyen, et que le pendule, dont la longueur est supposée /, en fitôse N'y en sorte que N^^lf+ni on aura, en appelant L la longueur du pendule à secondes,

La dernière réduction est celle au niveau de la mer ; elle résulte de ce que le pendule à secondes est un peu plus long au bas des hautes montagnes qu'à leur sommet. £q efTet, l'intensité de la pesanteur augmentant à mesure qu'on s'approche du centre de la Terre, les oscillations l'un même pendule deviennent de plus en plus rapides ; il &ut donc alonger le pendule à secondes pour retarder «es oscillations. D'après cela , soit z la hauteur du lieu de l'expérience au-dessus de la mer, la pesanteur au pied de la vertiode sera,

comme l'on sait, égale à ff '^^^ ^^^0 ^" ^) ' ^ désignant le

rayon de la Terre ; par conséquent L' étant la longueur cherchée , on aura

En procédant de la sorte, on peut comparer entre elles les longueurs du pendule à secondes, observées en différens lieux, soit pour en déduire la loi de leurs variations , soit pour en conclure l'aplatissement du globe terrestre ; et il est aisé de voir que l'on obtiendra une très grande précision dans la recherche de cette loi, ai au Heu de mesurer chaque fois la longueur absolue du pendule, ce qui ne laisse pas d'être fort difficile, on fait partout usage du même appareil et des mêmes procédés; parce qu'il suffit alors de tenir compte de la variation qu'a éprouvée la longueur primitive da pendule prise pour unité dans un certain lieu, et pour un état donné de l'atmosphère.

Saff TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

4o8. Il MÉiblakqift'après tes travaux de Borda, et ce«x des autres gécmètres qui ooit écrit sur la théorie du pendule coBoposé, ii ne restât plus rien à dire à ce sujet; mais M. Lapbce a remarcpié que l'appareil de Borda, considéré jusqu'à présent comme fiMmaot wo^ masse dont toutes les parties sont liées entre elles d'une manière inyariaMe, est cependant composé de trois parties distinetesy qui {(euyent osciller les unes autour des autres. Il résulte tootefeis de sa savante analyse {Connaissance des Tems de i8ao) : « que la y> mobilité respective des trois parties de l'appareil et U fleulMËté » du fil n'ont aucune influence sensible sur la durée des Fetoixrs du » centre de la boule à la verticale, et qu'ainsi l'on peut calcniiep cette » durée comme si le fil était inflexible et fixement attaché aux deux » autres parties de l'appareil; sur-tout si, pour mettre le pendule 10 en mouvement, on l'écarté un peu de la verticale, de maûère » que le centre de la boule, le fil et le point de suspeusiim soÂoot j> sur une même droite; enfin, si l'on rend le plus égales qu'U es( 3» passible les durées des oscillations de l'appareil eij^er et du OQi]h j^ teau pris isolément. »

Cet illustre géomètre a en outre exaniiné un point très déUe^ic'était de savoir s'il est nécessaire d'avoir égard à la forme du ttvh chant du couteau. Il est parvenu à ce résultat singulier, que la hnr gueur du pendule, comptée du plan sur lequel le. couteau s'appuie, doit être diminuée du rayon du cylindre que forme le tranchant. Cette correction est sur-tout sensible sur la longueur du pendule à secondes , déterminée par des oscillations d'un court appaieil, te) que celui qui est destiné pour les voyages; puisque le tranchant du couteau, vu à la loupe, présente la forme d'un demi-cylindre dont le rayon surpasse un centième de millimètre.

M. Poisson arrive par une analyse très directe i ce résultat trouvé par M. Laplaoe; c'est ce qu'on va voir.

«c Soient t le tems, g la gravité, dm un élément quelconque de la y> masse du pendule, x et y les coordonnées de cet élément, prises à p partir de Taxe du cylindre qui forme l'arête du couteau, et comptées D dans un plan perpendiculaire à cet axe; suf^sokis la première D horizontale et la seconde verticale. Soient en outre r le (^yoa du » cylindre et u la distance variable de sa ligne de contact avec le j> plan fixe, à un point choisi arbitrairement sur ce pl^n, de manière » que les coordonnées de l'élément dm^ rapportées à ce. point ixe