CHAPITRE V
Discussion des erreurs commises sur la mesure des distwices au zénit, eu égard à la petite inclinaison du cercle et au défaut de parallélisme de Vçwe optique.
3aa. v^uELQUE précaution que fon prenne pour bien disposer verticalement le limbe du cercle, on ne peut éviter jpjoe petite déviation qui cause quelquefois deux à trois minutes sexagésimales d'erreur, dans la verticalité de cet instrument , lorsqu'po observe les distances des astres au zénit.
Soit OH (fig. ao) l'intersection de lliorizon avec le plan votJîcsI UZO ; 3oit en outre liEO la position dvi plan du Umbç de l'instrument. Les points Z^ Z' étant également éloignés des extrémités de ITiorizontale OH^ l'arc ZZ' mesurera l'angle O, ourinclinaison du pl^n du limbe sur le plan vertical \ alors si J5 est le Ji^u apparçRt d'une étoile, sa véritable distance au zépit Z sejra représentée p$(r l'arc ZEy et non par la distaj^ice EZ^ observée sur l'inab^Aim^. Connaissant donc l'arc ZZ' = i, et Z'£ = Z , on aura rhjrpptjç» nuse du (riai^le sphérique rççbmgle ZZ'E par l'équation
mais ZE jae surpassant Z'E que d'une quantité fort petite ;f.j sçit iZE = ^ + X, et Ton aura
(A) cos (Z + x) = oos ^ cos / = €os z — acos Z sin» \ I.
Celte équation étant de la forme de celle (1), traitée à l'art. 5io, on a de suite
Autrement .déTiClçftpant le premier imeffj^Mre ^e l'é^iwitipîiXAi, m a d'abord
C06 Z oes X — sin 2^ sin.x = cos Zcos I\
î48 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
ensuite
sîn Z sin 5C s= cos Z (cos x — cos /) = acos Z (sin* y / — sin'ix)- Puis divisant les deux membres par sin Zy il vient
sin X =3 acot Z sin* \ /— îcot Z sin* \ x.
lifais X étant fort petit, on a sensiblement
sin X == acot Z sin* \ /, et sin* \x^=\ sin* xj
partant^
sin X = acot Z sin* i / — acot* Z sin* ^ h
Le premier terme du second membre est toujours suffisant, même en supposant I d'un degré ; et il est remarquable que plus la quantité Z augmente, plus Terreur x diminue, Tinclinaison Jde l'instrument restant toutefois la même. On peut s'assurer, par exemple, que la correction correspondante à S' d'inclinaison du cercle serait de 0^,39 pour Tétoile polaire observée à Sy* du zénit, et de V à 4* environ pour Ç de la grande Ourse et de la Chèvre. Il vaut donc mieux, dans les observations de latitude, et pour la zone que nous habitons, faire usage des étoiles cîrcompolaîres ; d'ailleurs, outre que ces observations seront beaucoup plus faciles , l'erreur de la réfraction sera moindre que celle qui résulterait de Finclinaison du 'cercle.
Si l'on désigne par Z^ Z' les distances observées et corrigées de la réfraction, et par z, 7! les distances vraies d'une étoile circompolaire au zénit, lors des passages supérieur et inférieur; x etx' étant les corrections dues à l'inclinaison du cercle , il est évident que l'on aura
z' = Z' 4- «î'î donc la distance du pôle au zénit, ou
mais dans le passage inférieur, x' est insensible j donc
latitude ;=90« — 5l±^ = 9o« -i (Z'-f-Z) — fî
donc enfin la latitude n'est afieclée que de la moitié de Terreur produite par l'inclinaison; ce qui permet de regarder cette erreur comme nulle , sur-tout si Ton observe l'étoile polaire.
3a 1. Cherchons maintenant Terreur comniise par le défaut de parallélisme de Taxe optique. Pour cet effet , soit Z Tangle de la verticale avec cet axe ou le rayon visuel mené à un objet quelconque. Cet angle sera la distance zénitale telle qu'elle devrait être lue sur le limbe; mais on lit au contraire Z^'i qui peut être considéré comme la projection orthogonale du premier, sur le plan du limbe. Si donc 6 est l'inclinaison du rayon visuel sur ce plan, on aura^ cpoune ci- dessus, par la propriété du triangle sphérique rectangle^
cos Z = cos G cos Zx.
Soit ^ = ^, 4- X,; alors
cos (Z, -f- X,) = cos 9 cos Z, î d'où Ton tire
sin ap. = 2C0t Z, sin* ^ G — acot^ Z sin* \ 6.
Cette correction x, est ordinairement plus petite que la précédente x, due à l'inclinaison du limbe, parce quç Ton peut rendre 6 inférieur à J, en réglant avec soin Taxe optique, comme on Ta enseigné à Tart. ii5.
i5o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
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