RÉDUCTIONS

au méridien j en secondes de degré.

i" terme y table XVIII.

a* terme ^ table XIX.

lO

la i3

»9 ao

/^=7ay36^84

= ao I

Barom. = aS'*.

Therm. = + 4* (Réaumur)

Latitude approchée H = 48^5i'4o' f longitude ouest M =1 4' (^° tems).

On trouve,' dans la Connaissance des Tems jla. variation diurne en déclinaison de a^54"; partant,

=b variation pour 1' = o",ia;

cette dernière variation s'affecte du signe + lorsque le Soleil va vers le nord, et du signe — dans le cas contraire, comme dans le cas actuel.

Faisant la somme des angles horaires ^ on a -

j5ti THAITÉ D£ GÉODÉSIE.

Ayant midL Apràs midi.'

de là

angle horaire moyen — — = 5' ,69 Bdultipl^t par lie mouvement en D , pour 1' •» o'',! 9

an a correction en déclinaison s= •— o'\4A.

On sait, par Fart. 5oa , que Favance de la pendule en a4* solaires vraies était de ag^'; ainsi , prenant dans ce cas/ négativement, on a

/!==:— ag^j d'ailleurs, en général, /' s= aa. ^ ; mais /> étant né^-

gatif, on a

/ = — o,ooo355, et 1 -f- a/' =» o,ggg665«.

On trouve en outre

Ëicteur barométrique = o,ggg.

iàcteur thermométrique £= 1,060

produit ••• i,o58g réaction moyenne i7g",o4

produit ou réfraction vraie ^9^^-

n reste encore un élément essentiel à déterminer; c'est la déclinai^ aonJ9 du Soleil à midi vrai, le i5 dibembre i8i3.La Connaissance desTems donne/? =a3* 17' 16" pour le méridien de l'Observatoire royal; mais cette valeur n'est pas assez exactement calculée pour k faire servir à la recherche de la vraie latitude du Dépôt de la Guerre :en efièt, par les Tables solaires de M. Delambre, noua avons eu (art. a44)

d^linaison apparente J9 = a3'' 17^1 2^^,87.

D'ailleurs^ JET s=s 48.5i*4o;

et puisque la déclinaison est australe , on a^ en la prenant n^tivement,

^ — JO = 7a*8'53".

Maintenant on calculera la réduction totale au méridien ainsi qu'il suit :

l.«06 D as 9,g63o9 l.cos H sa 9,«i8i5 l.<i H- »/) = 9,999«5 ulog F =: 9,6o5o4

«.an (^ -. i>) =a= o^3i45 I.cot (H — D) s= o,45ao5

■W^Wiita

log.i^= 9y8oa5a log/* = 0,06707

log/zjc 5= 3,5 11 3a — log nj = 0,4698a -i-

c.log n = 8,69897 c.log n = 8,6989 7

log i^ terme ^^ a^oiiiSi •*« Log a« t^:iiie ss 9,39686 -4^«

Ainsi,

1" terme = — 1' 4^00 a« terme = + 0,17

Réductioa au méridien = ^ i'4a''85.

En définitif, on a

^stance zénitale apparente i" = 7a* 7' 56^84

rédaction au méridien s=s — 1 .43,83

correction en déclinaison = <— o,44

distance méridienne apparente := 73. 6.53,67

réfraction vraie = + 3. 9,60 parallaxe de hantear ss -— 8, a3

distance méridienne vraie géocentrique sss 7ii. 8 w 64,94 déclin, apparr. du O lors du passage 27 = — 23.17. 10,87

latitude cherchée = 48'5i' 43,07.

Il faudrait plusieurs centaines d'observations de ce genre pour être bien sûr d'une latitude ; mais comme II peut exister une petite incertitude sur l'obliquité de l'écliptique , il est préférable de se rendre indépendant de cet élément, en observant les deux passages de la Polaire ou de jS de la petite Ourse (art 3i4). Quand les écarts autour de la moyenne de toutes les observations sont très petits , comme d'une seconde, il est probable alors que la latitude a été dé* terminée à ce degré de précision.

application de la méthode précédente à la détermination de

robtiquité de Féciiptique.

319. Les distances méridiennes du Soleil, prises aux environs des

nia TRAITÉ DE GEODESIE.

solstices et pendant plusieurs jours de suite, font connaître Tobliquitede Fécliptique avec une très grande précision ; car ces distances différant très peu de la déclinaison solsticiale qui mesure cette obliquité y il est possib^ d'évaluer rigoureusement la correction qui leur est relative : c'est en cela que consiste la réduction au solstice.

