i.iS a3.49 3o

ii.B4.44>^

ff*

ii.54<45

Moyenne arithmétique »

ou midi approché .... 1 1 ^ 54^ ^%Z

Nous venons de (aire connaître le résultat assez exact de bos observations du ao mars; fX, nous nous assurâmes de même par un grand nombre de hauteiirs correspondantes prises les jours suivans^ et dans des circonstances plus &yorables^ que durant la présence du Soleil dans le méridien , là pèiddute marquait 1 1* 54' 7'' le ai mars, et ii*53'3o'',88 le lendemain; mais ces résultats ne donnent pas encore l'instant précis du midi vrai compté à la pendule, parce que le cours dii Soleil Q'est pas tel que non^ Tarons supposé d'abofd. Il importe donc de &ire connaître la collection qu'il s'agit d'employer en pareil cas; tel est l'objet. de l'article suivant.

Recherche de Inéquation des hauteurs correspondantes.

3g4. Lorsque le Soleil s'avance dans les signes septentrionaux , par exemple , sa déclinaison est plus grande le soir que le matin ( art. 11), par conséquent si on l'a <d>servé à ao^ de haateur avant midi, l'angle horaire correspondant était plus petit qtte cdui qui a •u lieu le sofar àia mômebauteur. D-oii il suit que si ce dernier angle surpassait le prenuer de ao'' en tems» leur demi-différenoe lo'' serait ce qu'il faudrait ôter du milieu pris entre les tems 4os hauteurs égales, pour avoir le midi vrai.

Cela posé, soit F l'angle horaire du malin , etf^ ou P+ cfP l'angle

horaire du soir , lorsque le Soleil est descendu à la même hauteur à laquelle il a été observé la première foiSi Soit en outre, en tems de la pendule, Tl'époque du matin, T celle du soir, à'partir de minuit; on aura, pour le niidi m approché, ou pour Fépoque du milieu des deux intenrallea^

Mais dP étant la différence des deux angles horaires P, P' exprimés en degrés, on a nécessairement, lorsque le Soleil s'approche contiimellemeut du pôle élevé ,

.,. T+T dP

midi vrai c= —^ — — — ?,

€n réduisant dP en tems (artr a38). On a d'ailleurs

Supposons maintenanttiu'on ait pris des hauteurs correspondantes le soir un certain jour, et le lendemain matin ; on propose d'en con* dure le minuit vrai.

Si Ton désigne par P Fangle horaire du soir, par P' Tangle horaire du matin , Tun et l'autre étant comptés à partir de midi ; et que T, 7^ soient les tems correspondans , comptés d'un midi à l'autre, les angles horaires comptés de minuit seront successivement la* — T, y — . la*; et dans l'hypothèse que le Soleil s'approche du pôle nord, on aura ja* — T> T — la*; en sorte que le minuit Jf approché,

OU --^ — sera plus petit que le minuit vrai , de la moitié de la difie*

rence dP des angles horaires ; donc

minmt vrai ss — -ï- — -|- — ?.

a a. ib

Où a en outre

P^r, P' = a4-.r, £±£=aa-(^l=^.

U reste, dans l'un et l'autre cas , à évaluer dP en fonction de la latitude du lieu et de la déclinaiscm de l'astre. Dans ce but, soit N la distance du centre du Soleil au zénit , qu'il est inutile de connaître , pourvu qu'elle soit la même ayant comme après midi; EL la hauteur

du pôle, D la déclinaison boréale de l'astre à la première époque ,

jy sa déclinaison à la seconde époque ; on aura généralement

C08 N = cos P cos JETcos /? + sîn JETsin /?, cos N = cos P" cos H cos ZX + sin JSTsin ZX j de là

tang H (sin /?' — sin D) = cos P cos Z? — cos P" cos /?'.

