CHAPITRE V

Détermination des hauteure^par les mesures harométriques.

417. X OUT le monde sait que la longueur de la colonne de mercure du baromètre dépend du poids de Tair, et qu'elle diminue à mesure qu'on s'élève dans l'atmosphère ; il existe donc une relation entre la hauteur du baromètre et celle parcourue dans le sens de la verticale. De toutes les formules données par plusieurs physiciens célèbres ^ pour déterminer les di£fêrences de niyeau par les seules observations barométriques et thermométriques , il n'en est aucune qui procure, dans ses applications, autant d'exactitude que celle de M. Laplacc; parce que cet illustre géomètre a su l'établir pour tous les lieux de la Terre et toutes les hauteurs au-dessus de la mer.

Description du baromètre , et circonstances les plus favorahles

aux observations.

. Le baromètre dont on se sert ordinairement en voyage est celui de Fortin. Il est composé d'un tube de verre enfermé en grande partie dans un tube de cuivre servant à le protéger. L'extrémité inférieure du tube de verre communique au mercure contenu dans une cuvette dont le fond, qui est mobile à volonté, se meut à l'aide d'une vis, lorsqu'on veut amener la surface du mercure à un niveau fixe, marqué par le zéro de l'échelle. Ce niveau se trouve précisément à l'extrémité d'une petite pointe d'ivoire attachée à l'enveloppe de la cuvette et disposée verticalement.

Un petit thermomôlre à mercure, d'une très grande sensibilité, est enchâssé dans la monture du baromètre, et est destiné à faire connaître la température de la colonne barométrique. Un anneau curseur embrasse la monture et est muni d'un vernier, au moyen duquel on apprécie les dixièmes de millimètre , ou des plus petites divisions de l'échelle tracées sur le tube. L'anneau dont il s'agit entraine en outre deux petits plans de cuivre parallèles entre eixXp

et dont les arêtes inférieures sont exactement perpendiculaires à Taxe du tube.

Le baromètre se Auspend à mi pied à trois branches, qui étant réunies lui servent d'étui. Lorsqu'il se trouve ainsi dans une situation verticale , on Sait monter la anr&ce du mercure contenu dans la cuvette, jusqu'à ce qu'elle soit parfaitement en contact avec la points d'ivoire; et c'est ce qui a lieu quand cette pointe et son image réfléchie paraissent en juxta-position.

Pour mesurer ensuite la hauteur de la colonne de mercure , on fait mouvoir le vemier jusqu'à ce que les arêtes des deux petits plans de mire dontnous avons parlé soient exactement tangentes à la convexité supérieure de cette colonne : alors le nombre marqué par l'index du vemier est la hauteur qu'on voulait connaître. Si l'on élevait le baromètre à io",5 au-dessus de sa première position, la colonne de mercure diminuerait d'un millimètre environ; il est donc indispensable de Êiire usage d'un bon vemier, et de prendre beaucoup de précaution p#ur rendre les erreurs de lecture aussi petites qu'il est possible.

Le thermomètre du baromètre ne bisant connaître exactement que la température du mercure, on mesure celle de l'air avec un thermomètre libre ou sans monture, dont les divisions sont tracées sur le tube même. On l'attache à la hauteur de deux mètres environ ^ à un bâton fiché en terre, et incliné de manière que son ombre se projette sur le tube; par ce moyen, l'instrument est préservé de la chaleur directe des rayons du Soleil, et l'air circulant autour de lui l'amène bientôt à sa température.

Avant de remettre le baromètre dans son étui, on a soin de Ëdre monter le mercure à peu de distance du sommet du tube, à l'aide de la vis du fond de la cuvette, afin d'éviter un trop grand choc de la part du mercure, qui, sans cela, se précipiterait avec rapidité dans cette partie vide, quand on renverserait le baromètre, et qui pourrait occasionner une rupture oulaisser introduire de l'air le long delà colonne.

Deluc avait adopté exclusivement les baromètres à tube recourbé ou à siphon. Dans ceux-ci, la hauteur du mercure est mesurée par la distance verticale du niveau inférieur au niveau supérieur de la colonne métallique. Quand l'échelle est fixe, le zéro est placé entre ces deux niveaux , et les divisions sont numérotées symétriquement et dans le même ordre de part et d'autre de ce point; d'où il suit 2. 44

éyidemment que la hauteur de la colonne est égale à la somme de» deux hauteurs partielles observées.

Le baromètre à siphon, modifié par M. Gay-Lussac, jouit de plur aîeurs avantages dont les naturalistes peuvent tiner un grand parti dans leurs voyages (voyez la description que AL Biot en a donnée dans son Traité de Physique^ tome I, page gs).