Pour donner une idée de cette méthode , à laquelle nous ne nous arrêtons que par occasion , supposons qu'on ait fait une série d'observations méridiennes du Soleil, huit jours avant et huit jours après le solstice, dans im lieu dont la latitude est bien connue, et qu'on veuille en déduire la déclinaison solsticiale.

Soit D la déclinaison du Soleil donnée par Pune des séries d'observations dont il s'agit, et par le procédé expliqué à l'art. 3i8; o) l'obliquité apparente du Soleil déterminée par les tables (art. 5i44). Dana cette hypothèse, l'excès de e» sur Z> est très petit, et 90** — , ou O — go', selon que l'observation précède ou suit le solstice d'été, sera aussi une quantité très petite. Mais en général

sin Z> = sin û# sin O ;

par conséquent, pour le cas particulier que Ton considère, Ton a, e» Élisant e» — /> = jc, et 90 — © = i^,

sin (û# — « ;c) = sin âi cosu.

Reste à obtenir x en série qui procède suivant les puissances de u^ Or, on a d'abord

sin (û# — 5:) — sin « = — asin cû siu* i u; si donc Ton fait — asin û».sin* x u = 9, on aura, par l'art. 102. ^

dx 1

dq "^ cos (# — x)*

£p.r ^^^ tang(# — x) -

dq^ "^ coa* (•— x)'

cPx ^^^ 1 + aaîn (• — x) cos (• — x) tang (• — x) ^

puis faisant x = o, dans ces coefficiens différentiels, il viendra

/dx\ ^^^ 1 /cPx\ ^^^ tang «

\dq/ "" 008 «' V^T^/ "~ /cPx\ i 4-fl8in # cos mtSLugâf ^

cos* •'

COà"*

UtVRE CINQUIEME, i4i

de la^ en parties du rayon,

X = atang û# sîn* ^ w — atang' ûû sïn^ 7 U '

+ l(S^ + 3t»«8'^)8i»'Ti^ — ...

= atang cù sin* 71^*-* atang' cû sin^ 7 u + I (tang* û# 4- Stang^ ai) sin' i m — . • .

Si Ton mettait pour sin ^ a sa valeur en série, et qu^on réduisît, on tomberait sur la valeur de x donnée par M. Delambrej mais il est un moyen très direct et très élémentaire d'y parvenir , c'est de

procéder Conmie à l'art. gg.D'abord à causedecosii=: 1 -^ — -f- . . . , on a

ainsi l'on peut supposer en général

Or, pour déterminer les coefiiciens ^yBy C,. • • il ne s^agit que de prendre le sinus de chaque membre de cette série hypothétique, puis d*fgaler terme à terme le développement du second membre avec celui de la première série. Effî^ctuant cette opération, il vient

sin (û# — X) = sin û> cos {^u* + Bu^ + Cu^. • .)

+ cos â» sin (^u^ + Bu* -f- Cu^. . .)}

et comme cos m=i — —+•••> sin7w = 77i— ^ +..., ona •in(« — x)=sin«i+-^cos« 1 u*-*— sinoi u* — ABsinoà

— -g- cos et

Maintenant, Ëdsant la comparaison indiquée, on trouve

-^==— ïtang«, 5 = ï^ tang «4-5 tang» «, C= — 7I0 tang et — ^tang» « — i^ tang» «j

et enfin, en parties du rayon, «-.x = «-.itang«.u' + (^ + ^-)«*

• / tango teng»* , \m^m\ ,

li^ TRAITÉ BE GÉ(H)ÉSIE.

Si Ton voulait que u , qui est là distance au solstice sur l'^cliptique^ fût exprimée en unités de dixaines de minutes, ce qui serait plus commode pour construire une table y il faudrait dire

6ô • - boo

Ainsi, u" = 600 u serait alors la quantité a mettre dans la série précédente à la place de u exprimée eu secondes. Il est entendu alors que pour rétablir l'homogénéité et avoir x en secondes de degré, U faut en général, au lieu dé ï^", écrire u" (sin i")"~".

