EXCÈS

sphtfiiquc.

o^iS 0,17

ANGLES

sphcriques.

4qo ^ 5e*'84 75.39.29,83 63.43.33,8a

ANGLES

des cordes.

ANGLES

moyens.

>:9-59'57>ao Som. des erreurs — 3, 33

55«io' i''i8 43.5a. 3,39 80.57.55,86

La colonne intitulée angles ohserpés, conlient les angles de position réduits à l'horizon et au centre.

La colonne suivante, quia pour titre excès sphérique , donne pour chaque angle horizontal, Texccs de cet angle sur l'angle des cordes^

LIYRÊ TROISIÈME. aS3

correspondant; il se calcule par la méthode de Fart, i^o, ou plus directement encore au moyen de la Table YI qui a pour argumens la somme K + K'etla différence K — K' des côtés qui comprennent l'angle à réduire. Les trois excès partiels forment l'excès sphérique du triangle, tel qu'il se trouverait directement par la formule de l'art. i5i.

La cinquième colonne s'explique d'elle-même.

La sixième colonne comprend les angles des cordes, qui s'obtiennent en ôtant des angles sphériques les excès sphériques correspondans.

Enfin , la dernière colonne donne les angles moyens qui servent pour résoudre les triangles sphériques, parle procédé de l'art. i5o.

A l'aide de ce tableau, et de la base de Melun à Lieursaint , réduite à sa corde , on aura les élémens nécessaires pour déterminer tous les côtés du réseau ^ soit par le procédé actuel, soit par les deux précédons.

La méthode de réduction au plan des cordes a été suivie pendant long-tems au Dépôt de la Guerre; mais maintenant tous les registre» géodésiques sont rédigés conformément au principe de l'art, loo, qu'on appliquait comme par instinct, même bien avant que M. Legendre en eût prouvé la légitimité.

Comme nous sommes entrés dans assez de détails sur cette matière , nous nous bornerons à observer que la longueur d'un des côtés les plus éloignés de la base mesurée , doit être le milieu entre tous les résultats qui dériveraient du calcul de différentes chaînes de triangles , auxquelles ce côté serait commun.

i56. Déterminer la position d'un lieu d'où l'on aperçoit trois points donnés sur la carte.

Si du point D (fig. 34), élevé au-dessus du plan ^BC supposé horizontal , on a observé les angles ^DB^ ADC^ ainsi que les distances au zénit des points A^ B^ C dont on connaît les distances respectives; on réduira à l'horizon les deux premiers angles, afin que le point D puisse être considéré comme le pied de la verticale abaissée du lieu de l'observation sur le plan ABC, et pour lors, avec deux des distances horizontales^/?, BD, CD dctermiaéespar le calcul, on fixera la projection de ce lieu; c'est ce que l'on va voir.

Nommons /3, y les réductions à l'horizon des angles observés -^Z?C, ADB. Soient en outre DA = Dy DB^D', DC=D^', angles I. 5o

smy

i54 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

uéBD c Xj a CD s^'y et enfio adoptons, pour k triangle ABC^ kl notation de Part. 47.

Cela poaé^ les triangles ABC^ ADB donneront respectivement

d'où

hniny ^^^^ sîn x csin/S *"* sinjf'

et par suite

smar + sin^ __ bs\ny + cs\nfi ^^ j^^^ tang | (x 4-^) __ "^^siny ^ •in X — Hny fcainy — cain/B' tang ; (x — J')"** csin^S

Or, si par hjpothèse on &it

- c sîn >0 / \

l'expression précédente deyiendra

et si pour abréger on &it

on aura

tang.==ÎÎIiii^ = cot.^

t étant connu , on aura sur-le-champ

€ changerait de signe si sa tangente était négative.

Quant aux valeurs de 27, D'^ D'^ il est évident qu'elles sercmf données par les équations

i 8În y c sîn X

sin y8 Mn y

D' = ^^'"(-y + y) . g sin (^ >- C) f

siny sin(^ + y) A W*

JO" = i^îiill+jf) Q sin(x— ;?)

Cette solatkm^ que l'oâ 4oit à M. Delambre, n'exige b construction d'aucune figure ; elle nous parait la plus simple et la plus com* mode de toutes celles que l'on pourrait donner du même problème.

