M TRAITÉ DE GÉODÉSIE
I. Étont doonées la latitude H du pjed de la perpendicidairQ x, et cette perpendteulaire elle-Hiéiiie ^ 4éterimQ» la latitudes H' 4^ «on sommet Jif ', aiusi que la difiR^eJSK^e. en Itoogitude fi des deux points My M!^
Solution. La quantité 6 = aa -|- 5a% (a = étant l'aphtiase-
ment dasphécoïde) poiiTaDt, vu sa petitesse dans le cas'^de la nature, être coMidérçe comme du premier ordre , il sera permis de ne dévetopper les fonctions que jusqu'aux termes qui ne contiendront cette quantité qu'à la première puissance ; maïs nous ferons voir conciaftent on pourrait aisément tenir compte des tempes du second ordre , et même (le ceux des ordres supérieurs > si la chose était nécessaire. Cela posé , on détermioera la latitude réduite A par le moyen de la relation (i); ensuite on prendra le cosinus de chaque membre de réquation (A)^ en rejetant les termes qui dépendent de c* et desplu4 hautes puissances de £; alors on aura
cos tr = cos(j) + i€jsin(j)sin*A£i4-^sin2g)^;
mais à cause de la relation (3) ou de sin A' = sin A cos 0", il s'ensuit que
sin A' = sinAcos (j) + i €jsinQ)sm'A.ri+isin ^CijX
Maintenant, soit 4' c^ que devient A' lorsque € = o; on aura dans ce cas, sin 4' :^ sin A cosQY et par conséquent
siaV ^ sm 4' -f^ € j sîn(J)sin* A.Q + isîn nQ^j ou, pour plus de< facilité pour le calcul nunaérique.
i^' = -r^ désigpant le nombre de secondes contenues dans un arc
égal au rayon.
On introduira la valeur de V dans la relation (a), afin d'avoir la latitude vraie H* ; et pour déterminer tp on passera par les formules (3), (4) et (B)^ quï sont
sin a' tangV ^ ,
LITRE SIXIÈME. «sS
Dans cette aohition, l'on n'a eu ^ard qu^aOx tonnes au premier ordre; pour connattre Influence des termes en é*^ fl n'y atura qu'à déterminer tr par la formule entière (A)) ensuite tirer la valeur de X' de la relation (3) , et calculer <p en passant par les formules (4) et (B) , en conservant dans cette dernière les termes du deuxième ordre. Ce procédé, comme l'on voit, consiste à faire une application directe des formules fondamentales.
II. Etant données la longueur 5 d'un arc perpendiculaire à un méridien, et la difierence en longitude 9 des extrémités de cet arc, trouver les latitudes de ces mêmes extrémités.
Solution. Prenant la tangente de chacun des membres des formules (A) et (fi) y on aura^ en développant en série et rejetant les termes en €%
^^ ^^ ta.g(i)-Qcdn«A+i..in«..U.^0 ]^ ,
= tang(0-[i-ftang»(i)][i«8m«A+i€«in«Xsin3(j)].J. Substituant cette valeur dans la relation (5), il viendra
tangg)-(i)séc«(t) .n..in»A+i.8m« A«in aQ)"]
tanguas — ^ — ^^ — ^ •- ^"^-^
i^mm^mmÊm^
COS A •
mais en vertu de la formule (B), dans laquelle on peut changer ^ en r , puisque l'on borne l'approximation aux termes en s, on aura
tangf + -Â tTC06 A
tang dû s=s • j s=2 tang ç + ? € r cosX sec' f .
