ao.3o

i5o.56.ao

5fl.56,o

lO

54*ii|0

filO.ll.

aag. 7.3o

la

fi47.4a.ao

fi65. 59.30

fi83.56.a5

Époq. moy . 6* 5o' 46*07

ao»i6'53''a

Passage de

Sirius au

méridien 6. 5o . 3i ,a5

Différence + i^'Sa.

i6fl TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Il réaulte de là , que Tare moyen ao* 16' 53'',a ou Fazimut approdU^ correspond à Tépoque moyenne 6*5o'46",07; que depuis la première observation jusqu'à cette époque moyenne, il s'est écoulé 8'36",07f et que pendant cet intervalle, Tazimut de l'étoile a changé de aa^Sg'SS" — ao* i6'63",a = a'a5'i",8. Ain«i, la yariation eu azimut, pendant les i4'',8a , se trouvera en disant

Or , le signal était à Poccident de Sirius ; on a donc

• Azimut observé à Tépoque moyenne =: ao* 16' 55''ao

Correction. ...... x = 4- 4. 6,44

Azimut du signal compté du sud à Touest. . . • s=: ao''ao^59''64.

Mais l'exactitude de cette méthode tient à deux dioses ; première-* ment, c'est que l'heure du passage est supposée exactement connue ^ en second lieu , c'est que le mouvement azimutal aux environ du méridien, est sensiblement uniforme. Cependant si, dans l'exemple précédent, il existait une incertitude d'une seconde sur le tems du passage, il est visible que l'azimut ne serait connu qu'à 16" près. Une pareille incertitude n'est pas probable , » l'on détermine l'heure du passage avec beaucoup de soin, par la méthode de l'art. 3o3, ou si l'ascension droite est bien connue (art. a8i); mais en n'admettant qu'un quart de seconde d'erreur, on ne sera encore sur de l'azimut qu'à 4" près. Cherchons donc quelles sont les circonstances les plus favorables à ce genre d'observation.

335. Supposons un triangle sphcrique ZPE (fig. 17), dans lequel Z est le zénit, P le pôle élevé, E l'étoile j et faisons ZE = Ny ZP=s C, EP = A. Ce triangle donnera •

sin iV sin u^ = sin -P sin A;

diiférenciant, en regardant A comme constant, on aura

dN ces iV sin ^ + du4 cos ^siu N=^ dP cos P sin A.

Mai^, comme nous supposons ici les observations fiâtes très près du méridien , la distance zénitate N est presque constante , et cos P ainsi que co%A différent très peu de l'unité; on a donc simplement

•mA'

ou à fort peu près

dA=^ dP "" ^

5in(A— C)'

Ce résultât nous apprend en efiet que quand un astre est à une très petite distance du méridien, la variation en azimut est proporr tionneUe au tems dP : nous voyons en outre qu'une erreur sur le tems du passage a une grande influence sur Pazimut, si le zénit est entre l'astre et le pôle; mais que cette influence est bien moindre au passage inférieur , parce qu'aJors

Nous ne croyons pas devoir , d'après cela , conseiller l'emploi exclusif de la méthode actuelle , si l'on veut apporter la plus grande précision possible dans l'orientation d'un réseau trigonométrique du premier ordre.

De Vinstrument des passages, et de son usage pour observer

les azimuts.

336. Le cercle répétiteur et le théodolite ne sont pas les seuls instrumens dont on se sert pour déterminer les azimuts. La lunette des passages, d'un mètre de longueur, remplit le même objet avec la plus grande Ëicilité et la plus grande exactitude , quand elle réunit toutes les conditions requises.

Cette lunette astronomique , dont nous avons déjà parlé à l'art. 1 69, porte un micromètre fixe, ordinairement composé de cinq fils parai* lèles, et d'un sixième horizontal qui les coupe à angles droits par le milieu. Elle est montée perpendiculairement sur un axe dont les extrémités, ayant la forme de tourillons, sont parËdtement calibrées et reposent sur deux coussinets solidement fixés à deux blocs de pierre d'un très grand poids , auxquels on donne la plus parÊdte stabilité. L'un des coussinets s'élève ou s'abaisse verticalement en disant tourner la vis qui y est adaptée ; l'autre coussinet se meut horizontalement en avant ou en arrière au moyen d'une autre vis qui y est fixée : c'est à l'aide de celle-ci qu'on amène exactement Taxe optique de la lunette sur un point fixe quelconque dans l'horizon.