Le9 observations de chaque jour £oat connaître la valeur de x avec une très grande précision , c'est-à-dire ce qu'il faut ajouter à la déoUr naison apparente observée pour avoir la déclinaison solsliciale; on corrige ensuite ce résultat de l'effet de la latitude du Soleil (art. 244), et l'on obtient l'obliquité apparente de l'écUplique ; enfin , on dégage cette obliquité de la mutation luni-solaire, et l'on a l'obliquité moyenne pour l'époque de l'observation. La moyenne de tous les résultats partiels exprime l'obliquité moyenne correspondante à l'époque moyenne de la durée des observations. ^'

On ne sait pas précisément à quoi tient la petite différence que Ton trouve entre les résultats des observations solsticiales d'hiver et celles d'é.tp; mais Pgn est porté à accorder plus de confiance à ces dernières, p^irçe que le Soleil 31s trouve alora à une hauteur où l'on a bien moins à craindre l'influence de l'erreur des tables deréfi-action.

Détermination de la latitude géographique, par les digressions

de la Polaire.

3ao. lia méthode la plus sûre pour déterminer la latitude d'un lieu, est sans contredit celle qui est fondée sur l'observation des deux pa3sages d'une même ^ilc circompolaire au méridien de ce lieu ; cependant pet élément géographique se détermine encore avec beaucoup d'exactitude par l'observation de l'étoile polaire, à l'époque de sa plus grande digression orientale ou occidentale, c'e t-à-dire au moment ^q aon plus grand éloignemcnt du méridien, sur-tout lorsque la déclinaison de cette étoile est bien connue.

A l'instant de la plus grande digression , l'arc vertical Z^ (flg. 1 9) mené par l'étoile est perpendiculaire à la distance polaire ^P=: A. Supposons qu'on ait recueilli, comme pour le passage au méridien,

tme série d'observations de distances zénitales, qaelqn'éèf mstans' avant et après la digression'; et qtie ZÉ i<Al uitedVcës distances. Désignons les angles horaires ZPA^ ZPB respectivement par P,' P'\ leur différence P — Z^' =5 fl sera fort petite, et la distance zénitale ^5 ssrA"' différera' trts peu dtZ^=N] en sorte que Ton aura en général

et, conikne à T-art 5o8,

^-^ "•SF^^dpîfl ^a^a.S^^'- Si de plus C désigne la colatitude ZP du lieu ddnt Z cMT ler-aiéhiCV ^ A la distance polaire de l'étoile, on auracôs .2V^= oos Acos C-^sîn AsInCcosPj delà

dN ^^ sin A sÎD C sjn P dp ImlV •

Mais puisque le triangle sphériqbe Zl^P est rectangle en u^, il en résulte ces i^atien»

(m3 dotPssrcort-^sinA, sin J^=sin Csîni*' Par conséquent

Pasisânt^atix cbcffiBciens dififerèntiels des ordres suivans, on trouve tfabord

dN , -^-- sinAflinCcosPsîniV— ab Aaia CamPcôsiV.-?^.

= T-rfçr — 8in* A cot N

= sin* A cot iV" — sin* A cot iV = o j ensuite on obtient, à cause des relations (m),

^ = — sin A — sin» A cot P cot N+ j^.

=r ~-sîtf A — sfti^ A cot* ir + '^' ^

= — sin A 4-

sin A + sin' A ;

i44 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Donc enfin

AiV = 9 sin A — ^ 9^ sin A H- f fl'sin^ A;

et en secondes,

AiV" = 8" sin A — i S"» sin A cos* A sin» i".

Dans cette formule, les angles exprimés en secondes de degré, se déduisent des observations mêmes. En effet, après avoir déterminé d'abord l'angle horaire P par la formule cos P = ^|^ j ^^^^

laquelle A est la distance polaire apparente (art. a8i) , et Cla colatitude que l'on suppose déjà coxmue assez bien; ensuite l'ascension droite apparente JR. de l'étoile, qui exprime l'heure sidérale du passage de rétoile au méridien; on aura, en désignant d'ailleurs par M l'ascension droite du milieu du ciel, ou le tems sidéral de l'obsenration, lorsque l'étoile était en i?, et pour le cas de la figure, c'est-à-dire après la digression orientale ^

fl = P — . A -4- itf •

Chaque observation donnera une valeur de 9 et une valeur de AjY : on fera donc une somme des AiV, comme à l'art, ai 5, et l'on aura, dans l'hypothèse de la figure ,

-y = iV^' + r + AiVj

N' représentant la distance zénitale moyenne entre toutes celles observées à l'époque de la digression , et r étant la réfraction à la hauteur du pôle. Il est important, pour compenser les erreurs, de faire à peu près le même nombre d'observations avant et après la digression. Il est inutile de faire remarquer qu'avant la digression l'angle G est négatif.

