I.5in(Cy4-jK) = — 9)9219717 c.log 2? = 5,83931 5a

Partant et à cause de ^

O' = i55*44'ao"4t ^ = 96.10.11,89

Tazimut approché du signal de Monte-Capane • . • = a49 . 54 . 3a, a3 D'un autre côté, la réduction au centre étallt . . . = — 29» 76

Pazimut exact de MonteCapane, compté du nord

à l'est , = 349.54. fl,47

et compté du sud à l'ouest /• Z ss 69* 54' a"47 .

Si l'on comptait le même azimut du nord à Touest, sa valeur serait iio*5'57'',55*

3ag. Toutes les circonstances du calcul seraient les méfies, sf , au lieu du Soleil, on observait une étoile j et l'on conçoit que si la pendule était exactement réglée sur les fixes, la différence entre fe tems de Pobservation azimutale et celui du passage de l'étoile au méridien, comptés sur la pendule, serait l'angle horaire P. Mais pour observer ce passage , il faut être pourvu d'une lunette méri-» dienne; sinon, l'on trouvera l'heure à laquelle l'astre est le plus élevé sur l'horizon, par ta méthode des hauteurs correspondantes (art. a99): on connaîtra donc encore, par ce moyen, l'angle horaire A Ensuite, après avoir rassemblé les autres élémens du calcul j

i58 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

dont la déclinaison de l'étoile afiPectée de la précessioo^ de la nutation et de Paberration ùit partie , on procédera absolument comme ci-dessus.

Mais lorsque la pendule marque chaque jour TasceUBion droite des étoiles au moment de la culmination (art. 5o5) y on a sur-lechamp Tangle horaire de l'étoile que l'on compare à l'objet terrestre, en prenant la différence entre l'heure même de l'observation, donnée par la pendule, et l'ascension droite de l'étoile, convertie en tems à raison de 1 5** par heure.

Enfin, si la pendule n'est point réglée, on opérera ainsi qu'il a été dit à l'art. 3o5, et l'on calculera le tems sidéral pour le moment de l'observation. La comparaison de ce tems avec l'ascension droite de l'étoile, donnera de même Pangle horaire, que l'on réduira ensuite en degrés, à raison d'une heure pour i5*. On pourrait employer aussi, à cet effet, le tems uai de l'observation, et celui du passage de rétoile au méridien.

LoTsqu'en faisant usage du cercle répétiteur ordinaire , on prolonge la durée d'une (Nervation azimutale, il est essentiel de lire les di& férens multiples de l'arc de distance, de manière à pouvoir grouper les observations partiellts de 4 en 4 ou de 6 en 6 au plus. Alors on calcule séparément chaque groupe par le procédé précédent, et la moyenne des résultats partiels, donne l'azimut cherché. La raison à donner à cet égard est là ûïètût que celle sur laquelle est fondée la remarque de l'art. 507.

Enfin, si^ pour ne pas se tromper, l'on obserrait toujours lè même bord du Soleil, on augmenterait ou l'on diminuerait l'arc de distance du demi-diamèlre de cet astre; car l'angle entre le centre du Soleil et l'objet terrestre est celui que l'on considère dans le calcul d-deaèuS*

Des azimuts donnés par la Polaire.

53o. Quelle que sôît l'habileté des observateurs , il existe presque toujours entre les azimuts du Soleil, pris au cercle répétiteur et aux deux époques les plus favorables de la journée , des discordancen qui produisent sur les résultats définitifs des incertitudes de plusieurs' secondes. Aussi les géomètres ont-ils conseillé d'observer en pareil cas la Polaire; parce que d'une part, elle est, relativement k notro zone , à une hauteur qui ne fait pas craindre des réfractions extraor*

LITRE CINQUIÈME- iSg

dinaire^; que d'autre part, son mouvement en azimut est peu senëible quand elle approche le plus possible du cercle de 6 heures , ce qui exige alors que le signal auquel on la rapporte soit éloigné de go* degrés jdu méridien, ou à peu de chose prés; enfin, parce que le tems n'a plus sur la détermination de l'azimut la même influence que dans les observations du Soleil. La méthode que M. Legendre a exposée à ce sujet , dans les Mémoires de l'Académie des Sciences (année 1787), revient à peu près à ce qui suit.