Le mouvement de rotation que l'on imprime à l'axe est d'autant plus doux^ que le frottement des tourillons sur les coussinets est plus

i68 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

faible. On diminue ce frottement en plaçant d'une manière conrenable des contre-poids qui supportent Taxe.

Une alidade qui se meut avec la lunette marque y sur un demicercle gradué et attaché à Fun des bras de l'axe de rotation , la dir stance zénitale de Tastre sur lequel on pointe.

L'instrument des passages est parfaitement rectifié, i*. quand son axe de rotation est exactement horizontal; a*, quand l'axe optique de la lunette décrit rigoureusement un plan vertical; S"*, quand le fil transversal est perpendiculaire à ce plan, et coupe à angles droits les cinq autres fils placés à égale distance entre eux.

On satisfait à la première condition , en suspendant à Taxe un niveau à bulle d'air, et procédant comme il a été dit à l'art. iâ5. On s'assure que l'axe optique est perpendiculaire à Taxe de rotation, en dirigeant le fil méridien ou du milieu, sur un objet bien distinct à rhorizon, par exemple, sur le milieu d'une plaque noire percée d'un trou circulaire et se projetant dans le ciel; car si, après avoir retourné l'axe de rotation bout pour bout, le fil du milieu passe encore par le centre de la plaque ou de la mire, l'axe optique sera vérifié; mais s'il y a une petite déviation, on la fera disparaître ainsi qu'il a été dit à l'article précité.

Enfin, ces deux vérifications faites, on verra si, dans le mouvement vertical donné à la lunette, les fils cachent les mêmes pomts immobiles. Dans ce cas, ces fils seront bien parallèles; et lorsque la lunette sera à très peu près dans le méridien , on sera sûr que le fil transversal du micromètre est horizontal, si une étoile loin du pôle le parcourt dans toute son étendue sans le quitter.

337. Pour fàii% servir la lunette des passages à la détermination des azimuts, il sufiirait, à l'aide de cet instrument, de placer exactement une mire dan» le méridien , parce qu'alors l'angle entre cette mire et le sommet d'un des triangles du réseau serait l'azimut cherché, si le lieu de l'observation était lui-même un des points de ce réseau. Mais on évite les longueurs et les difficultés de cette opération, en déterminant la déviation de la lunette par la méthode suivante :

Supposons qu'on ait calculé l'heure du passage d'une étoile au méridien (art. aSi), de Sirius par exemple , et qu'on ait une pendule réglée sur le tems sidéral (art. 3o3); on dirigera la lunette méridienne

itur cette étoile, à Vmstant de sa médiation marqué par la pendule, et l'on fera ensuite placer au sud une mire d^une manière stable dans la direction de Taxe optique , à la plus grande distance possible du lieu d'où Ton observe. Pour déterminer la position de cette mire, on pourra se servir d'une plaque sur laquelle on aura marqué plusieurs lignes verticales équidistantes et numérotées, afin de savoir à quel point correspond l'axe optique. Cette opération préliminaire étant faite, on choisira parmi les étoiles celles qui ont une petite déclinaison , et l'on observera plusieurs jours de suite leurs passages aux cinq fils du micromètre, ayant soin de vérifier auparavant si Taxe optique de la lunette passe par le point de mire. Dans le cas où il s'en écarterait, on l'y ramènerait en donnant un mouvement azimutal à l'axe de rotation, sans détruire toutefois l'horizontalité de cet axe ; pu si l'on n'avait pas le tems de Ëiire cette rectification , " l'on noterait le petit écart, qu'on évaluerait ensuite facilement en secondes, à l'aide de la distance connue de la mire au lieu de l'observation.

338. Daqs la supposition que les cinq fils sont à égale distance les uns des autres, le cinquième dgs tems marqués par la pendule, lorsqu'une étoile passait derrière chacun de ces fils ,* est l'époque moyenne de son passage au fil du milieu. Cette moyenne arithmétique est préférable à une observation unique, puisqu'on peut espérer que les erreurs commises sur le tems et sur le pointé se compensent en partie. Mais si les distances des fils sont inégales, la moyenne arithmétique des cinq ol)servations ne correspondra pas au fil du milieu, ou, ce qui est de même, au vertical de la mire. Pour lors on jprocédera ainsi qu'il suit, afin de connaître l'intervalle des fils.