1 — :f rtangf C08A
Égalant ces deux valeurs de tang cê , et mettant pour sin* A sa valeur 1 — CM' A, on obtiendra*
i € j {séC^ — . i séc' Qpi + { sin a(g)]} cos* A + tang ^ cos A . = tangQ-i,Qséc-(J)[i+isin.(i)3
Au lieu de résoudre cette équation du second degré pour aroir la
aa4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
valeur de ces X , il est beaucoup plus simple d'employer à cet eflèt la méthode des approximations successives. Soit donc -j/ la valeur de A, lorsque é s=o; on aura
cos 4 = tong n) cot ^j et par suite
cosX=cos>I/ — i^5 M 4- Tsin ^(tJj
sîn* ^ cot f ^s\ C08* ^
COS*l T
enfin
Cette valeur de A, qui ne dépend nullement de la petitesse de Tare s^ est exacte, aux quantités près du second ordre, et est bien suffisante dans la pratique. Cependant si l'on voulait avoir égard aux termes en £% comme dans la solution précédente, il n'y am*ait qu'à déterminer (r et a> par les formules entières (A) et (B), en y introduisant la valeur de A que l'on vient de trouver par une première approximation; ensuite calculer une seconde valeur de cette latitude
réduite au moyen de la relation cos A= -^^, dans laquelle les
angles <reta> seront alors connus et exacts, aux quantités près du troisième ordre.
Cette méthode dés approximations successives, très conmiode dans cette circonstance , pourrait s'étendre aussi loin qu'on voudrait, en prolongeant les séries (A) et (B); mais cela est inutile, puisque
pour le sphéroïde terrestre, € diffère peu de ^5^*
Maintenant, pour avoir la latitude réduite A' du sommet de la perpendiculaire , on calculera les formules (A) et (3) ; et des latitudes réduites on passera aux latitudes vraies, à l'aide des relations (1) et (9) , ou des séries qui en dérivent.
III. Étant donnés la longueur s d'un arc perpendiculaire à un méridien et l'azimut J^' de cette ligne sur l'horizon de son sommet, trouver, tant les latitudes des extrémités de cet arc, que la différence en longitude.
oolution. Si Ion fait attention que cos* ^ = -T-r--= . ^ ^, . ^ ^ »
ainsi qu'il résulte de la combinaison des relations (3) et (C), et si l'on
prend les cosinus des deux membres de la formule (A)| il yiendra, après avoir égalé les deux valeurs de cos* a*,
sin* X — cos* f^ = cos* Q) sin* A sin* ^'
+t4 sin Q cosQ sinU[i+i sin aQJin*^.
Soit, comme ci-dessus, 4 la valeur de X correspondante à c = o} on aura sin* 4 = ~7T > ^* P^^ conséquent
tang 4 = —
par suite
8Îd( 1 ) cos r r j3in*4 , . . ^
«m-A==«in-4+l-i ^-' ,,y [.+iri..=.g)]ain- ^C
Multipliant et divisant par cos' V^ le terme en € de cette équation , et simplifiant, on aura, après avoir extrait de part et d'autre la racine tpiarrée ,
sinA==sin4 + i «rsin 2Q^ sin* 4 ["1 4- r sin aQjJ tang'/^'j de là A= 4 4- i if'\ sin aQ tang4 sin< 4 [^i+iSin aQ^tang'/^,
ou , à cause de sin Q^ tang 4 = cot /^, on aura plus simplement
A= 4+i6r"jCosQsinS[i4-i sin aQ] tang ^'.
Telle est Fexpression très approchée de la latitude réduite du point ilf. On en aurait une plus exacte, en tenant compte des termes du second ordre, et cela en les conservant dans la série (A), ainsi que dans le développement de cos ^. Autrement Ton calculerait or, comme il est dit dans la solution du problème précédent , puis Ton
sin' A "^ cos* V
déduirait sin ^ de l'équation rigoureuse cos' <t s= ^^ %^^^y r-\ ^^
plutôt de celle-ci: tang A = ^^7-» <ïui en dérive.
Quant à la, relation (3), elle fournira, ^près avoir caleule ^ par la série (A), la latitude réduite ?i\ qui sera de même exacte , aux quantités près du troisième ordre, si L'on fait usage de la seconde valeur de A. Enfin la relation (5) fera connaître co ; et Tangte ^ , qm wt la difi^rence en longitude cherchée ^ se déduira de la série (B).
JV. Étant données la perpendiculaire s et la latitude H' de son sommet, trouver Tazàmut J^* de cette ligne sur FhoriBOB du même point, et la latitude de son pied.
