LIVRE QUATRIÈME

d'où

dz df , ^ ij^ as ds d$ f dr . ^rS.

•y COS D .

Mais la seconde équation difierentieUe (c) pouvant s'écrire ainsi

dr X dçc j^ y dy ^^ z dz

ds'^' r ds *^ T ds '^ r Ss^

on a, en vertu des relations (a), (c?),

^ = cos a cos A cos 2? + cos j8 sîn A cos J9 + sîn j^ sîn D\

enfin, substituant celte râleur dans celle de dD, il viendra, pour l'aberration en déclinaison ,

£/J9= ^cos^cosl? 8in2?(cosacosA+cosj3sînA) (2).

377. Les formules (1) et (2) renferment les angles «, |8, y qu'il feut éliminer. Pour cet effet, soit (fig. 8) TBC Téquateur, TTT'récliptique, 51e Soleil, Tla Terre, T le point équinoxial, 77{ une tangente à Torbite terrestre, ST une parallèle à cette tangente^ ^ l'obliquité TtB de récliptique, enfin X, JT, Z trois axes passant par le centre S du Soleil, et respectivement parallèles aux axes x^y^z menés par le centre de la Terre. Le triangle sphérique ^BV dans lequel Tr= a, BT = jS et Tiî a= 90% donne

cos j3 = sin a cos e».

Le triangle sphérique dont les sommets sont T , 7^' et le point où l'axe des Z rencontre la surface de la sphère céleste, donne

cos 7 =: sin a sin ù^.

Ainsi, en substituant ces valeurs dans les formules (1) et (2), on &

dJR.=: 77 (sin «cos a cos ift — cosasin^il) (i*),

^(cosacosAsinZ>+sinacosû>sinAsiaD— sinfltsînoKîosJ9)(2').

Il reste encore à éliminer l'angle a, qui est celui que la tangente

à Forbitc terrestre fait avec Taxe des x. Pour y parvenir, désignons par â l-angle que la tangente dont il s'agit fait avec la ligne des apsides, ou le grand axe de l'orbite terrestre. Dans ce cas, l'on aura

tang ô = ^> x" et y étant les coordonnées héliocentriques de la

Terre , rapportées aux axes de l'orbite ; et comme dans cette hyr pothèse

^" = r cos (v — <ar), y" = r sin {v — c»-), on a

tanc fl = ^ = ^^ ^'" (,v — '^) + rdv cos (t/ — w) ^ dx** dr cos (y — w) — rdu sin (y — w)*

De plus, à cause de

r = g('— O on a (/r = gg('— g')^<^»"(^— ^) -

1 + ^ cos (i/ — ») ' [i + e cos (1/ — «-)]' '

donc réductions faites,

fonc, fl — * + cos (i^ — ^)

Soit cT l'angle que la normale à la Terre fait avec son rayon vecteur ; on aura visiblement

a = 6-f-^, etcTss^ + go — a = v — <zr-{-go — 9;

delà

tanff J" — ^^"gC^ — ^)^^"g^ + ^ -s e.B{n(v—tr) ^ o^ — tang •— tang Cf — v) i + ecoaÇy — ar)'

par suite

cT = ^ sin (f' — c»-) — i e* sin a(v — ^) +. . . j

puis

a = 90 -f- 1; — e sin (i; — 'Zp-).

On remarquera que v est la longitude héliocentrique de la Terre , et ^ celle du périhélie. Soit O la longitude du Soleil, et n celle du périgée j dans ce cas

O = i8o'+f, n:=:i8o* + *ar;

par suite

a = O — 90* — e sin (O — n) j

et par conséquent