LIVRE QUATRIÈME. aS
Nous adoptons le signe moins, parce que la pression diminue è mesure que la hauteur augmente.
Soit dont {g) la pesanteur à la surface de la Terre ; on à
^= (^) —, et par conséquent
P = -- (ff) affdS.
Ainsi, l'intégrale yyji' est égale à la pression entière (/?) à la surfiica de la Terre, divisée par {g) a. Voyons maintenant comment on peut exprimer cette pression en fonction de la hauteur / de l'atmosphère , dont la densité serait (/) et la température partout la même.
Lorsque la température est uniforme , les forces élastiques de deux molécules d'air sont proportionnelles à leurs densités, c'està-dire que
et comme par ce qui précède
(//?==: — {g) ^' fdy,
on a
puis intégrant, il vient
Four déterminer la constante, soit 7^1= a; dans oe cas, f^^(f)y et
Ï0€ (/) = ^^ 4- const.,
d'où
const. = log (/) - ^^\ et par conséquent
log/ = ^g-i) + log(/);
OU bien passant aux nombres ,
c étant la base des logarithmes népériens. Mais par hypothèse, / est la hauteur d'une colonne d'air de la densité (/), et qui, animée de la
a/t TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
pesanteur (^), fait équilibre à (/>); donc
et enfin
équation qui prouve que quand on suppose une température uniforme dans toute l'atmosphère , la densité décroit en progression par quotiens , tandis que la hauteur croît en progression par dil^ férences.
Maintenant il est visible qu'à cause de
//rf* = ^ et (/>) = (^) (/) /,
on a
et définitivement
r^ds i
Cette expression n'est assujétie à aucune hypothèse sur la constitution de l'atmosphère; elle dépend seulement des valeurs de (/) et de / qui sont données par les hauteurs du baromètre et du thermo* mètre dans le lieu de l'observation : ainsi, il convient d'assigner le terme où cette formule cesse d'être exacte. M. Laplace évalue pour cet efiet le terme le plus considérable de la série précédente ^ parmi ceux qui ont été négligés; il le trouve de i'',i à la distance zénitale apparente de 79^ , et tout-à-fait insensible à une distance génitale molbdre.
Cherchons les valeurs numériques des élémens de cette formule. D'abord, /représentant, par hypothèse la hauteur d'une atmosphère dont la densité est (/) et la température zéro, on a, par ce qui précède,
Soit ensuite A la densité du mercure , et k" la hauteur du baromètre à la même température zéro; on aura aussi
{f) == {g) AA%
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et par conséqaent', en égalant ces deux valeurs, il vient
(e) Or, par les expériences de MM. Biot et Arago,
à la température zéro , et lorsque la hauteur barométrique ^•=0^,76;
on a doue
/= 7960^1 M. Laplace a trouvé
par là combinaison d*un grand nombre d'observations du baromètre, ' Élites sur les hauteurs et au pied des montagnes, et comparées aux mesures trigonométriqùes. En nous arrêtant à ce dernier résultat , et remarquant que a = 6366198", on a
- = o,ooia5a54.
Les expérieribes citées ont donné dans les mêmes circonstances barométriques et thermométriques, et en parties du rayon
. i P iÙ — -^ C/) = 0,0002945856, d'où CL z= 0,000294413.
{ybyez le Mémoire de M. Biot sur les Affinités des corps pour la lumière y Institut, 1806.)
M. Delambre, par la comparaison d'un grand nombre d'observations astronomiques , a trouvé
d'où CL = 0,000293876;
valeur qui est presque identique avec la précédente déterminée directement et par des expériences très délicates. Comme elle est proportionnelle à la densité (f), et qu'à température égale, I:i dimsité de l'air est proportionnelle. à la pression qu'il éprouve ou à la hau- 2. 4
«s TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
teur du baromètre; il est nécessaire cTintroduire dans Pexpressîoft précédente de r la correction relative à cet instrument. De plus ^ cette densité, à même pression, décroissant dans le même rapport que la température augmente , il feut aussi appliquer à la formule la correction relative à l'état du thermomètre.
