CHAPITRE PREJNflER

u4nalyse des triangles sphémïdiques.

36o. Ajorsqu'on réfléchit sur le principe de la^ méthode employée dans le chapitre XV du livre III, on reconnaît bientôt qu'il repose sur une considération dont l'exactitude n'est pas rigoureuse. En effet, par rapport au sphéroïde elliptique de révolution , la ligne tracée sur sa surface, par les opérations géodésiques, ou celle que l'on considère conime la route d'un rayon de lumière qui* va d'un point à un autre, est une ligne de plus courte distance et à double courbure, à moins qu'elle ne coïncide avec le méridien ou l'équateur (art. 160). Les deux élémens extrêmes de cette ligne ne sont donc pas en général dans le même plan. Cependant, nous avons supposé jusqu'à présent que la perpendiculaire à la méridienne, ou qu'une ligne géodésique quelconque était située toute entière dans le plan vertical passant par ses deux extrémités. A la vérité, l'erreur provenant de cette hypothèse est presque nulle dans la pratique, les côtés des triangles qui forment un réseau efissent-ils deux degrés d'amplitude^ mais, pour détruire le doute que l'on pourrait former à cet égard , M. Legendre a donné , dans les Mémoires de l'Institut pour Tannée 1806, une analyse des triangles tracés sur la surface d'un sphéroïde. Les principaux résultats auxquels ses savantes recherches l'ont conduit, sont, que dans tous les cas où le réseau trigonométrique s'étend sur une surface quelconque, mais peu différente de celle d'une sphère, son théorème, relatif aux triangles sphériques très petits, a lieu (art. 100); et que les formules (a'), (6'), {c) des art. 1 92 etsuiv. qui donnent les positions géographiques des sommets des triangles, sont suffisamment exactes. Comme nous nous sonmies proposé de traiter aussi les

questions de haute Géodésie^ nous allons commencer par exposer les principes de la résolution des triangles sphcroïdiques.

Equatiom de la ligne la plus courte sur V ellipsoïde de réuolution.

36i. Soient P le pôle de la Terre (6g. a8), s l'arc M'M'' de plus courte distance, H\ H^' les latitudes vraies des points M\ M*'; A', A" les latitudes réduites de ces mêmes points, H la latitude vraie du point ^ où le méridien P^ est perpendiculaire à la ligne géodésique M'M!^ et X sa latitude réduite; /^', /^" les angles azimutaux PM'A^ PM^A\ enfin (p' et (p" les longitudes des points Jl', M!\ comptées du méridien PA. Il s'agit de trouver des relations entre ces diverses quantités, dans l'hypothèse que la Terre est un ellipsoïde de révolution, et quelle que soit d'ailleurs la grandeur de la ligne géodésique s , par rapport aux arcs elliptiques PM* , PM'. ' Si z^ == o est l'équation d'une surface courbe quelconque , l'une de celles de la ligne la plus courte sur cette surface sera, d'après l'art. i65,

Or , l'équation d'un solide de révolution , quelle que soit d^ailléurs la nature de la courbe génératrice, est

y* étant le signe d'une fonction quelconque, et l'axe des z étant celui de rotation; ainsi les valeurs des coeffîciens aux diiférentielles partielles sont

l'équation (i) devient donc

xddy -^jrddx = o, et, en intégrant, l'on a

xdy — ydx = cds. '

D'ailleurs si l'on fait CTou z = f , T3f' = g, le triangle rectangle Cpiriy dans lequel Cp=tx^ pm cz y et Cm := q^ donnera évidemment

X ssçcos^", j^sB jôin^"}

«i4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

par conséquent, en diSërenciant, l'on obtiendra

dx = dq cos (p" — q sin <p".d(p" \ . .

dy s= dq sin fl»" + ç cos ^".rf(p" J ^"^'

et Ton aura, par une combinaison de ces quatre équations,

^dy — ydx = j*(f^".

Con€luon$ de là , que

D'un autre côté, le triangle élémentaire a!nt!jM!^ ^ rectangle en m\ donne

sin PM'A ou sin /^" =$',

et les deux arcs semblables F G = cf^" et a W étant proportionneb à leurs rayons respectifs CZ^ et j — rfj, Ton a

en prenant toutefois CF* = i , et négligeant le terme du second ordre — dqd^^ ; donc

sin />^" = ^, et î sin ^' = c;

ainsi la propriété de k ligne la plus courte est de rendre q sin f<^ constant.

