CALCUL
des c6tés.
COTÉS en
MàTlBS.
Damnuurûn Ccath.) Panthéon
SL-Martin (clocher)
64f3ia6\5 5f,5a78 ,4
64«3ia5 5f,5a78
a9a6y»,3o a5oi6,oo
Excès sph^riqae. . . .
aoo,ooo3 ,t 5 fi
aoo.oooS fi
aooyoooo
Somme des errears. .
Dans ce tableau, les mètres qui sont sur la même ligne qu'un angle, expriment la longueur du côté opposé à cet angle, et ainsi des autres. La première longueur est toujours la base ou le côté connu.
Si le triangle -//se (fig. 34) représentait celui qu*on vient de calculer et qu'il fut le premier du réseau , le second triangle BCD aurait évidemment pour base le côté BC, et se calculerait de la même manière que le premier triangle. En allant ainsi de proche en proche, on arriverait au dernier côté KL du réseau.
i5i. Pour obtenir les angles sphériques dont on a déjà vu l'usage dans l'article précédent, il faut connaître l'excès sphérique de chaque triangle ; d'ailleurs cet excès met à même d'apprécier la somme des erreurs des observations. On le détermine ainsi qu'il suit.
Par l'art. 100, l'excès sphérique â = —;- , s dénotant l'aire du
triangle que l'on considère, / le rayon de la Terre, ^^^"=^'^;^^ le nombre de secondes contenues dans le rayon. Or, on a ••••••
ab sin C . • / i j
$ = , et, par ce qm précède ,
C = 84',i598 , log a = 4,4664iy log b = 4,3g82aj
mais avant d'évaluer 6, nous remarquerons que — est une quantité
cODdtante y dans. laquelle / et R doirent être exprimés par tes mèaeS' unités qui oBt été choisies pour la mesure des côtés et des angles de» triangles. Ainsi , pour avoir le logarithme de l'excès sphérique é exprimé en secondea^ au logarithme de l'aire du triangle on ajoatera la quantité
log R — 9log f.
Si Ton part des anciennes mesures et de la division du cercle en 56o*y on aura
log / = 6,5i4o6 log m' = 5,3x443 , log R — 9log f = 9,9863o.
Si Ton fait usage des nouvelles mesures et de la division du cercle en 4oo',
log / = 6,8o388, log R^ = 5,8o388, logjR — 9log/ = 9,ig6i9.
Enfin, si les côtés du triangle sont exprimés en métrés ^ et qu'on emrploie la division du cercle en 36o*, on aura
log R — 9log / = J ,70667.
La valeur ci-dessus de s étant calculée par les logarithmes, on aura, en vertu des données précédentes,
log 7, ou 0,5 = 9,69897
log sin C = 9,9864a
log a = 4,4664i
log b = 4,39899
log^ = 8,55oo9 log constant = 9,19619
log 6 = o,746i4 = 5*,57;
Texcès sphérique est donc tel que l'indique le tableau ci-dessus. Or, la somme des trois angles observés étant de 9oo',ooo5,i, l'erreur totale est de 2*,5; c'est la quantité dont il s'en faut que le triangle ne forme exactement. Chacun des angles étant augmentédu tiers de 2',5, on a les angles sphériques cherches.
11 arrive souvent, quand le triangle a peu d'étendue, que la somme des erreurs des observations , lorsqu'elle est négative, surpasse, ab*
straction &îte du signe, l'excès sphériqtie propre de ce triangle: Dans ce cas, la somme des trois angles observés est nécessairement moindre que aoo^. Néanmoins, Ton forme les angles sphériques en corrigeant chaque angle du tiers de Terreur totale , si les observations ont été faites à chacun des sommets , dans des circonstances &vorâbles j c'est en effet la répartition la plus avantageuse, comme M. Laplace vient de le démontrer, dans son savant Mémoire inséré dans la Connaissance des Tems pour i8âo, et qui fait partie du second Supplément à sa Tliéorie des Prohabilités. Cependant si !d mesure de tel angle méritait plus de confiance que celle de tel autre, on modifierait cette règle de répartition, de manière à faire supporter à l'angle le plus douteux la plus forte correction.
i52. Puisque l'excès sphérique du triangle ^BC (fig. i5) est égal
à la surface s multipliée par -p, et que cette surface se compose de
celle des deux triangles rectangles ABD^ CBDy on a, en désignant par s\ s" ces deux triangles partiels ,
^ — * 7?ff — ?i f.
mais, d'après Fart. 100,
^' = X C sin ^ cos -//, s" = ï a' sin Ccos C. = ^ c' sin 2^ , = ^ a* sin aC;
donc,
c* sin aj4 ^^ a^ sin aC
Telle est la forme qu'il convient de donner à la valeur de g, pour calculer une table qui donne Texcès sphérique en deux parties. On entrera dans cette table avec chacun des deux côtés en mètres et l'angle adjacent. Elle est comprise dans le Recueil de nos Tables, sous le n* IV. M. Delambre l'a donnée en toises (Base du Système métrique décimal) ; il a même formé une table à l'aide de laquelle on a tout d'un coup l'excès sphérique. J'en ai calculé une tout# pareille en nouvelles mesures ; on la trouvera aussi à la fin de cet Ouvrage, sous le n* V : pour s'en servir, on cherche sur la carte des triangles , et au moyen de l'échelle , les nombres de mètres contenus dans leur base et dans leur hauteur, et avec ces deux nombres, pris pour argumens, on entre dans la table comme dans toutes celles
aaS TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
à double entrée. Quoique cette table s'arrête aux nombres loooo et 5oooo , on yoit bien qu'elle peut servir pour des nombres multiples. Désignant par b la base, et par h la hauteur d'un triangle, on a évidemment
Veut-on (aire usage des anciennes mesures , c'est-à-dire de la toise et de la division du cercle en 36o*? dans ce cas,
log ^= 1,98638, ou bien 6=o'',ooooo 00096 66. bh.
Veut-on au contraire employer les nouvelles mesures ? on a
log — ;= 1,89509, OU bien 6 = o%ooooo 00078 54 bh.
Dans l'cipplication de ces formules, il est suffisant d'exprimer les longueurs en unités de mille toises; ainsi, l'on a, en secondes sexagésimales, ou dans la première hypothèse,
ff = o",oo96666A;
et en secondes centésimales, ou dans la seconde hypothèse,
€ =: o*,oo7854&A,
C'est d'après cette dernière valeur que j'ai calculé la table eH
question.
i63. Pour donner une autre application de l'excès sphérique^ résolvons le triangle géodésique dans lequel on connaît seulement l'angle Cet les deux côtés adjacens a, &, savoir :
C = iao',2897%ia, log a = 4 ,6859571, log 6 = 4 ,543^6.
On trouvera l'excès sphérique de ce triangle de ia*,65; le tiers 4',a« étant ôté de l'angle C, on aura l'angle réduit C = 120^,289290. U s'agit maintenant de résoudre un triangle rectiligne dans lequel un angle est C, et les deux côtés adjacens sont a et è, comme ci-dessus. Pour cet effet, l'on aura recours à la méthode de l'art. 49, qui donne