Or, suivant les expépiences de M. Gay-Lussac, un volume d'air exprimé par Punité, à zéro de température, et sous une pression équivalente à celle d'une colonne de mercure de o",76 de hauteur , se dilate de -^ = 0,00576 , par chaque degré du thermomètre centigrade ; ainsi , à ^degrés de température, le volume d'air devient = 1 +0,00376^. Si donc h désigne la hauteur observée du baromètre, qu'on la corrige de l'effet de la dilatation du mercure réduit à zéro di^gré de température, et à raison de 5-^7 pour chaque degré du thermomètre centigrade (*) ; la densité de l'air à la température t degrés étant représentée par 1 au terme de la glace fondante, sera
o.„s (. + o. J,5o (, + ^y °"' ^ °'^"' °-.7^o4oc.+.o '
puisqu'à masses égales, les densités sont réciproques aux volumes. Quant à la valeur de /, il est visible, d'après l'équation (/n), qu'elle oe change point par les hauteurs du baromètre, lorsque la température est constante ; mais si la température change et que la pression reste la même , alors / varie en raison inverse de (/ ) , et dans ce cas
/ = 7974* ( i -H 0,00576*); Il résulte de là , que
«AtangZ
o«,7G C 1 + 0.003750 (i + gA-)
(o-,76)* (1 + o,oo3750*(i + g-^)' ' "^^^
formule dans laquelle a = 6o",6i6 {Tables du Soleil). Pour la com-
(♦) MM. Dniong et Petit, professeurs à l'École royale Polytechnique , ont fait demièrement de nouvelles expériences qui portent cette dilatation à 55^. ( Voyes \% Journal de Chimie ei de Physique, fëyrier 181 8.)
. LIVRE QUATRIÈME. sf
modité da calcul, on altère un peu le second et le troisième tetme^ CD écrivant
«A tang Zê
i «•* ( i + 2C0S» Z) tang Z
o-,76 (I + 0,003750 (1 + g^) ces* Z
•A.o,ooia5a54 tang 2?
— a.o,oo375t.o,ooi35a54 — ^f-y. ^
cos <^
349. C'est à Faide de cette formule qu'ont été calculées en partie les Tables de réfraction insérées dans la Connaissance des Temsy depuis un petit nombre d'années. Mais à partir de 74^ de distance^ zénitale jusqu'à Thorizon, les réfractions moyennes ont été obtenues à l'aide d'une autre formule, donnée également par M. Laplace {Mécanique céleste, tom. IV, pag. 264). Quoique ces tables servent dans toute leur étendue, cependant les astronomes évitent en générât d'observer les astres trop près de l'horizon, à cause de l'inconstance
des réfiractions.
Enfin, si l'on Êdt abstracti(» du fecteur -~- ^
et qu'on développe cette expression par rapport aux puissances de tang Z, on aura, à cause de ces' Z = ^^^^^^^ ,
^ = (o>9987^7^6 + -^^^7^) « tang Z
— ^o,ooia5a54 — ^ sin l'M a tang^ Z...y
ou prenant a == 6o",525, comme M. Biot {Astronomie physique, tom. I, pag. 439), on aura
«sin 1" = 0,000295434, et par suite
r = 0,99918761a tang Z — 0,001 io5823a tang' Z (N). d5o. Avant la belle tkéorie dont nous venons de donner une idée,
a8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
d'après l'illustre auteur de la Mécanique céleste ^ les astronomes^ Ëdsaient usage de deux formules de réfraction, qui peuvent être considérées comme des cas particuliers de la précédente, et qu'il importe de connaître.
Par exemple, la formule de Bradley est
rz=.A tang (Z — /ttr);
ji QifjL étant deux coefiîciens constans qu'il s'agit d'obtenir. Pour la développer, comme la précédente, suivant les puissances de tang Zf supposons d'abord Z == 90*, et désignons par jR la réfraction correspondante; on aura " :
JR s= ^ cot (aR^ d'où -r^ c= jR tang /tiJ,
et par suite
r = jR tang /ajR. tang {Z — ftr) , ou bien
ftr=:/i*jR tang /xi{. tang (Z — jitr).
Far ce moyen, cette formule ne renferme plus que l'inconnue fcjR, que l'on dégagera ainsi qu'il suit.
D'abord , l'expérience prqu ve que ijlR est une très petite quantité angulaire. En effet, pour un état moyen de l'atmosphère , 22 = 33' environ , et d'ailleurs )u diffère peu de 3 ^, comme on le verra bientôt. Cette circonstance permet donc de substituer au rapport des arcs fcr, )bci{ celui de leurs tangentes ou de leurs sinus. Partant,
tang ftr = tang» (jlR tang (Z — fcr).
ÏMs teng (Z ^r) = .'X-y,, ,
, ainsi
tang Z tang* ^r H- ^^^ tang /*r = tang* fA,R tang Z, et de là
tang fj^r = ri±î^l±pl^p^ (P).
Nous rejetons la valeur négative de tang jur, parce que la réfraction est nécessairement positive, sur-tout pour les astres éloignés de l'horizon.
On remarquera en outre que la distance zénitale apparente Z étant moindre que 90* , la valeur de tang /tr peut être réduite en série