Remarquons en outre, que Ton peut prendre pour méridien fixe ou pour plan des xz , celui qui est perpendiculaire à la ligne géodesique M' M' = s. Soit donc PA ce méridien ; alors au point ^, Tazimut /^" = loo* , et la constante c est égale à ^/, valeur initiale de 9.

De plus, réqualion différentielle d'un arc ifcfiM" étant

ds sszy/dx* H- </jk*+ dz*,

elle devient, à cause des valeurs ci-dessus de dx et dy, et faisant attention que s =s {,

ds^ ss= dq' + ^r'^lp"* -f <ft».

Substituant ici pour ds sa valeur ^-^^^ ensuite éliminant £/(p'', on a

LITRE SIXIÈME. ai 5

ç« (?• — c*) (/(?"• = c* {de^ H- Jg*) 1

(^r* — c*) ds^ = 5* (dtr+ dq') j ^^^•

Avant d'intégrer ces équations, il faut en éliminer Tune des variables t^ q k l'aide de l'équation du méridien mobile P3ï'Fy qui est

Mais, pour parvenir aux résultats les plus simples, introduisons une nouvelle variable A'S telle que l'on ait Tabscisse

/ = i sin A'',

auquel cas A" sera l'angle que forme avec l'équateur, le rayon h du cercle inscrit au méridien mobile PM'y et dont la variable t est l'abscisse d'on de ses points* Cette valeur étant introduite dans l'équation de ce méridien , on a l'ordonnée

qz=z a cos A".

Il résulte de là que la constante c, qui a pour valeur q sin ^'',

devient

c s= ^i sin P^^ cos A^

A un autre point M' de la plus courte distance , pour laquelle A'^ se change en A', et ^" en /^% on aurait de même

c = a sin ^' cos A'.

Enfin an point A où Tazimut de A M' est supposé de loo'y on aurait, en désignant par A ce qu^ devient X%

~ cssacosA;

il résulte donc de ces trois valeurs, la relation

cos A = sin ^' cos A' = sin /^" coS A'' (4).

Ainsi les sinus des angles azimutaux , aux extrémités d'une ligne géodésique, sont entre eux réciproquement comme les ordonnées de ces points.

Maintenant si l'on substitue dans les formules (3), pour f, ^ et c leurs valeurs respectives b sin A", a cos A" et a cos A, et que pour l'uniforinité de la notation, l'on écrive ds^' au lieu de ds-^ on aura,

3i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

parce que 9" augmente quand A" diminue,

, ,, ^ dx^ C03 A / g'^ sin' x" + 3* cos^

^ ""^ acosA" V cos* A* — cos' A

c/^ 5=s — aA" cos A" 1/ rT7 ^ >.

V cos* a" — cos* A

ce sont les équations difierentielles de Parc perpendiculaire AM^. II est évident qu'on a de même, pour celles de Parc AM! ^

t . Ja' cos a /g* sin* a' + fe* cos' >!

^ "^ a cos y V cos* a' — cos* A

. / ,^, ^ ^, , /o* sîn* y + 6* cos* y « (* V'

rf/ = — aA COS A' 1/ ^ ^ .— 5-—

V cos* a — cos* A

Il est remarquable que la variable A'' se déduit immédiatement de , la latitude lï' du point M'y car, à cause de Tiaf " = a coi A" et de CT = 6 sin A" , on a , pour la sous-normale TO de ce point,

TO = %.b sin A" = y .sin A",

et de là

7^, ou tang -ET' = 5 tang A''j

donc réciproquement

tang A" = I tang iï'';

c'est aussi ce qu'on a trouvé d'une autre manière à l'art 170.

M. Legendre appelle A" la latitude réduite du point JkC'j parce

que sur le sphéroïde aplati, elle est en général moindre que la latitude

y* vraie ^MVlais à cause du peu de différence de ces quantités, dans le

cas du sphéroïde terrestre, il est commode et exact dans la pratique, d'évaluer Jï" — A" à l'aide de la série

ou de celle-ci :

6elon que IT' ou A'' est connue»

Il est évident que l'on aura aussi entre H' et X', la relation

tang X'=-tang H\

puisque, d'après la définition ci-dessus, A' est la latitude réduite du point M dont la latitude vraie est H'. Même observation pour le point A.

