LIVRE SEKIÈItE

» comme origine, deviennent x^uety-^r. Pour l-éqailHure des y> quantités de mouyement, perdues à chaque instant par tous les y> élémens matériels do pendide, il &udra que la somme des momens y) de ces forces, pris par rapport à la ligne de contact du couteau , 3» soit égale à zéro ; ce qui donne l-équation

7> dans laquelle les intégrales doivent s'étendre à la masse entière; 3» et réciproquement, cette équation suffira pour cet équilibre, si j> l'on suppose y avec M. Laplace, que le couteau n'a pas la liberté y> de glisser sur le plan fixe.

y> Désignons maintenant par ilf la masse entière du pendule; par/ 3» la distance de son centre de gravité à l'axe du cylindre qui forme y> i'aréte du couteau; par 0, l'angle variable compris entre la pvpen*- 7> diculaire abaissée de ce centre sur cet axe^ et le plan vertical » mené par le même axe; enfin, par Mif le moment d'inertie du » pendule, rapporté à un axe mené par son centre de gravité, paj> rallèlement à l'axe du couteau, et par conséquent par MA;*+ Âf/* » le moment d'inertie rapporté à l'axe du couteau ; on aura , comme n dans la théorie ordinaire du pendule composé ,

fgxdm = Mgf sin 6.

% On aura aussi

/Cr

r)g^/?i=JïfO'co8fl-r)g^j

J» et réquation précédente deviendra, en j supprimant le facteur Jf^

#v. . ^\à'ê drainé ^ f n ^\d*u , . j,

» Or, dans Phjpothèse de M. liaplace , où le couteau ne' fait que D rouler sur le plan fixe, il est aisé de voir que la variable u est égale 7> k une constante arbitraire, diminuée de l'arc r0, d'où il résulte jD d^u = — rtf'S; par conséquent, si l'on considère le cas des petite» 3» oscillations, et que l'on néglige le quarré de r et les puissances 9 de supérieures à la première, notre équation se réduira, en

» divisant tous les termes par gf^ à

» L'équation du mouvement du pendule simple , qui a pour Ion- » sueur /, est

» pour que ce mouvement coïncide avec celui du pendule composé, » il .&ut donc qu'on ait

3> Désignons par X, la distance du centre de gravité de ce pendule 1» à la ligne de contact du couteau ayec le plan fixe ; nous aurons » / = A — r j négligeant toujours le quarré de r, et obsenrant que, I» dans les expériences du pendule, la quantité k^ est très petite, la i> yaleur de / deviendra à très peu près

» d'où il résulte que, pour tenir compte de l'épaisseur du couteau, » il &ut d'abord calculer la valeur de /, en disant abstraction de 9> cette épaisseur, et en retrancher ensuite la grandeur du rayon r. ' » Il e^t remarquable que cette conséquence, qui mérite d'être prise en considération dans l'appareil de Borda , se déduit aussi des ré^ sultats analytiques auxquels Euler est parvenu lui-même, dans un Mémoire sur le mouvement d'un pendule composé oscillant autour d'un axe cylindrique appuyé sur un plan horizontal {yoyez le tome YI des Nova Acta Petropolitanœ, page i45).

4og. On vient d'exécuter en Angleterre iin nouvel appareil pour déterminer la longueur du pendule à secondes. Il est fondé sur cette propriété du pendule, découverte par Huyghens, savoir : que les axes de suspension et d'oscillation sont réciproques l'un;: à l'autre; c'est-à-dire que si l'on fait osciller un pendule composé, et qu'ensuite on prenne pour point de suspension le centre d'oscillation, les nou* velles oscillations seront de même durée que les premières, et la distance des deux points de suspension sera la longueur du pendule

simple correspondant à cette durée. Comme il est nécessaire, pour cette expérience, d'adapter un second couteau très près du centre d'oscillation du pendule dans la première suspension, M. Laplace a examiné Tinfluence que doivent avoir sur les résultats des observations les arêtes de ces deux couteaux. M. Poisson a remarque qu'on arrivait aux conséquences mêmes de cet illustre géomètre, ainsi qu'il suit :

La longueur du pendule simple synchrone au pendule composé est, par ce qui précède^

Supposons qu'elle soit relative à la première suspension. Si l'on désigne par r^ le rayon de l'arête cylindrique du second couteau , autour duquel on &sse ensuite osciller le pendule , la quantité 1^ ne changera pas ; mais la distance du centre de gravité à l'axe du second couteau, au lieu d'être / comme ci-dessus, deviendra /, et la longueur du pendule simple sera

Si l'on parvient à établir le synchronisme, on aura / = f , ou

/ H- -— • ar = / + ^ — • ar'; et si les deux rayons r, r' sont égaux , cette équation deviendra

d'où l'on tire

/ = /, ou -7= 1.