Après avoir placé un réverbère au signal dont on veut connaître l'azimut , on mesurera , avec le cercle répétiteur, l'arc de distance entre l'objet terrestre et l'étoile, quelques instans avant et après l'époque de la plus petite ou de la plus grande longueur de cet arc, comme quand on prend des distances méridiennes. On notera l'heure , la minute, la seconde et fraction de seconde de chaque ob* servation , et l'époque mo jaDne en tems de la pendule répondra à l'arc moyen déterminé sur le limbe , si la série est de courte durée , comme d'une demi-heure au plus. Ensuite on prendra la distance zénitale apparente du réverbère; enfin on recueillera, comme à l'ordinaire, tous les élémens relatife à la réduction au centre de la station, s'il j a lieu.

Cette manière d'observer les azimuts a une grande analogie avec les observations de latitude ; aussi le calcul des réductions de di* stances est- il à peu près le même dans l'un et dans l'autre cas ; c'est ce que l'on va prouver.

55 1. Supposons premièrement que la réfiraction soit nulle, que Z (fig. a5) soit le zénit de la station, R le réverbère, P le pôle, £JE" le parallèle de l'étoile ; représentons par A la distance polaire EP de cette étoile, par R la distance du réverbère au pôle, par RE la plus courte distance entre toutes celles RE', RE!\ etc. ; enfin, faisons RE'=:RE+u=R — A + z/. Le triangle RZP, dans lequel on connaîtra les deux côtés ZP = 90* — latitude , RZ = distance du réverbère au zénit , et à fort peu près le côté RP = arc de distance = RE + A , donnera approximativement l'angle horaire RPZ , ou l'heure à laquelle l'étoile E passera au méridien du signal R. On aura donc les angles horaires E'PE, comptés depuis l'époque de ce passage, en soustrayant de l'heure de l'observaliqu , lorsque l'étoile était en jE", celle de ce même passage.

^6o TRAITE DE GÉODÉSIE-

Cela posé , soit p cet angle horaire ; le triangle RE'P donnera

cos HE" = cos PJS" cos PjR 4- sin P£" sîn /^iî cosp ,

ou cos (JR — A + u) == cos A C08 jR -f-sin A sin jR cosp.

Développant le premier membre dans Phypothèse que u est fort petit, et ne conservant que les premières puissances, on aura, comme à l'art. 3io.

sini 8m(n — A) * \ ain i sin (il — A)/ ^ ^

Telle est la quantité qu'il faut ôter de chacune des distances observées RE\ pour les réduire à ce qu'elles deviennent au moment de la plus courte distance de l'étoile au réverbère; ou, ce qui revient au même , de la distance moyenne mesurée sur le limbe , on ôte la somme des u , et le reste est la plus cpurte distance cherchée RE. Cette plus courte distance étant trouvée, on l'augmentera de A; puis, pour déterminer l'azimut RZP du réverbère , Ton résoudra le triangle RPZj dans lequel les trois côtés sont connus. Si la plus courte distance iîE, trouvée par ce calcul, différait trop de celle qui a servi dans le calcul approximatif de l'angle horaire RPZ, on recommencerait toutes les opérations précédentes avec cette nouvelle distance, et cette seconde fois, la nouvelle valeur de l'angle bo^ raire serait exacte.

Remarquons pourtant que l'azimut approché RZP et l'angle horaire RPZ se trouveraient encore, eii observant la distance Re au moment où l'étoile passe au méridien PZ , et en résolvant d'abord le triangle iî^Z , dont on connaîtrait les trois côtés jRZ, eZ = PZ — P^=: C— A ttRei ensuite le triangle RPZ qui serait donné par les deux côtés RZ , PZ et l'angle compris.