La valeur de iV^ étant obtenue, on résoudra l'équation

cos C = cos N cos A,

pour connaître la colatitude C Mais on se procurera un résultat numérique plus exact, en déteiminant la différence y entre l'hypoténuse C et le côté JNTpar cette série, donnée par M. Delambre et facile à démontrer par le procédé de l'art. 3io, savoir ;

y =3 asin' î A cot ^— asin* i A col^ N+. . .

Ccst par cette méthode d'observation que MM. Arago et Mathieu ont vérifié la latitude de l'Observatoire, avec le grand cercle astronomique répétiteur de M. La place : ils l'ont trouvée de 48'5o'i5'% comme MM. Delambre et Méchain l'avaient obtenue avec un cercle répétiteur de o",43 de diamètre , construit par Lenoir.

Digression sur la recherche de la constante de la réfraction.

53 1. Les observations de latitude par les étoiles circompolaires , sont très propres, par leur combinaison, à faire connaître la constante ^e la réfraction. En effet, si r et / sont les réfractions aux distances zénitales apparentes z et t! de la Polaire, réduites au méridieo^ on aura en général, d'après l'art. 248,

et si z est la distance méridienne lors du passage supérieur, que A et A' seient les distances polaires apparentes aux époques des deux passages; on aura, en désignant toujours par //la hauteur du pôle ^

au passage supérieur z+r+A=9o — H^ au passage inférieur z' + / — A' = 90 — H\

et de là,

3(90— //)=« + z' H- A~A'+(jifH-itfo *+(^'+^'')*••

Dans cette relation , les seules inconnues sont jfif et a ; car d'une part A — - A'est la difierence des distances polaires, qui est toujours connue avec asses d'exactitude , et qui est nulle lorsque l'intervalle des deux passages n'est que de ia*j d'autre part, les coefficiens MM\ NN' désignent des nombres connus, puisqu'ils dépendent de la distance zénitale, de la hauteur barométrique et de la température , trois quantités observées.

Deux autres étoiles circompolaires, telles que jS et Ç" de la petite Ourse, donneraient deux autres relations pareilles à la précédente; ainsi on aurait en tout, trois équations entre deux inconnues. Mais comme alors leur combinaison peut se faire de plusieurs manières, on choisit les équations qui sont susceptibles de procurer des valeurs de 0c et de jH^, dépendantes le moins possible des erreurs commises a. 19

i4« TRAftÉ ùÉ ùÈontsrÈ.

dafls te éalcùl de* coefÔcietis 3f3i\ ifN\ Tel est, éll peu de inôts, te piftteédé par lecjùcl M. Bîot est arrîrd à la valeur de là constante et, emplôjree à l*ârf . ^14^. Cette valeur étant trouvée, on aura ensuite r dfjk Faide des felatiOhs (i).

Il est un autre ttio^en dé détcf rtaîner â jpw'of/ la réfraction, pour une hauteur quelconque) le voici :

Vers l'époque du solstice d'été, on observe la distance méridienne du Soleil. Cette distance, comptée depuis le zéuit jusqu'au centre de cet astre, sera très peu influencée par la réfraction, à causede sa grande hauteur au-dessus de Tborizon ; ainsi, en la diminuant de la parallaxe de hauteur (art. a56), on aura sa distance vraie géocen trique. Si donc l'on connaît la latitude du lieu par les paadages supérieur et inférieur delà Polaire; la colatitude augmentée de la distance méridienne du Soleil sera sa distance polaire , qu'on pourra regarder comme constante pendant l'intervalle du soir au matin.

Supposons maintenant qu'on ait observé la distabce xénitale du Soleil, lorsque cet astre est près de l'horizon; cette observation fera connaître l'angle horaire (art. 5oi); et alors^ dans le triangle aphé-^ rique dont les sommets sont au pôle , au zénit et au Soleil, on connsdtra deux côtés et l'angle compris ; la distance zénitale vraie sera donc le troisième côté de ce triangle : enfin la di^fence de cette distance à celle observée et diminuée de la parallaxe de hauteur^ sera la réfraction cherchée.

UTRE cfSQmèm. 147