LIVRE QUATRIÈME

id'ascension droite et de déclinaison ; mais , pour plas de généralité et d'élégance, ayons recours à la méthode analytique.

Si , par le centre C de la Terre ( fig. 6 ) , pris pour origine des coordonnées, l'on conçoit trois axes rectangles; que celui des x passe par l'équinoxe du printems; que celui des y soit situé dans i'équateur; et que Taxe des z passe par le pôle boréal de ce cercle : la position du point E de l'espace sera connue par ses distances à ces trois axes, c'est-à-dire par les droites CPj PM, ME.

Soient donc x,^, z les coordonnées rectangles du centre E d'un astre situé dans l'hémisphère boréal , r sa distance CE au centre de la Terre, A son ascension droite y^Ny -Disa déclinaison EN-, on aura, en vertu de la propriété des deux triangles rectangles CPMy CMEy

n^s rcos^cos D, ^ssrsin Acosi?, z=rsin2> (*).

Soient pareillement X, Y, Z les coordonnées rectangles du points où se trouve l'observateur sur la sur&ce de la Terre , et ^, A l'ascension droite du zénit et sa déclinaison ou la latitude géocentrlque (art. ai); on aura de même, à cause de C^ = /^

X = fCosff cos hj y = fsmgcoshy Zz=:f sin h (jS).

Enfin, prenant le lieu de l'observateur pour l'origine commune de trois autres axes rectangulaires respectivement parallèles aux primitifs; puis désignant par r^ la distance de l'observateur à l'astre, et par M!^ U l'ascension droite et la déclinaison apparentes de cet astre, on aura

x' = r'cosyR'cosJ9S y = a^ sin A' cos ZX , z'=7^sin2y (>).

Or, il existe évidemment entre les coordonnées du lieu vrai et du lieu apparent de l'astre, les relations suivantes:

ou bien, en ayant égard à celles {a) , (jS) , (7),

j' cos Xl cos D' =^ r cos JBl cos D ^— f cos g cos h \ f sin A' cos D' =^ r sin iA cos 77 — / sin g cos h \ («); r'sin/y = rsin JD — /sin A, J

et si Ton divise successivement la seconde et la troisième équation

4o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

par la première ; qu'on fasse ^ = sin n, n étant alors la plus grande parallaxe de hauteur (art 24), on aura

tang jK SSS s =r r „ P r

i i«. C08 U — ^si nnsing cos A ^

I iAcos Z> — sîn n cosg-cos A \ ^yy.

cos JBi' (sin D — 8in n iîn A) \ tC>

I iA.cosD— -sinncosffcosï J

tang Zy s=3 =r — ^ : if

^ ces iAcosI/— -smncos^cos A

Ces formules donnent le lieu apparent en fonction du lieu vrai et de la plus grande parallaxe de hauteur, ou de la parallaxe horizontale : elles sont attribuées à M. Olbers, qui les a obtenues , comme nous, par la méthode analytique de Lagrange. Mais il est plus simple , dans la pratique , d^évaluer les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, pour en déduire ensuite le lieu apparent. La première parallaxe, qu'on désigne aussi sous le nom àe parallaxe d* angle horaire, est yR' — ^, et la seconde est zy — D. Voici un moyen très direct pour les obtenir.

La première équation (Ç) ayant lieu quelle que soit l'origine des ascensions droites, on peut retrancher de chacune d'elles la même quantité , l'arc JR. par exemple ; ce qui revient évidemment à changer la direction des axes x^ y^ en les laissant toutefois dans leur plan primitif. D'après celte remarque, on a sur^le-ch^mp

tang (A' ~ A) = ^inn«in(A--^)coa

° ^ ^ coaD — sin n cos (A —g') cos A

sin n cos h , , ^ ^

cos D ^ ^^

sinlTcosA ^ ^

1 =7- cos (A fif)

cosZ> ^ °'

mais la difïerence A' — A étant toujours très petite, même pour la Lune, on pourra réduire cette expression en série, et n'en conserver que les termes les plus sensibles; on aura alors, en secondes de degré,

2>/ jo *'° ^ ^^* * *'" (^ — /2r) I 1 /sînncos Ay "° î*(-A— g) , /» . .

çoaD ami* ' *\ cosP / sin 1 * ^ <'

Par un raisonnement analogue au précédent, les équations (Ç) se changent dé suite en celles-^:! :