53a. Dans tout ce qu'on vient de dire, on n'a point eu égard à la réfraction; cependant, il est évident qu'elle affecte la position du pôle et celle de l'étoile, et qu'en élevant tout le parallèle de cet astre, elle en altère la figure. Pour tenir compte de ce déplacement dans le calcul précédent, il ne s'agit que de rapporter toutes les di^stances aux lieux apparens du pôle, de l'étoile et du réverbère, parce que l'arc de distance entre ces deux derniers objets est lui-même un arc apparent : or, il est remarquable que les points des plu$

grandes digressions de l'étoile et le pôle sont élevés par (a réfraction , de la même quantité ; et que comme on observe cette étoile à très peu de distance de ces mêmes points, Ton peut supposer la* réfraction constante pour tout l'arc apparent décrit pendant la courte durée des observations, et considérer même cet arc comme fiù* sant partie d'un cercle ayant pour centre le pôle apparent.

D'après cela , soit P ( fig. a4 ) le pôle vrai , P' le pôle apparent ; E le lieu vrai dans le méridien du réverbère ou de iî, E son lieu apparent, r la réfraction dans la région du pôle. Soient en outre

ZP=^C, ZP' =a=C—ry PE^à.^ ZE^Z, ZE'^iZ'-rt

enfin l'azimut PZE de l'étoile = ^. Le triangle sphérique ZEP donne

cos A = cos Ccos Z + sin Csin Z cos A.

Différenciant, en Ëdsant tout varier excepté ^, on a

— sin ùkdùk ss — sin Ccos Z dC—'Sm Z cos CdZ

-f- cos C sin Z cos AdC •4- sin Ccos Z cos AdZ ; ,

mais dC:=:r et dZ =s r par hypothèse ; donc sin ArfA = r sin (C+ Z) — r cos ^ sin (C-f- Z)

SUA sinA .

n est évident, à la seule inspection de la figure, que quand C diminue , A devient A' = P'Efj et qu'on a A' < A ; ainsi, r et dX sont de même signe, et l'on a A' = A — dA. Partant,

A= A — :Hr-- sm* î A;

formule donnée par M. Biot {Astron. phys., tome I, page 5a^), et dans laquelle il &udra prendre r positivement , pour avoir la valeur du rayon A' de Tare apparent décrit par l'étoile , pendant la durée des observations.

Soit maintenante Tare moyen de distance entre les lieux appa-:

x6a TRilTÉ DE GÉODÉSIE,

rens X et l'objet terrestre et £" de In polaire.; là plus courte distance apparente de R! au pôle apparent P" sera G' -f- ^^ = R'- Soit en outre y l'angle horaire de Tétoile» compté du méridien apparent du aignal; on aura, par ce qui précède , et en rapportant tous les calculs aux positions apparentes , ainsi qu'on l'a déjà dit,

siu A • '

«m(/l — A )8iiil

La première formule exige que l'on connaisse non-seulement la distance zéùitale vraie Z£ = Z, ou, pour mieux dire, la moyenne entre toutes celles qui ont lieu durant l'observation de la série, mais encore l'angle A qui représente l'azimut PZE du vertical dans lequel se trouve l'étoile. Pour cet effet, l'on résoudra le triangle ZPJEdans lequel on connaît les deux côtés Z-P, -PjE, ainsi que l'angle compris ZPEy c'est-à-dire l'angle horaire moyen. Mais dans notre climat, l'angle A étant fort petit, et variant très peu pendant la durée de la série, si, comme nous l'avons déjà dit, l'azimut du réverbère diffère peu de 90*5 la différence de A' à A sera très petite. La méthode d'observation actuelle aura donc toute la précision requise.

Il résulte de ce qui précède, que la véritable distance apparente K est égale à l'arc moyen G', diminué de la somme des u et augmenté de A'. Telle est la distance qu'il faut définitivement employer dans la résolution du triangle sphérique KP'Z^ pour avoir l'azimut jR'Z-P'.

Si la pendule n'est pas exactement réglée sur le tems sidéral, comme nous l'avons supposé tacitement ci-dessus, on aura, ainsi qpll a été démontré à l'art. Siy ,

" "T sinCft' — û') ' •ini*

f étant le retard diurne de la pendule, exprimé en secondes. Il n'est pas besoin de &ire remarquer que la valeur de u s'obtiendra au moyen des tables de réduction au méridien (art. 3i 5) , et que l'angle horaire moyen employé dans le calcul de l'azimut A^ doit, pour plus de précision, être corrigé de la variation de la pendule.