LIEUX
des obienradonf.
Equateur
Porto-Bello
Pondichéry
Jamaïque
Petit-Goave
Cap de Bonne-Espérance.
Toulouse
Vienne, en Autriche. . • .
Paris
Gotha
Londres
Arengsberg
Pétersbourg
Laponie
Ponoi
LATITUDSS.
o«^oo
i3,a5 ao^oo
âo,5o
54, a6 56,63 57, aa
74, aa
LOWGUEURi DU PB>OUIiB
il lecondet oenttsiniiilet de ccms moyen.
Oi 99689 o,997>P 0,99745 o,99"7a"8 ^
NOMS
des
•beectmietisi.
Bonguer.
Bouguer.
Le Gentil.
Canipell.
Bouguer.
La Caille.
Darquier.
Liesganig.
Bouguer*
Zach.
Grisschow.
Mallet.
Àcadémicieni.
Mallet.
ai
Toutes CCS mesures, qui sont réduites au ride et à la même tçmpéfature, peuvent être considérées comme ayant ^^ prises au niveau des mers; les neuf premières ont été trouvées par la méthode même que Bouguer a employée au Pérou. Toutes les autre» ont été conclues de la comparaison dea oscillations d'un pendule invariable. Quand bien même il y aurait quelqu'incertitude sur toutes^ Tuniformité de la méthode, comme Fobserve l'auteur de la JUéca^ nique céleste, doit donner, avec assez de précision , la loi de leur» variations, l'un des principaux objets à connaître.
Afin de déterminer Tellipse la plua probable, qui, d'après l'ensemble de toutes ces mesures, représente la génératrice du sphéroïde terrestre, nous ferons usage de la méthode des moindres quarrés, déjà employée à l'art. 5jZ; et nous partirons de ce principe, savoif:^ que /a longueur du pendule croit depuis réquateur jusqu^au pôle, proportionnellement au quarré du sinus de la latitude; c'est en effet ce que l'on démontre par la théorie de l'attraction , lorsqu'on suppose la Terre un ellipsoïde de révolution.
Cela posé, si l'on désigne par z la longueur du pendule à Péquateur et par^ sa variation jusqu'au pôle, sa longueur, sous la latitude JT", sera généralement représentée par z-^y dn^IT; si de plus, x^'\ x^*\ x^^\ . . . expriment les erreurs des observations , c'est-à-dire les jî fle r enc es entre les longueurs observées et celtes qtd résultent* de l'expression analytique z + y sin» H; enfin, si l'on met dan» cette expresMon, pour sin* H les valeurs relatives aux différent lieux désignés dans le tableau précédent, on aura les équations de condition suivantes :
0,99669 — z — j'. 0,000000 = xf^'\ ^199689 — z — 7-0,027619 = 5C^»\ o>997io — • z ~ 7.0,042696 = x^^\ o>99745 — z —7.0,095491 = ix^^\ 9,99728 — z — 7.0,100168 = x^% 0^99877 ~ z — 7.0,311419 = 5C<% 0,99960 — z — 7. .0,476605 = x^'^ Oi99987 — 2 — 7.0,666960 = ^*>i .1,00000 7— z — 7.0,666716 = x^^\
lyOoioi — z —y. 0,74909a = 0(^\% i,ooj37 — - z — j^. 0,8^4785 = x^'*\ i,ooi48 — z — j<. 0,848396 = 3C^^.
L'équation do minimum, par rapport à z, s'obtiendra de ftuitë en égajant a zéro la sonme de toutes ces équations; ainsi l'on aura
i4,9885go — z.i5 —j^. 6,556536 = o (1).
Multipliant ensuite chacune de ces mêmes équations par le coefficient de^ qu'elle renferme, il viendra
0,03743543 — z. 0,037519 — j'. 0,0007573, 0,04367318 — ;?. 0,043696 —j)^. 0,001 8339, 0,09634760 — z .0,096491 — j i o,oogi 1 85 , 0,09988667 — z.o,iooi58 — jj^.o,oioo5i6, 0,51105696 — z.o,5ii4i9-— jf. 0,0969834, 0,47636736 — z. 0,476606 —^^.0^3361060, 0,66688773 — z.o,66696o — ^iOj5o909i5, 0,66671600 — z. 0,666716 —^.0,5311670, 0,60543830 — z. 0,603393 — j^.o,5ftï!o8i9,
0,6136134 — *z.o,6is44i /;o,575o84o,
0,73560207 — z. 0,733067 — j<.o,53ii®îï69, 0,74984868 — z. 0,749093 — j^.o,66ii388, 0,84694336 — z. 0,8447*5 — jK -0)7 1 36617, 0,84966048 — z.o,"848395 —^.0,7196044.
