LIVRE QUATRIÈME

lumière, 'AN Pàtmosphère dont toutes les couches ALM^ M!M!\.. «ont supposées concentriques et sphériques, et de densités croissantes suivant une certaine loi , depuis le point où le rayon de lumière entre dans Fatmosphère, jusqu'à celui oà il atteint Torilde Tobservateur.

Désignons par a, y, y, . . .> les rayons AC^ ilf 'C, M"Cy...MC de la trajectoire lumineuse; par Z^z^t!'^ ... z les angles que les éléniens consécutifs A M' ^MM'\ . . • MN de cette courbe font respectivement avec les verticales CZ, Cz'j Cz'^j... Cr; enfin par #' y <»'\...cù les angles que ces mêmes éicmens font avec les rayons >'i

Supposons maintenant que le rapport du sinus d'incidence au

sinus de réfraction soit celui de • .(n) : i,

lorsque la lumière passe du vide dans une couche d'air infiniment mince , et dont la densité ainsi que la chaleur soient les mêmes qu'en A M' y près de la surface de la Terre.

Supposons encore, que relativement au même rayon qui traverse la seconde couche M^Âf'y on ait dans la même circonstance . •n' : i ; que pour la troisième couche M^M^ on ait pareillement. ..ri^\\\ ainsi de suite^ jusqu'à la dernière coucheilfiVpour laquelle on ait /i : i .

Il est évident, d'après le premier principe énoncé ci-dessus, que si u', u", . . . u sont aux points M\ Jlf', . . . Jf les angles d'incidence d'un rayon de lumière qui passerait du vide dans l'air ^ on aura au point M!

tin tt / V 8in u

an point JBâ!^

%VEi m ^ ^' sin *

%\u tt" ^ # . sin vF

-: 7 ii= Il • -: y ^SSS. il J

8in m ' sin s '

au point M

8in u r, ain u

sin # ' ain s

Ainsi| éliminant successivement u\u"y . . • u, il viendra

sin m' n' sin «' n* sin m n

Sin & (ny smz y»' srn « n

D'ailleurs les triangles élémentaires ^Af'C, M'M"Cy ... pouvant être considérés comme rectilignes, on a

ao TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

ginZ Y »in ft ^ y am» ^^^^ y

flm# a' fin» y' mi# y

Mc^dpIîaDt entre eux, ces rapports et les précédens^ puis réduisant, on obtiendra

sin Z ^^ n y âin z *"" (ti) " a'

Cette dernière relation est indépendante du nombre des couches comprises entre la surface de la Terre et le point N'-, ainsi elle exprime en général une propriété de la trajectoire cherchée. E» considérant donc AM!M' ^ ...N comme une courbe continue dont la convexité est tournée vers le ciel, et les droites NMP\ AMR connue les tangentes aux extrémités de cette courbe ; la première représentera la direction primitive de la lumière d'un astre, la seconde sera la ligne sur laquelle on rapporte le lieu apparent de cet astre ; et l'angle de ces deux droites mesurera la réfraction qui a lieu en A.

Maintenant, si l'on mène la droite MB parallèle à AM\ Fangle PMB sera aussi égal à la réfraction PiL^. Or, à une même distance zénitale apparente ZAR = Z peuvent correspondre plusieurs réfractions différentes. Supposons donc que la tangente supérieure P3IN à la trajectoire lumineuse prenne , dans cette hypothèse , la position infiniment voisine P'Mi alors l'angle P'MPy vu sa petitesse, sera la diflirentielle de la réfraction PME.

D'après ces considérations , l'expression de cette différentielle s'obtiendra aisément ainsi qu'il suit.

Abaissons du centre C de la Terre , sur la droite PMy la perpendiculaire CP'j désignons par x la base PM du triangle rectangle PMCy par j< sa hauteur CP, et par r la réfraction qui a lieu entre ^ et JW, c'cst-à-dîre Pangle PME : on aura en général

tang ^^ = ^ ou bien dr = ^.

Mais par ce qui précède , et à cause deyzzsy sin PMC = y sin z, on a

y == -^-^ sm Z.

D'ailleurs la force réfractive de l'air étant supposée proportionnelle à la densité f et se trouvant exprimée par JPf dans la région