La première solution est relative au cas où le centre de gravité divise en deux parties égales la plus courte distance des deux axes

synchrones; la seconde solution ayant lieu lorsque / = -r,et donnant

il s'ensuit que, si le centre de gravité est dans le plan de ces deux axes et situé entre eux , leur distance mutuelle sera f + /, et la

53o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

longueur du pendule simple , faisant ses oscillations dans le même tems que le pendule observé , sera la plus courte distance entre les sur&ces des arêtes qui terminent les deux couteaux de suspension : c'est donc par rapport à ces surfaces qu'a lieu le théorème d'Huy gheos, sur la réciprocité des axes de suspension et d'oscillation.

4io. En nommant r le rayon de ce demi-cylindre , et, comme précédemment, D la distance du centre de gravité de la calotte qui recouvre la boule, au centre de cette boule dont le rayon est U , X la longueur dn^fil , b la distance de l'extrémité supérieure du fil à Taxe du cylindre formant le tranchant du couteau; appelant de plus A' la distance de l'extrémité inférieure du fil au centre de la boule , p le rapport de la masse de la calotte à la somme Jlfdes masses de la boule et de la calotte , i celui de la masse du fil à la même masse Jf ; enfin E la distance du centre de gravité de la masse M au point de 8a suspension par le fil; on aura, selon M. Laplace,

distance du plan de suspension au centre de la boule

et longueur du pendule simple, faisant ses oscillations dans le mêuMr tems que l'appareil,

Borda suppose Z> = -R = A' j et dans les termes multipliés par i la différence qui peut exister entre ces trois quantités est insensible; alors Xzsi F — h — JR. M. Laplace, prenant avec lui pour unité la deux cent-mlUième partie d'une grande régie qui lui servait de module (art. 4o5), observe que dans son appareil on a, en siçposant rs=o,

^=1968, jF3=ao5oi5,i7, iîsr937,/?=o,oo38oi5, /=ao,ooi386j j

et il trouve en conséquence , par la formule précédente ,

^ qui ne diffère que d'une quantité insensible, de la valeur 3052965,821

que Borda a obtenue par sa formule, ainsi qu'on le verra dans l'ar-^ ticle suivant.

Calcul numérique d'une expérienjce du pendule , faite avec

V appareil de Borda.

4ii. Quoique nous venions d'expliquer en détail et d'une manière générale toutes les réductions à faire à la longueur observée du pendule, pour' en déduire celle du pendule à secondes, nous pensons qu'un exemple numérique répandra encore plus de clarté sur cette opération délicate. Nous allons en conséquence rapporter la première expérience faite par Borda lui-même, à l'Observatoire de Paris, et décrite au tome III de la Base du Système métrique décimal, pages 349 et suivantes.

Nous avons déjà dit que le pendule d'expérience avait 4 mètres de longueur; ainsi, il ne faisait qu'une oscillation en deux secondes^ Il résultait de là cet avantage, que cette longueur étant quadruple de celle du pendule simple, l'erreur qu'on pouvait commettre sur la mesure avait quatre fois moins d'influence sur les résultats.

Le pendule, mis en oscillation à 7^45' Sa'' du matin, paraissait se cacher derrière Fécran un peu avant le centre du signal marqué par l'intersection de deux droites qui faisaient des angles de 45'' avec l'horizon, quand la lentille de l'horloge était en repos; et à 7*46' 8", le centre de ce signal devançait un peu le pendule. On a estimé que le premier concours avait eu lieu à 7*45' 56''; mais ordinairement, on prend pour époque du véritable concours le milieu des tems du conmiencement et de la fin d'une coïncidence. En procédant de la sorte, et observant à chaque concours l'arc décrit par le pendule de part et d'autre de la verticale , on a eu

IHOMBRES

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