Et additionnant tous ces produits, on aura, pour Téquation dm minim,um par rapport à ^,
6,55896863 — z.6,656536 —jK-4,a3i473i = o (2).
Combinant celle-ci avec la précédente (i), pour aVoir les yaleun de j< et z, on trouvera
Il est démontré au n"" 54 de la Mécanique céleste, tome II, que Taplatissement de la Terre est égal à | du rapport de la force cen-trifuge à la pesanteur, moins l'excès j^ de la longueur du pendule aâ pôle sur sa longueur z à l'équateur, divisé par celte dernière longueuf • Or, le rapport dont il s'agit étant rh 9 ^ s'ensuit que raplatissementii
54o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
cherche est^ en prenant le demi*petit axe de la Terre pour imite,
A ss o,oo865 —^z=z o,oo3i35 = w-è—â*
M. Mathieu , qui est parvenu à ce résultat, dans la Connaissance des TemS'à^ 1816, a feit en outre usage d'une méthode que M. Laplace a donnée {Mécanique céleste, tome II, page ia8 et suivantes)^ pour déterminer la figure elliptique dans laquelle le plus grand écart des pendules mesurés est moindre que dans toute autre figure de même espèce. Par la méthode des moindres quarrés, on trouve, en mettant dans les quinze équations de condition ci-dessus, pour^ et Zy leurs yaleurs précédentes, ce système d'erreurs,
Equateur «<•> = — 0^000098,
Porto-Bello xf^^ = — o,oooo63,
Pondichérjr ofi^ = H- o,oooo3i,
Jamaïque x^^^ =a -f- 0,000076,
Petit-Goave 9fi^ = — • 0,000069,
Cap de Bonne-Espérance ... • jc^'^ = *f- 0,000174,
Toulouse x^'^ = -f- 0,000047,
Vienne ^ ^ » . . . . . ofi^ =5 — 0^000007,
Paris 9fi^ = 4- o,oooo46.
Gotha *^'*^ = — 0,000060,
Londres ^"^ = — • 0,000008,
Arengsberg. x^"^ = — o,oooo43,
Pétersbourg x^'*^ = -f- o,oooo53,
Laponie x^'^^ = — 0,000073,
Ponoi x^'*> = — o,ooooo4.
Ces écarts, entre la théorie et les mesures du pendule décimal, sont, ainsi que l'observe M. Mathieu, tous renfermés dans les limites des erreurs des observations. L'expression de la longueur du peu*dule à secondes décimales sera alors fort exactement
0,996823 -f- 0,00549745 sin* H {e).
. Si l'on multipliait cette expression par la longueur absolue do pendule k réquateur,on aurait sa longueur absolue dans tout autre lieu dont la latitude = H-, mais les expériences que Borda a faites a l'Observatoire de Paris, et qui ont^té confirmées par celles de plu-
sieurs membres du Bureau des Longitudes, étant plus exactes qu'aucune de celles rapportées dans le tableau précédent , il convient de les employer de préférence. Si donc t désigne la longueur absolue du pendule à l'équateur, et / sa longueur absolue à la latitude H de Paris, on aura
l ^ss> T (0,996835 H- 0,00549745 sin' JST), d'où Pon tire
Mais suivant Borda, /s=s o",74i9o4, et Ton sait que £r=s48*5o'i4''j par conséquent
En multipliant l'expression {e) par ce Ëicteur, on aura, pour la longueur absolue du pendule décimal dans un lieu quelconque, et ré-duite au niveau des mers , c'est-à-dire du pendule simple faisant 100006 oscillations dans un jour solaire moyen,
o",739575a + o*,oo4o7873o sin' It.
^ Dans un très beau mémoire sur la figure de la Terre (Connais^ sance des Tems de i8ai), M. Laplace montre comment on rend parfaitement comparables entre elles les longueurs observées du
pendule, et Ëiit connaître quelques vérités géologiques très remarquables.