Il est d'abord aisé de comprendre que l'intervalle d'un fil à l'autre, mesuré sur le fil transversal ou équatorial, intercepte à Téquateur céleste un très petit arc de cercle. Or, pour trouver le tems qu'une étoile, située dans cette région, met à parcourir cet intervalle a, supposé évalué en parties du rayon de l'équateur pris pour unité , on dira

air'

^ étant la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est égal à r unité, et r désignant le tems cherché.

lyo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Le même interralie des fils étant dirigé sur un paralléfe quelconque a l'équateur , sera de même la corde d'un très petit arc de ce {MuraUèie , supposé d'ailleurs éloigné* du pèle. Ain^ on trouvera Je tems qa'une étoile mettrait pour décrire Tare a de ce parallèle, en disant

2îr cos 2? : a4* :: a : t' s= r^—-ni

D désignant la déclinaison boréale du parallèle que décrit Tétoile , et par conséquent cos D étant le ra jon de ce cercle. Delà

-7 =*£ COS Dj ou r es 7^ = -r--r,

en dénotant par A la distance polaire ; c'est-à-dire que FinterraRe des fib en tems, hors de l'équateur, est égal à nnteryalle équatorial divise par le sinus de la distance polaire.

£n supposant donc qu'on ait observé une cenfaine de passages aux cinq fils, on aura, pour chacun des quatre intervalles, cent valeurs de T : alors la moyenne sera Tintervalle dont on fera usagé pour réduire au fil méridien l'observation faite à l'un des fils latéraux. Mais voici comment M. Delambre rend cette réduction mutile , lorsque l'observation est complète.

Soit M l'observatton au fil du milieu > les cinq fils donneront

bM— a —

b + c + iy

•^ -mw /a — d

la moyetmeâeadnq tems donnerait M — (j^ + ~r^\ ^ laquelle il Êiudraît ajouter -f-f^-^^ H- — r-^)> pour une étwle dans l'équateur^

ou ^^^ • A~^ P^^^ ^^^ étoile ^elconque ; afin d'avoir Fheure

moyenne du passage au fil du milieu^.

Notez bien que les valeurs de a, 6, e, (f sont des moyennes obtetomes par le procédé qu'on vient d'expliquer j mais il sera beaucoup plus simple de rendre îes fils équidistans.

UYRE aNQUlEME. ^ £7»

Par exemple 9 le i^ janvier iSog, une obaervation de Rjgel, bit^ à l'Observatoire royal de Paris, à la lunette méridienne , a donné

au fil I S* 5' 48"5

somme... 3i' 57,"6

moj.,oupassage au méridien 5* 6'25,'32.

Les quatre intervalles sont i7",6; i7^4; i7",5; i7",5, et par un milieu i7",5. Il suit de là que si, à une autre époque, Ton n'avait pu Élire qu'une observation^ de Rigel au cinquième fil, on la réduirait' au fil du milieu,. en étant deux fois i7^5, ou 35'' de l'heure du piasaage çbservée.

Lorsqu'on observe le Soleil , oa note successivement tous les instans des passages du premier et du second bord à chacun des fila; et Ton prend le 'milieu arithmétique de tous les iastans , pour avoir l'époque du passage du centre au fil méridien; c'est ce qu'on voit par le tableau suivante

Le la août 1809, passage du So4eiI au

1" fil.

a* fil.

«•fiL

4*fi*.

aS^aa^o

5*fiJ.

i*'bord.

a« bord.

Somme i3. S fi Moyenne a6.33>4

Ccnlire*

Prenant le milieu des cinq moyennes , on a ,- pour le passage du, centre au méridien, 9'27'9'',59.

339. Passons maintenant au calcul de la déviation de la mire, supposée au sud de la station.

Soit Z (fig. a5) le zénit du lieu de l'observateur, Z^ le vertical que décrit la lunette, iP le pôle; et supposons que l'objectif soit tourné du càté du sud. La déviation orientale de la lunette sera représentée par' l'angle sphérique JHZH, qu^il s'agit de trouver à l'aide de Pobservation des passages des astres ^, i3, au fil du milieu de la lunette.

Nommons H la latitude du Keu Z ; on aura ZP = 90 — H^j et désignons par A la distance polaire de l'astre ^. Le triangle sphér

«7i TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

rique ZPu^^ dans lequel P est l'anglp horaire > donnera (art^ 65)

sînP

tang Z

cotAcosiJ— cosPsinff'

OU représentant par x la déviation MH^ on aura tang Z =— tang Xy et par conséquent

t — 8În P

lang X — coaPsinH— cotAcosfl'

Mais, dans rbypotbése que la déviation est très petite, on a sensiblement cos P = 1 et sin P 5= jP; ainsi

(i) P = (sin ^— cot A cos H) x=:nx.