Solution. On a d'abord la latitude réduite A' au moyen de la relation (a), puis en vertu de la série (A) Ton trouve, en négligeant lea termes du second ordre ,
cos «• = cos Qj + ^ 6 g ^^°G) ®^^* A Fi •+■ 7 sin (^)j-
Égalant cette valeur à celle (3), on a, pour équation résultante^
^- . sin a' I * • /s\ %\T?x rr • f • /^NT
or, en désignant par 4 la première valeur approchée de A, c' celle correspondante à € = o, auquel cas
I sin V
cos y
on aura plus exactement
sin A = sin 4 — i ^t tang ^) sin' 4 M + 1 sin ^Q) J} et par conséquent
A:» 4— i^^'stong(-)8in-4[i4-Tsma(0]tang4.
Maintenant, veulK>n une valeur de A dépendante des termes en €*? on calculera, au moyen de la précédente, la valeur de tr donnée par la série (A) ; ensuite on aura , par la relation (3), la valeur de sin A avec le degré de précision que l'on désire. Les deux latitudes réduites trouvées, on obtiendra l'aaûmut y par la formule (C).
Y. Étant donnés l'azimut f^' de la perpendiculaire et la différence en longitude ^ de ses extrémités, trouver les latitudes de ces points et la longueur de cette perpendiculaire.
IlYRE SIXIÈME. 9d7
SahUiofL Les é^atSons dont dépend la solatioa de ee f^roblème sont (5), (4), (B), (C). Multipliant (5) et (C) Pune par i!aulret ^ a,^ant ^ard à celle (4)» oa aura
Fresant le cosinus de la valeur de « tirée de Téquatioii (B) ^ la^écédente deviendra
C08 ^ , cos A sin 9
mais on a trouvé (problème III) que cos* c = *^?^^ p^sî^x ' ^^ cos X = g'p «^nr d'ailleurs on a cos f = sin f^' êos *• au quantités près du premier ordre ; donc
Soit / la valeur de c lorsque € = o; on aura cos / =s g^^ ^ et à
très peu près
cos a* = cos / — ief sin / j par suite.
De là et à cause de cos « =3 ces 0* sin f^% la valeur précédente de cos A deviendra
cosXs= — : ;
ainsi la latitude réduite A sera connue* On aura ^eiœuite X' au mojea de la relation (3) ; enfin la perpendiculaire s sera donnée par la série fondamentale
^ = Tr (1 4- f « sîn* A) + f &€ sin* A sin 20*. • •>
qui est le renversement de celle (A).
Pour avoir égard aux termes du second ordre , on introduira les valeurs ci-dessus de o* et de A dans la formule (B), afin d'avoir â» à
ce degré de précision; puis à cause de cos tr = ^^, , on aura une
seconde valeur de 9 qui sera plus exacte que la première. Du reste,
aa8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
les secondes valeurs approchées de X et A' s'obtiendront comme ci-<lessus.
Dans la recherche de la figure de la Terre, c'est toujours Parc s que Ton mesure, ainsi la solution actuelle sera rarement utile j il en est de même de la suivante.
YI. La latitude H' et la différence de longitude ^ étant données , trouver la latitude H et Tare s.
Solution. La relation (4) donne tang A = — BLi^ et de la série (B) on tire
asasf 4-î €TCOSA;
par conséquent
tang A = — , ^^"f ^ — -. .
° COS (^ -+-J ir C08 A)
Reste à développer le second membre de cette formule suivant les puissances ascendantes de e ; mais puisque nous bornons l'approximation aux quantités du premier ordre inclusivement, nous aurons simplement
tang A = î^^(i + i€(r COS Atang?)).
Désignons , comme à l'ordinaire , par 4 ^ valeur de A corresponr dante à é = o ; nous aurons
et partant,
tang A = tang 4 + 7 co- tang 4 ^os ^ tang ^ ;
mais A étant égal à 4 9 aux quantités près du premier ordre, il s^eo» suit qu'on peut écrire
tang A = tang 4 + r ^^ tang 4 cos 4 tang ^.