4i5. M. Mathieu a discuté avec beaucoup de soin les expériences du pendule, faites au commencement de ce siècle par les navigateurs espagnols, en différens points du globe; les conséquences qu'il tire, tant de celles-ci que des expériences précédentes , sont :
' i*. Que l'aplatissement jtitj ^^^ trouve pour l'hémisphère austral, est très voisin de celui qu'on attribue généralement à l'hémisphère boréal ;
a^ Que si la difierence assez petite qui existe entre les divers aplatissemens, déduits des observations du pendule, semble indiquer une inégalité entre les deux hémisphères terrestres, du moins est-il vrai que ces deux hémisphères ne difiërent pas sensiblement l'un de l'autre. Voici quelques résultats extraits du Mémoire de cet astro^ nome distingué, et sur lesquels cette remarque est fondée.
54ti
TRAITÉ m; Géodésie.
NOMS
de« liens.
Formeutera.
Fi^e^c.
Bordeaux. . . .
Clermonc . . .
Paris
Dankerquc . .
BAUTEUa
LÂTITtmU.
au-<l««tiis du nircau
de la mer.'
aoo*
MO
LOVCUSUft
Au pendule
LOVGUEUR
d« |)«ndqle
au lÛTeaa
de la mer.
NOMS des
ira»
Biot»Araso, OnyoL Biot, Mathieu.
Biot, Matfiieit.
Biot.Mathfea.
Bioi, Bouvard, MAthico.
Bioc, Mathieu.
Lorsqu'on applique à ces dernières expériences la méthode des moindres quarrés, on trouve que i'etlipse qui y satis&it le mieux a pour aplatissement ^99—^ ce q^î s'écarte un peu du résultat précédenti et de Taplatissement j^ iléduit de la théorie des inégalités de la Lune. Celui-ci parait le plus probable de tous , parce qu'il est indépendant des irrégularités de la surface de la Terre; irrégularités, dit IVL Laplace , qui disparaissent à la distance de la Lune, mais qui commencent à se faire sentir dans la mesure du pendule, et deviennent très sensibles dans la mesure des degrés.
Quant h l'expression générale de la longueur absolue du pendulei doxmée par l'ensemble de ces expériences, elle est
o",7397oai343 + o*,oo59 1 80769 sin*Jff.
4i6. Les résultats que M. Mathieu a déduits des expériences Élites dans les circonstances les plus propres à nous éclairer sur la véritable figure de la Terre , ou sur la variation de la pesanteur à sa surface, sont renfermés dans le tableau suivant:
simtPBàn.
Boréal.
Austral.
Doréal-aiistràl.
Boréal.
HOMtaB
cxpencDCca.
APLÂTISf.
Si t • 6
Trfn
TÏTTT»
LOHGUEVa AASOI.UB
du pendule dectnal.
©"739574 + O"*oo4ioq7tîn*i5f 0,7396^3 4" o, 00403^9 8Î11' H 0,739574 + 0)Oo4iioo«in*£r
Moyenne par toute» le6 expériences, 0*^7 39686 -)" o"oo4o8o6Mn*£r Par les a4d«l'bémisphère boréal» 0,739576 + 0,004094a sia^ff
Les expériences de ce genre , que M. Biot a faites tont récemment aux îles Schetland, et celles que M. Frescinet doi( efifectuer sur diP-. férens points des deux hémisphères , pourront apporter de légers changemens aux résultats précédens; mais il est déjà certain que l'aplatissement général du globe, déterminé de la sorte , est renfermé dans des limites très resserrées, et que l'expression
©•,990787 -f- o*,oo5598a sin* H
de la longueur du pendule à secondes sexagésimales , déduite de la discussion de toutes les observations connues jusqu'à présent, difiEere extrêmement peu de la vérité.
Le pendule dans l^tat de repos, donne exactement la direction de la pesanteur; cependant il s'écarte un peu de la ligne verticale dans le voisinage des hautes montagnes, par l'effet de leur attraction 9 ainsi que Bouguer l'a observé près du Chimboraço. Ce célèbre géomètre .a donné aussi le moyen d'évaluer l'angle de déviation , et de conclure par suite le rapport de la force attractive des montagnes à celles de la Terre entière ( Figure de la Terre, p, 364) ;, mais les observations les plus exactes de ce genre , sont celles que MaskeUne fit en Ecosse, l'année 1774. La longueur du pendule à secondes qui oscille dans un même lieu, étant in variable et pouvant être retrouvée dans tous les tems, plusieurs savans avaient proposé de prendre pour unité fondamentale de notre nouveau système des poids et mesures , la longueur dû pendule simple , correspond dante au 5o* grade de latitude, et réduite au niveau des mers; néanmoins des raisons puissantes ont fait adopter le mètre. ( Voy. te Discours préliminaire de la BcLse du système métrique décimal).
