LIVRE QUATRIÈME/ ùg

convergente, qui procède suivant les puissances ascendantes de tang Z. Effectuant cette opération, qui ne présente aucune difficulté, on a

tang /jur = sîn* /t jR tang Z — sin* /a^R cos* /^R tang^ Z

ou bien, supposant tang jur = ^ ^^^ , on obtiendra aisément

r = - sin 2fiR tang Z — -j sin' q/zR tang^ Z +... Comparant cette série àcelle (N), on a ces deux conditions,

j sin stfiR = o,gg9i876i«, ^ sin^ 2fiR = 0,001 io58a3a,

pour déterminer R et /jl. En effet, divisant la seconde par la première, il vient

1 «:«a - » 0,001 io58a3 „ t T/tf

4 S"^'^/*R = -3 ,939,8761 > 2;*iî= 13734',

et de la première, on tire

Il = o,999i876i«y^^^ = 181 7",9 = 3o'i7",9. Ensuite, on a

enfin, ^ est donné par la formule

A :=^R tang /tjR =s: 6o'',5io; mais sans erreur sensible

-^ = iî sin jiR = - sin a/tiî 3= 0,99918761a;

ainsi A est trè^Iïfferent de a. C'est de cette manière que M. Biot, dans son Astron. physiq.^ évalue les constantes de la formule de Bradley, après avoir déterminé a à Taidé des observations astronomiques Élites par Méchain à Barcelonne, et rapportées dans la Base Jlu Système métrique décimal, tom. II, pag. 643. Mais la combinaison d'un plus, grand nombre d'observations de ce genre a donné /n = 5,a5 et a = 6o",6i6, comme nous l'avons déjà annoncé.

3o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

s 5i . La formule de Simpson , qui est de la forme suivante :

siû (Z — vir) =1 M sin Z^

» et 3f étant deux constantes , se déduit facilement de la précédente* En effet, si dans la formule

tang fjLT = tang* fti? tang {Z — ywr) , on met pour — ^ ^--^, sa valeur . ., . )^ — ^^; on aura

^ tatig ftr ' sin Z — sm (Z — fif&) ^

1 ^^^ 8În Z + sin (Z — fl/Mf) tang* f*R sin Z — «in (Z — 2^0*

^'«•^ SSi>« = i-cos^fi ' P^"^ conséquent

1 + COS HfiR ^^^ sin Z + sin (Z — s^) 1 — cos 2^/1 """ sin Z — sin (Z — 2^*0'

Enfin, chassant les dénominateurs et réduisant, il viendra

sin (Z' — aftr) = cos 3;ui{.sin Z.

Voici une méthode empirique^ qui conduit très Ëtcilement à cette formule de Simpson.

La densité de Tair diminuant à'flksure qu'on s'éloigne de la surface de la Terre, on peut concevoir une atmosphère d'une densité moyenne et uniforme dans laquelle un rayon de lumière n'éprouverait par conséquent qu'une seule déviation dont l'effet, sur la position apparente d'un astre , serait sensiblement le même que celui qui serait produit par l'atmosphère véritable.

Soit CZ (fig. o) la hauteur de l'atmosphère fictive dont il s'agît, ^ le lieu de l'observateur, EM un rayon incident de lumière réfracté suivant M^. L'astre E paraîtra en E! sur le prolongement de ifcL^, et Tangle EME' sera la réfraction observée. Or, par le premier principe énoncé (art. 247),

sin EMr

sin E'MF

n étant un rapport constant. Ou bien sent EMf^zss. fl, EfME = r, et la distance zénitale apparente ZAM=:> j?^ on a

sin (I + r)