36a. M. Legendre rend très Êicîle Tintégration des formules (é'% par l'introduction d'un angle subsidiaire et quelques transformations ingénieuses : toutefois elles se prêtent assez aisément à cette opération, en changeant sous les radicaux les cosinus en sinus, et j fai-

sant, pour abréger, — ^^ = 6. En effet, on a d'abord as z=: — j^ yx -{- c sm* a,

(«in* A — sin» a')»

cos A cos a' d)!

j^ o cos A cos A aA ^ t . • . ^/

a^ = — - . 7. VI + € sm' A ,

^ 008* a' (sin» A — sin* a')»

puis développant le facteur \/i -f- «sin* A' jusqu'au terme de l'ordre s* inclusivement, les premiers termes des valeurs de ds et d^ seront respectivement

6 J. sin a' . b C08AC08AVa'

(sin^A — ain*A')i' « ' cos* a' (sin* a— sin* A')* ^

ou bien

- sin a' , tang a^

*sinA - h tang A

7, et — * - — — — j-Tj

(gin* a\» ^/ tang* a\ »

sin* A/ V tang* A/

car, par les formules trigonométriques connues, l'on a

sin* A — sin*A'=(tang*A— tang'Â')cos*Ajos*A.'. Quant aux autres termes, ils seront de la forme

'du.

(ft*u«)»

et Ton aura en général

u'^du u"*"* i/fc' — a' , m —

(fc* — u»)î "* m J j^. ^, ji >

si8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

ai donc l'on intègre^ il viendra^ à cause de - s=: i •— 4 « «4- 1 €*. •*• • »^

jB=[i + ^ 6 sin* A — ^ «• 8in< X] arc (cos = ^)

-^.•8in*xL-j^,- (1- ^ J, ^ = arc(co8s=^') — [î«— I «• — T6 «'sin'XlcosxH^arc (cos = ^)]

+ Ta *• Sm* A COS A -T— - ( X r-T— ) L

• ** LamA \ 8in*A/.J

Il n'y a point de constantes à ajouter, parce qu'elles sont nulles en même tems que s et ^\ en effet A' se change alors en A. Maintenant soient

cr = arc(cos = J|^), et « = arc (cos = g5|^),

ou, ce qui revient au même^

sin a' tane a'

COS 9 = -r— , COS c» S? r— r î

fiin A ' tang A '

on voit d'abord que ces deux relations appartiennent évidemment à un triangle sphérique rectangle dont les côtés de l'angle droit sont (loo' —A) et (T, et dont les angles opposés à ces mêmes côtés sont respectivement J^* et ai. De plus, il est remarquable que tr est pré? cisément l'angle auxiliaire employé par M. Legendre ^ partant^

tang cê = — s- - — ( 1 -— -: — ) s= 1 sm ac

tin' a'/, tin» a Va , . , • a i . •

S?5rV~S?I>) =cos»(r8m(r = |sm4(r+^sm2crj

et par conséquent

j = (1 H- i « sin* A — ^ É» 8in< A) «■

+ (i < sin' A — ^ £* sin* A) sin air } (^) > "" lî? ** 8in< A sin 4or

+ ^fi* sin' Xcos A sîn a^ J

Comme il est utile en outre d'avoir la valeur cte 0* en fonctioa

de r, je vais retourner la série (A), et employer à cet efibt la formule de M. Laplace; savoir, r^ /V y é'»'»***^*^

Au) =m+ , ia)r (a).. + iK^fça . L- 1 f^oi^-r

dans laquelle/' (a) = -^^—y et. qui a Ifeu lorsque

9 et y désignant ici des fonctions quelconques.

Or, afin de donner à l'équation (A) là forme de celle (D), il convient de prendre la valeur de o- et de la développer jusqu'aux termes en ^ inclusivement ; de cette manière on trouve

5+É[-i58m*A+^€Îsin^Â

I sm 3^ sin* A -+• -j^ € sin sa- sîn* A"» ^ ^ ^^ + ii? fi sin 4^ sin* A

et l'on voit^ en comparant ce résultat à (D), que Toi» a u=icr^ as=j, et

^(u)=ç(^)= — :;jSin*A4-^€jsin*A — ^sinao-sin^A

-f-^ €sin ao-sin^ A 4- g|^:i sin 40* sinf A; de plus comme ici

/(u)=.r, /(a) = J, l'on a !^ =/' («) = !, par suite