Quoiqu'il soit aisé de se rendre compte des changemens que les formules ci-dessus éprouvent suivant la position du point D à l'égard du triangle ABCj nous ferons cependant les remarques suivantes ; 1*. si le point A était dans l'intérieur du triangle £C0, on aurait

c'est-à-dire qu'il faudrait prendre le complément à 4 angles droits de l'angle ^^/du triangle ^BC;

a*, bans la même circonstance , il fiiudrait mettre x+Bety+C dans les valeurs de ly et de D' , parce que les angles B , C seraient extérieurs au quadrilatère DBAC^ au lieu de lui être intérieurs comme dans le premier cas;

3*. Lorsque le point D sera dans Fintérieur du. triangle ^BC, la somme des angles observés fi+y^ sm^passera nécessairement deux angles droits;

4*. Si le point D était placé sur la ligne BC=ay la somme i3-f-> vaudrait précisément deux angles droits^ et l'on aurait

sinjSssinj', tangz=^;

£ serait la différence des angles connus J3, C, et alors

Dans le même cas , on aurait '

-ru asino -ru» asino

sin o ' 81X1 o '

expressions qui laissent Z7' et 77' indéterminées ; ainsi, ces distances ne pourront être calculées que par les formules

jy __ c sin (g + y) jy;__ ft8m(C + /g)

ainy ' ainy '

5*. Enfin, si x +y = a^, on a sin jc = sin/, et pour lors l'équa- ^^° ^ = .lï]? 8« «^'»* * rsrf = ^- Q»a°* a l'equation

a^ — î (-^+ /3 + y\ elle donne, dans la même circonstance,

a56 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

i (-^4-/34->) = i^5d^)ùi8-f.7=a<i— \^ : propriété qoi appar^ tient au quadrilatère inscrit. Ainsi, les quatre points D^A^ CyJ3 étant sur une même circonférence, le problème est indéterminé.

Ce problème est non-seulement utile pour trouver les positions des points secondaires d'une carte, et savoir d'avance si l'emplacement d'un signal que l'on se propose d'établir, donnera des triangles assez bien] conditionnés, mais encore pour déterminer les distances qui servent d'élémens dans les réductions des angles que l'on aura observés près de ce signal : passons maintenant à son application.

TYPE DU' CALCUL

Supposons que les angles observés en D et réduits à rhorizon

soient

/3 = 57S63io

y ;^ 60 ,3535 jS 4. > = 97 ,8845,.

et que dms le triangle ABC

A = 86^,3406, log 6 = 4 ,0211893^ log c s=s 4 ^170361 7 j on aura

u/= SG^Sifos iogc= n^^o^Zvf

/S 4- y — ^^ ,8845 /ain^ss 9,7^^0735

A + fi+y =184 ,aa5i *^°°^P- ^^6 * - 5,9788107

i(^ + ^ + y) = Q^ ,na5& comp.logsiny = o>09079"

S = 107 ,88745 log ttiig*=— 48^9694 = 9,9859370

X Qû 66760 '^^^^ 98^9694 = 8,3093337

.JllILl , /.taDg S - 0,9047133

■> ... 37 ,63100 ïogtaiig. = -8',33976 1^ - g.iiSgSGa-

so 99 >65769

x + y. . . . iSg ,91119.

On a marqué du signe — la tangente de €, parce qu'elle résulte dix produit de deux facteurs affectés de signes differensj en effet,. la

tangente d^on angle aigu est positive, et la tangente d'un angle obtus est négative.

^ Ensuite,

log b j=z 4,031 189S log c = 4*170^61^

logôiujr = 9,9869308 /.sin X = 9,9999937

c.logsin/B = 0^3539265 c.logsiny = 0,0907911

Jog D = 4,a6io466=s i8fl40|93 log D = 4,a6io465 == 18^40^93

log C =s 4/I703617 log b = 4>oaii893

logsîn(x-4-y) = 9,7700614 /.sin(y4-/8) = 9,8aa347o

c.logsiny = 0,0907911 c. log sin /S = 0,22639265

logiD' = 4,o3uo4a = 10743,47 logD' = 4i09746a8 = 13616,92

Il conviendra de calculer D' efrZ?" par les autres formules (4), ce qui servira de vérification; et si l'on désire avoir ces distances avec plus d'exactitude , il &udra employer les logarithmes avec 8 décimales.

' On détermine encore la position du point D par une construction qui dispense de tout calcul y puisqu'il ne s'agit que de décrire sur ^B et ^C des arcs respectivement capables des angles observés 7 et jS : sur quoi, voyez la Trigonométrie de M. Legendre, ou celle de M. Lacroix.