Il est essentiel de Êiire des observations correspondantes et simnl* tanées de quart d'heure en quart d'heure, lorsqu'on veut déterminer, avec toute l'exactitude que comportent les instnimens , la diflfêrence de niveau de deux stations; mais avant tout, il faut comparer \e&^ baromètres et les thermomètres dont on doit faire usage, et tenir note des petites diffîrences qu'ils peuvent présenter, afin d'y avoir égard duns les calculs.

M. Rumond, qui a singulièrement contribué au perfectionnement delà méthode barométrique, par les nombreuses et utiles applications qu'il en a faites, indique le milieu du )our comme l'époque la plus favorable à l'observation , sur- tout si [atmosphère est calme , et si le baromètre et le thermomètre, placés à l'ombre, à l'abri de toute cause accidentelle de chaleur, restent long* tems stationnaires.

On remarque toutefois dans les hauteurs du baromètre, observées constamment au même lieu, des irrégularités de deux espèces; les unes font accidentelles et ne paraissent soumises à aucune loi fixe; les autres sont périodiques et régulières. M. Ramond a remarqué qu'en France les oscillations du baromètre ont alternativement une durée de 5 heures et de 7 heures. Par exemple , le matin , le baromètre monte de 4 heures à 9 heures; ensuite il descend jusque vers 4 heures du soir; puis il remonte pendant 5 heures, après quoi il redescend jusque vers 4 heures du matin. « Cette marche , dit M. Biot 3) {Truite de Physique)^ est souvent dérangée dans nos climats :f> ci'£urope, où l'état de l'atmosphère est si variable; mais sous les y> tropiques, où les causes qui agissent sur l'atmosphère sont plus 7> constantes, la période l'est aussi, et à un tel degré que, suivant » M. de Humboldt, Ton parviendrait presque à prédire l'heure à 3> chaque instant du jour et de la nuit, d'après la seule observation 7è de la hauteur du baromètre; et ce qui est extrêmement remar- » quable, comme l'a également constaté le même voyageur, c'est }» qu'aucune circonstance atmosphérique, ni la pluie, ni le beau tems, » ni le vent, ni les tempêtes^ n'allèrent la parfaite régularité de cette

51 Ctôcîllation, qui se maintient la même en tout tems et dans toutes » les saisons. >

Après ces notions sur l'emploi des instrumens , démontrons la formule barométrique de l'auteur de la Mécanique céleste.

Démonstration de la formule barométrique de M* Laplace.

4i8. L'atmosphère peut êti:e considérée comme composée de^ couches d'air infiniment minces qui décroissent de bas en haut par des nuances insensibles. Afin de découvrir plus aisément la loi de ce décroissement,nous supposerons la densité de l'air constante dans toute l'épaisseur d'une même couche.

G)n8idérons une colonne verticale d'air à ia température de la ^aoe fondante, et une nwlécule d'une densité ss Dy située à une distance a -f- 2 du centre de la Terre, a étant la distance du même centre à la station inférieure de l'observateur. Nommons ^la pesanteur, et p la pression de Tatmosphère dans le lieu de la molécule, exercée sur l'unité de sur&ce. On aura, pour la condition de l'équilibre dans le baromètre, et à cause quep diminue quand £ augmente^

dp :=i^^ gDdz.

En effet, le poids d'une substance est égal à sa masse multipliée

par la gravité, et la masse est égale à la densité multipliée par le

volume..

La pression p varie proportionnellement à la densité i7 de la

molécule, multipliée par sa chaleur que nous désignerons par/, /

exprimant, dans Thypothése actuelle, la température de la glace;

ainsi l'on a

p = KDli

K étant un coefficient constant donné par l'expérience. Divisant ces deux équations Pane par fautre, il vient '

et intégrant, l'on a

/^^ = - icy^ -^^ = - JC log.p H- Q.

La constante Q se détermine en faisant z 5=03 et conmie, à cette

origine, la pression de l'atmosphère estp'f il s'ensuit qot

Q=:iS:log.//} partant)

y>^s=jr(iogy--iog.i>) — A-log.^ (i).

L'intensité de la pesanteur étant réciproque au quarré des dî« stances, si l'on désigne par ^ la pesanteur à la station inférieure ^ on aura, à fort peu prés,

et si l'on fait z' = z m — ^\ d'où dzf = <fe ^i — ^) , le premier

membre de Téquaiion (i) deviendra, en y substituant d'ailleurs pour ^ sa valeur précédente,

fi ^ = ^./rfx- = f z-.

De la, et prenant le logarithme tabulaire ou de Briggs,

jlf := 0,4343945 étant le module.