Mettant ici pour D ^X. D leurs valeurs respectives \ (/>' 4- />) — 1 (Z?' — Z?) et H^ -t- ^) -•- T (^ — ^). afiû d'introduire les valeurs moyennes dans la formule , on aura

tang H |8in {-^ f- -^—) — sm {-- -—)j

= cos F cos ( — r- r — ) — cosP' cosf — Y — I 3 — )'

puis développant et réduisant il viendra ,

alang Hcos 1 (Z>'+Z>)sin i (/y— Z?) = (cosP— cosP') cos { (jy-^-D)

X cos i (Z>'— Z?) + CcosP+cosP') sin i (Z?'+Z)) sin ^ (/>' — Z>) ;

eqsuite divisant tout par cos î (Zy + Z>) cos î (Z^ — Z>) , et remarquant que

cos P — cos P' = asin \ (P' + P) sin i (P' — P), cos P + cosP' = acos i(P' H-P) cos i (P' — P);

on obtiendra

tane i ^P' — P^ = tangK^y- P)

^ CcST^P) -tangi (Z>' + 2>) cos i (P'+P)]; mais à cause de

= tang K+ tang ^(i^^J?^^)

— tan? rr | >taDgg«n*i(P'~P)tangK/^-/^)

— rang XI -I cos 1 (/" — P) tang i (P* - P)

5= tang if H- tang ^ tang t (P' — P) tang j (P' — P) ;

on a enfin •

tangi(P'-P)=»i^^^^=^[tang^-tangKP'+JD)co8KP'+P)]

, tangi (jy ~Z?) tanggtangj iP'^P)tingiiP' — F)

Dans cette formule rigoureuse aux différences finies , donnée par M. Delambre, il est toujours permis de négliger les quantités du troisième ordre; ainsi l'on a simplement P' — P ou

^^ = ÏÏ^ItFtTÔ I^'^^S -ff - tang H^' H- ^) cos i (i" + P)] ;

mais la Gorrectîon du passage étant — -^ au méridien supérieur ,

et + -^^ au méridien inférieur, on a définitivement

iDidiYrai = -^ + gsiî nKP-+P)

X [tang i (/>'+/?) cosi(P+P)—tangi/],

minuit vrai = -^t. + _____

X [tanglT— tangi(Z>'+Z>)cosi(P'+P)].

Bans ces deux formules , ZX — Z) est le changement en déclinaison pendant l'intervalle des deux observations correspondantes; mais si Ton veut que U ^^Dzsz, dD exprime le changement diurne ^

il faudra écrire ^ -^ -• au lieu de dD : d'ailleurs comme on

prend ordinairement pour déclinaison moyenne \ (/?' + D) , celle U* qui avait lieu à l'instant du passage, on aura, en désignant le

demi-intervalle par i, et substituant pour — ^^ ses valeurs

précédentes converties en degrés,

(0 ,^diTrai=Z:±i: + g(.a>.gfl"cot.«-;fi||, (,) mil.aityral=ï±2: + ^'^^+tangZ>"cot.6i);

formules dans lesquelles / devra être exprimé en heures et déci-* maies d'heure, et dD en secondes de degrés.

La variation diurne (/Z> en déclinaison ayant çté considérée cotnme a. i3

positive daps tous les calculs précédens où le Soleil est supposé afler du sud au nord, il faudra la prendre négativement lorsque le Soleil s'éloignera du p6te boréal. On affectera de même du signe négatif tang JETet tang D pour rhémisphère austrsd, ainsi que cot i5<, si le demi-intervalle i est plus grand que 6 heures. Dans ses Nouvelles Tables d'aberration et de natation j M. de Zacb a dressé des tables à simple entrée, pour abréger le calcul de la cOTrection des bauteurs correspondantes : elles sont d'un usage facile j cependant celles de M. Delambre paraissent mériter la préférence, parce qu'elles donnent

immédiatement les logarithmes des facteurs gg^, — g|^~^*nn75*

£— j-g^. L'une a pour argument la longitude du Soleil, et procure les

deux premiers facteurs; l'autre a pour argument le demi-intervalle t des observations, et fournit les deux autres facteurs (voyez V^s^ tronomie, tome I, page 676). Néanmoins nous ne ferons ici aucun usage de ces Tables , parce que la correction du midi s'évalue avec la plus grande Êicilité par la formule même que nous venons de démontrer.