De plus, à cause de tang A — tang 4 = ^^^~t > et de la petitesse de A *— 4? ^^ a sensiblement
tangA-.tang4 = ^, et par conséquent, pour la latitude réduite de l'origine de l'arc s^
A =: 4 + i ^^ ^ûi 4 c^* 4 tang ç.
Pour apprécier rinfluence des termes du second ordre sur cette Valeur, il faudrait les conserver dans l'expression de o» , et développer
la valeur de tang A = -^^ , jusqu'aux termes de cet ordre inclusivement; ensuite éliminer X de ce développement, au moyen de sa valeur approchée ci-dessus; et du reste, procéder comme on vient de le dire , pour obtenir définî^ement A. Mais il est à remarquer que l'inconnue 9' entrant dans l'âipression de cette latitude réduite, il est nécessaire de la déterminer préalablement. Four cet effet, l'on prendra le sinus de chaque membre de l'équation
W = f -|- ^ €0* cos A,
en se bornant aux termes de l'ordre € ; de cette manière on aura
sin â» = sin ^ + 7 €0r cos A cos ^ :
divisant cette nouvelle équation par celle (4) , et ayant égard aux relations (5) et (3) , on trouvera
sin 0- = sin ^ cos A' + i ^^ cos A cos A' cos ç.
Soit / la valeur de tr lorsque € = o ; on iaura alors
sin / = sin ^ cos A', et sin o" 3= sin / -f- 7 c/ cos A cos A' cos ç ;
mais à cause de A = «nI/, aux quantités prés du premier ordre, on
peut ecnre
sin 0- = sin / -|- J €/ cos.'nI/ cos A' cos ^, et par suite
o- = / + 7 €p — - COS A' cos ^.
' ' ■ «^ cos ç ^
Il est évident qu'on aura ensuite s par la série
s = -^ (i + i € sin* A) + 1 cJ sin* A sin ao". . .j
déjà employée dans la solution du problème précédent.
Ayant trouvé de la sorte a* et A, on pourra s'en servir pour calculer rigoureusement la valeur de « fournie par la série entière (B); alorâ la relation (4) donnera la latitude réduita A exacte, aux quantités
25o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
près du troisième ordre; et a l'aide de cette valeur, on aura i au
même degré de précisioQ, eu faisant usage de la série (A) renversée, et représentée dans l'article précédent par (E). Ce procédé est plus simple que celui qu'on a indiqué ci-dessus.
564. La ligne la plus courte «|penée perpendiculairement au méridien , afiecte une figure qu'iliÉât aisé de se représenter d'après cette solution ; car lorsque 0* ss 90% on a
et ^ = 9o'.{i — (ï € — f €*) CO8 X 4- 7^ e* sin* X cos X].
Le point de cette ligne, qui correspond à la valeur de or rs go% est donc situé sur Téquateur ; mais sa longitude est moindre que celle qu'il aurait sur la sphère, d'une quantité à peu près proportionnelle a l'aplatissement a=:^€ — |6*-f.....
Dans la même hypothèse, la longueur de Tare s est égale à ua quart d'ellipse, dont la valeur développée est
j = i (1 + i € sin* X — ^ 4* sin* X)go%
Lorsqu'ensuite o" = 180% on a
X'5=— A, J5r' = — .ff et a= i8o*;
ainsi les valeurs de 9 et de / deviennent doubles de ce qu'elles étaient en faisant cr = 90'; tandis que l'azimut /^'est de 90% comme au point ^(fig. 38). Donc, la ligne géodésique, après avoir traversé réquateur, atteint le parallèle qui a la même latitude que le pointa, où elle est de nouveau perpendiculaire à la méridienne. Si l'on pro* longe encore cette ligne, elle passera sembtablement du second hémisphère dans le premier, et parviendra au même parallèle d'où elle était partie ; mais dans un point différent, puisque la longitude
de ce point, au lieu d'être de 36o*, sera
36o* [1 — (t « — I fc') C09 X + ^ £• sin» A cos A].