Telle est la quantité qu'il faudra ajouter au passage observé pour avoir le véritable passage au méridien , lorsque l'on connaîtra x; mais c'est précisément ce qu'il faut trouver.

Supposons qu'une autre étoile B ait été observée à la lunette : pour celle-ci on aura pareillement

(a) ^^^(sinJBr — cot A' cos H)x=:n'x.

De ces deux équations toutes semblables on thre

P' — P = «(cotA — cotA0cosjy===-4î^^^^^

et si on désigne par jTle tems sidéral du passage de la première étoile au méridien, ou son ascension droite apparente réduite en tems; par t le tems du passage au vertical de la lunette, observé aune pendule exactement réglée sur le tems sidéral, on aura P=: 7^— - f, et pour la seconde étoile, P' = Z" — fj ainsi

W * — • cosHsm(à' — A) •

Il suit de ce résultat, que pour déterminer la déviation de la lu* nette, bien rectifiée d'ailleurs , il suffit de connaître à peu près les distances polaires A et A', et très exactement la différence T' — T d'ascension droite , pourvu que A — A' ne soit pas un petit arc. Cette déviation sera orientale si x est positif, occidentale dans le cas contraire. On pourrait bien la déterminer par l'observation d'une jeule étoile ; car dans ce cas

cos(£r+A) co8(i5f+û) '

mais elle serait trop dépendante du tems du passage de l'étoile au méridien et de sa déclinaison, ainsi que de la marche de la pendule. Les deux formules précédentes se rapportant aux passages supérieurs , on les ramènera aux passages inférieurs en prenant négativement sin  et cot A ; et si au lieu d'observer deux étoiles différentes, on observe la même étoile au-dessus et au-dessous du pôle, ùf se changera en — A; la difierence des passages au méridien , savoir T' — - T^ sera de la*, et l'on aura, en vertu de la formule (1),

^ ^ coa H sin 2A "^ âcos H cot A

Cette nouvelle formule ne dépend plus de l'ascension droite de l'étoile; elle donnera la déviation X avec beaucoup de précision, si cot A est très grand , ou , ce qui est de même , si l'on observe de préférence les étoiles circompolaires. M. Delambre , à qui est due la méthode que nous expliquons, indique la Polaire, /, jS, >< de la petite Ourse et y de Céphée; parce qu'on n'a rien à craindre de l'irrégularité de la pendule {Astron., tome I , page 43 1)* On fera bien alors de placer la mire au nord de la station.

34o. Nous avons dit ( art. 4 ) que pour s'assurer que la marche diurne d'une pendule suit exactement le tems sidéral, il suffisait d'observer les passages consécutifs d'une étoile dans un vertical quelconque ; mais cette observation ne Ëiit past^onnaitre son avance absolue ou son retard (art 5o4).. Dans la solution précédente , où il s'agit d'évaluer une très petite quantité, on peut^ sans inconvénient^ faire abstraction de la petite variation diurne de la pendule; mais veut-on déterniiner le retard absolu / , lorsque la variation diurne est nulle? on aura, lors du passage de la première étoile,

(lO r— . < — / = X (sin jfir — cot A cos H)^

et lors du passage de la seconde étoile^

(a') T — 1f^f=:x (sin ^ — cot A^cos^),

d'où il suit, comme ci-dessus,

^^> * — cos^*in(A'~A} ^*

Ck)]inaissant x^ on aura f par l'une et Fautre équation d'où dérive celle-ci.

54 1. Choisissons pour exemple les observations que M. Delambre a employées lui-même pour expliquer sa méthode {Connaissance des Tems de 1792).

Le i5 aoât 178g, ce savant astronome n'ayant pas eu le tems de remettre sa lunette des passages sur la mire méridienne , en calcula la déviation , par les passages de saX» et de a du Cygne.

Passage observé de 3ia% ^ . . . < = ao*€'9a"5o

Ascension droite apparente calculée. • T = ao.6.a4,o5

Différence T— *== — 6"45

Passage observé de a du Cygne. . . » . . t zsz !È0^5à'm"8o

Ascension droite apparente calculée. . T' = 20.54.18,90

Diflférence T' — é' 5= — 5"6oj

de là T^f^(T^t)= + a",85.

D'ailleurs on avait alors

A = io5'ii', A' = 45*5o', H = ^5o\

et par conséquent

par suite la formule (3) ou (5') donnera