Kl Ou voit, par cette formule, que -^^ est un coefficient constant

répondant à la température de la glace. On peut lui donner une forme dépendante du rapport entre les densités de l'air et du mercure, qui ont lieu à Torigine des z , où la pesanteur est ff' et la densité de l'air «s D'. £n effet , on a , par ce qui précède ,

p' = Kjyi.

D'un autre côté , si à ce point A' exprime la densité du mercure au même degré de température et lorsque la hauteur du baromètre est hf^\ l'équilibre entre la pression de l'air et le poids du mercure, rapporté à l'unité de surface , e^t

ainsi /sss ^^^, , et la formule (3; devient, en y mettant d'ailleurs

pour «' sa valewp « (i — 2)»

z = ^4logf(. + i)=CIogf(.+i) (a).

La colonne d'air comprise entre les deux baromètres vient d'être supposée à la température de la glace; mais quelle que soit la loi du décroissement de la chaleur dans Tatmosphère, il suffira, pour tenir compte du changement de température, de la considérer comme constante et égale à la température moyenne entre les deux extrêmes. Cela posé , puisque le volume d'une masse d'air déterminée s'accroît environ de 7^ par chaque degré du thermomètre centigrade {^)y la valeur ci-dessus de z, pour convenir à la température

moyenne-—-, t tl t étant les températures de l'air aux stations

supérieure et inférieure indiquées par les thermomètres libres, devra

être multipliée parle Ëicteur 1 H"iiô«'^--^==3^"l"' .En effet,

% augmente dans le même rapport que la densité de Tair diminue; et comme, à masses égales, le rapport des densités est inverse de

celui des volumes, on a zy = i7' (i + xj^ r^y ^' ^^^°' ^ ^^^* site de l'air à la température moyenne dont il s'agit; donc

A la même température et à la même force accélératrice de la pesanteur, les pressions p^ p' sont proportionnelles aux hauteurs correspondantes A, h' des baromètres. On devrait donc écrire

log r- à la place de log ^ ; mais il faut avoir égard à la condensation

du mercure qui a dû s'opérer dans la station la plus froide, et où la colonne de ce fluide métallique a dû paraître un peu plus courte que si on l'avait observée dans une station inférieure sous la même pression; il faut en outre fèiire entrer en considération la variation de la pesanteur dans le sens de la verticale. D'abord on sait que le

(*) Cet accroissement est plus exactement de 0,00375 , lorsque Tair est parfaitement sec ; mais M. Laplace observe que l'on tient compte, tu partie^ deTétat hygrométrique de Fair, en le portant à o^oo^*

36o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

mercure se condense de j^jz P^r chaque degrc du thermomètrecentigrade; ainsi, sa densité J^ correspondante à la température T''

pérature T observée à la station la plus haute; on a donc p' « /:^A' et ^ =: <f^(i + 2^^ = JV^.

On remarquera ensuite qu'à cause de^ = ^^\^' s: ^i 4- -Y, on a

P g u — aV^aJ* et .

log ^= log ^4- alog(i -t- î);

niaislog(i + ^) = ilf {^— ~H-...}; et puisque ^estunetrès petite fraction, on a à fort peu près, pour son logarithme tabulaire ,

ïog (» + 1) = ^= î'0>454a945,par conséquent

log^ = log ^ + 5.868689,

et la formule (b) de?ient

^ = C(i + î^^) {(x + î) log I + î.o,868589} W-

Il reste àfeîre connaître le changement que le coeflScientC= jjg'jp*

supposé déterminé pour un lieu dont la hauteur au-dessus de la mer est r. On remarquera d'abord que, comme il est réciproque à la densité de l'aie ou à la pesanteur, on a en désignant par (C) ce qu'il devient au niveau de la mer, et par (^) la gravité à ce niveau,

iL=:Ç£>

d'où, à très peu près,

Mais le coefficient (C) étant donne dans un Heu dont la latitude

est 4 > il doit encore varier sous uœ autre latitude. Or, la pesanteur diminuant à mesure que Ton s'approche de Péquateur, et cette diminution étant indiquée par le raccourcissement du pendule à secondes, il est clair que la correction actuelle dépend de reflet de cette cause. De plus, comme les longueurs du pendule à secondes sont propor-* tionnelles aux pesanteurs, on a *

(?<) et X" étant les longueurs que doit avoir ce pendule au point de la Terre où les pesanteurs sonlrespectivement (g) et^^ Mais en général

(A) = o",739586 4* o"',oo4o8o6 sîn* 4 ;

donc, si Ton veut ramener le coefficient a la latitude de 5o', et que g" y exprime l'intensité de la pesanteur, on aura

x" 0,739686 + OyCx>ao4o5 i .