. Il résulte de là , que quel que soit le nombre de pareilles ré voIu« tlons, la perpendiculaire dont il s'agit formera une sorte de spirale comprise entre les deux parallèles situés de part et d^autre de réquateur, à la même latitude. Toutes les spires de cette courbe
seront égales entre elles ^ et la longueur de chaque quart de spire, comprise entre un parallèle et réquateur» sera égale à celle du quart
d'ellipse^ ayant pour demi-^xes b et b vi + ^ sin* A.
Ces propriétés, que nous venons de démontrer d'après M. Legendre, ont également lieu pour une ligne géodésique menée d'un point quelconque à un autre de l'ellipsorde ; car une telle Hgne fait toujours partie d'une perpendiculaire à une méridienne (voyez le Mémoire cité de ce savant géomètre).
Du triangle /armé par deux méridiens^ et la ligne lapins courte
qui en joint deux points quelconques.
365. Considérons maintenant deux triangles sphériquesj977t'a,pm''a (fîg. a8 et 39.) correspondans aux triangles sphéroïdiques PM'^j PM^'ul j et supposons que les azimuts F\ F" soient les mêmes de part et d'autre , mais que les latitudes des points a, m'^ rri' soient A , A', X", Enfin, représentons respectivement par a', ff", les arcs ûTw', ani\ m!m^''y par «', «" les angles m'pa^ ml'pa\ on aura, par la propriété des triangles sphériques rectangles, ou en vertu de l'art. 36a , les relations suivantes :
I cos X s=: cos >s! sin F\ sin or' = sin m' cos A^,
II cos o' =s ^, cos ù/ = cos (/ sin F',
III tang af 5= ^^, sin ff' sin A =s cos F' cos A'.
Celles qui composent le premier système donneront la position du pointa, lorsque le point M' sera donné. On a en outre, par rapport
au point JUt'j
IV sin ^" =: sin X cos a"^
V tang c^'' = îîîîi-,
VI cos X'' sin F" = cos A' sin F^i enfin la proportion des quatre sinus donne
fv\ • / w f\ 8În (r* — f^ sin F^
{K) sm K --«') = —^-^577? •
On pourra donc, à l'aide des relations (IV, V, VI), déterminer trois des quatre variables It'^ 0^, cJ'^ F^\ quand l'une d'elles sera connue.
De là et des formules (^), (5) art 362, on tire généralement deux autres équations relatives au triangle sphéroïdique obliquangle PM'3Ï' dans lequel M'3Ï' == ^> ^ 1» différence en longitude 31' P M' = (p, savoir :
VII g = (o"'— O (i + i ^ sin» X — ^ ê» sin* A)
+ (sin 2or" — sin 2^) (^ 6 sin» A — ^6* sin* A) — (sin 43-'' — sin 4(7') (^^ €• sin* A) ,
VIII * (p = «"— .ai' — ((t'' — (7')(î« — I^Ocos-^
+ (a"— 0^+ i sin 2(7"— i sin 20-') . (-'^ 6* sin* A cos A),
Toute la théorie des triangles sphéroïdiques est renfermée dans les équations précédentes; mais il est des cas qui présentent d'assez grandes difficultés d'analyse pour combiner ces équations de manière à en déduire les valeurs de certaines inconnues. Le problème le plus simple , après celui que résolvent directement les équations fondamentales, c'est lorsqu'il s'agit de déterminer les élémens j^", /^", au moyen des autres éiémens connus H' et F' et de la longueur 5 de la ligne la plus courte MM'. En effet, les relations I, II, III feront d'abord connaître A, cr' et cd'; puis de la formule VII on tirera, par l'un des procédés expliqués à l'art. 362 , la valeur suivante :
IX 0" = (t' + ^ (1 — i6sin*A + rf ^•sÎEi*^)
— sin ^ cos r2ûr' + n C? ^ sîû* A — 1 6* sin* A)
+ gC0s(2^'+2^.)(-^^)
+ sio i cos {W + f ) 00, (,,■ + 4) (Cil^i)