(a) ■"" 0,739586 -4- o^oo4o8o<>sin'4^ ""^ i — o^ooay&i ces fl>^'

et de là

(Sf) = ^' (1 — 0,0028 cos a4) = ^' (1 — /3 cos a^/).

Soit maintenant C" ce que devient sous le parallèle du 5o*^ grade, et au niveau des mers, le coefficient (C); on aura évidemment

^^^ = ^^ = i — /S cos 24, ou (C) =5 C" (1 4-/3 cos 2^),

par suite

C=C"(H-/3co8a4)(i + i') = ?g.i (rf)j enfin

Deux méthodes conduisent à la valeur numérique du coefficient C. La première consiste à niveler la hauteur comprise entre les deux stations, ou a la déterminer trigonomélriquement par l'un des procédés exposés au chapitre XX du livre troisième, et à prendre pour inconnue dans l'équation Çd^ ce même coefficient»;

3ia TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Cette méthode a été employée avec beaucoup de succès par M. Ramond, et il résulte d'un graod nombre d'obsenrations barométriques de ce savant naturaliste, faites dans les tems les plus Ëivorables et sur plusieurs montagnes des Pyrénées dont les hauteurs sont bien connues, que C = iiB536*. La seconde méthode, qui est plus directe , consiste à déduire ce dernier coefficient du rapport même des densités du mercure et de Pair. Or, suivant un résultat d'expé* riences très précises feites à Paris , par MM. Biot et Arago , le rapport

^= io463,o, l'air parfaitement sec étant à zéro de température, et

la pression de l'atmosphère étant équivalente à o",76 {Mémoires de la classe des Sciences mathématiques et physiques de r Institut, premier semestre de 1806, page 585). Chi a d'ailleurs AC») = 0^,76, 4 = 64',26358, r 3= 60^, a = 6566198" ; ainsi la «ubstilution de ces valeurs, dans la relation ((/), donne

Les expériences immédiates qui conduisent à cette valeur, confirment donc le coefficient de M. Ramond, que l'on doit par conséquent regarder conime un résultat définitif.

Enfin Ton pourra supposer, sans erreur sensible, rr=o, a=6566i98*, et employer pour valeur de z dans le second membre de la formulc^^), celle que l'on obtient en faisant z=o dans ce même membre. D'après toutes ces considérations, Ton aura, pour la di£fêrence de niveau des deux stations,

«;:^i8556-(i + o,oo275icos24).(i+?^J^) .

Telle est la formule que M. Laplace a publiée dans le livre X delà Mécanique céleste. Quoique l'hypothèse que nous avons feile d'une tepipérature constante entre les deux stations ne soit pas rigoureusement exacte , l'on ne doit former aucun doute sur la précision dont il est possible d'approcher, lorsque les élémens variables de cette formule sont recueillis au milieu d'un air tranquille, et avec lotts les soins qu'exige ce genre d'obseryations.

Pour en rendre Papplication un peu plus simple , on fait abstraction de la variation de la pesanteur en latitude et dans le sens de la verticale; mais afin de nuire le moins possible à l'exactitude du résultat, on emploie, au lieu du coefficient constant i8356", le coefficient iSSgS-, ainsi que M. Ramond Ta fidl lui-même : de cette manière, on a simplement

t étant la température de Tair dans la station )

supérieure; / Thermomètres

f la température de Pair dans la station înfé- ( libres.

neure;

T la température du mercure du baromètre ]

dans la station supérieure ; * / Thermomètres

T'ià température du mercure du baromètre | des baromètres, dans la station inférieure ; J

h la bauteur du baromètre dans la station supérieure ; h' la hauteur du baromètre dans la station inférieure.

On possède plusieurs tables qui facilitent singulièrement l'évaluation des termes de la formule rigoureuse que nous venons de démontrer: telles sont celles de MM. Biot, Lindenau et OItmanns. Ces dernières sont extrêmement simples et commodes ; on en peut voir l'usage dans V Annuaire du Bureau des Longitudes. A dé&ut de ces Tables, on procédera ainsi qu'il suit.

Type du calcul de la formule barométrique.

4ig. Parmi les nombreuses observations barométriques de M. de Humboldt, nous choisirons celles qui lui ont fait connaître la hauteur du Chimbaraço, au-dessus dé la mer Pacifique.

Lieux des stations.

Hauteur du barom.

Sommet du Chimbaraço. a 67,»'^ Niveau de la mer du Sud. 337,7

Thermom. [Thermom.

dubaroiu. I libre.

H- lo^o H- «5,3 I

Latitude.