167. Trouver la plus courte distance de deux lieux dont on connaît la longitude et la latitude géographiques.

i"". On demande la plus courte distance de Paris au cap de Bonne- Espérance?

D'après la Connaissance des Tems, latitude de l'Observatoire royal de Paris = 48* M i4t' ^ complément ou col^titude. c c=s 41*9' 46"

Latitude australe du cap de Bonne-Espérance = 33*65'i5"; de là, distance au pôle boréal b == ifl3*55'i5'^

Longitude orientale du même point, comptée de Paris. ^ ^ i6*3'45".

fioit.donc ^ le pôle nord, B Paris, C le cap de Bonne-Espérance;

on aura, pour résoudre le triangle sphérique ^BC^ dans lequel on

connaît deux côtés et Tangle compris , les deux formules de Fart. 76^

savoir :

tang ^ sss tang c €08 ^^

sM TBAITÉ DE GÉODÉSIE.

Opérant par logarithmes, oo a

log-tang c = 9,94i654o log cos c =: 9,8767045

log.cos ^ = 9^2-o 55 c.log cos^ = 0,1159718

log.tang f = 9.924559T /.cos (6— ^) = 9,0274255

f = 4o* a' 7"7 ïog cos a = 9,0200996

& = ia5. 55.15 a = 83*59'i6"8

Térifioos ce résultat aa mo^'en des deux formules

tang 9' = taog b cos ^,

cos b . , ^

COS a = > cos (c — tf>0 ;

tang 6 == 0,1735077 — 00s 6 c=: 9,7466706 —

comp. cos ^' =s 0,2415698 + cos (c — tp') = 9,o3i859o —

cos a =: 9,0200994 + a = 85^59'i6'',8

Il s agit maintenant d'évaluer Tare a en mjriamètresj or, k quart du méridien étant de 10 000 000 de mètres, on a 90*= 1000 raj* riamètres; et puisque a = 85*,988, on trouve proportionnellement que a = 955 -^ myriamétres. •

:2\ On demande la plus courte distance de Bordeaux aux îles Mispalu ^^ youveUe-Guinée ) ?

Lonplude ouest de Bordeaux, 2*^54' i4"

Longitude est dos îles Mispalu , 129.47 . 5

Sonnno ou diiR'T. dos méridiens, ^4 = i52 .4i . 17

I^aitudo nord de Bordeaux, 4 **5o'i4"j colatitude, c = 45* 9' 4fe" Latitude sud dos Hes Mîspalu, o*i9'i5"j distance an polo J = 90. 19. i5.

Si donc dans le triangle sphcrique ^5C, B désigne Bordeaux,

cos^ =

tang f' =

= o,i55oi32 —

= — oj* 00 d:>

C les îles Mispalu, ^ le pôle nord, on aura, comme ci-dessus,

tang ^ = tang c cos A^

cos a

de là

C08C COSf

tang c = 0,0024677 + cosuf = 9,83i2338 —

tang^ = 9,8357015 —

cos (6 — f)i

cos c = 9,8483477 c.cos^ = 0,0829109

cos (6 — (p) = 9,7543360

cos a = 9,6854946

a =-— 6i* o'2o^x 124.36.35 ,1 supplém. ou a =5 ii8.69.39,9<

Cherchons ce résultat directement par la formule

cos a = cos b cos c + sin 6 sin c cos A.

1*' terme. a* terme.

Jog.sin b log . sin c

lOg.COS-rl/

log 2* terme

log. cos & = 7,74 81 546 — log .cos c = 9,8482477

log i«' terme = 7,5964023 —

i« terme f= — 0,0039482 2* terme = — 0,4807755

cos a = — • 0,4847235 log cos a = 9,6854941 — .

Ces deux méthodes conduisent donc à la même Valeur de a; ainsi, en procédant d'ailleurs comme ci -dessus, on trouve que a = 118^9944444 = i322 ySô mjriamètres.

i58. Les trois côtés d^un triangle sphériqiie étant donnés, trouver les angles au moyen des logarithmes à dix décimales.

Soient^Ç-^, h les côtés donnés, et F, G, if les angles cherchés. Le tableau suivant fait connaître ces trois côtés, avec leurs log-sinus et log-cosinus tirés des Tables de Ylacq.

Cotés domiés.

/= 76'35'36" g = 5o.io.3o h = 4o. o.io

Log-sînus.

Log-cosinus.

a4o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Afin de donner un exemple numérique de la méthode de Tart. loS, nous calculerons la formule

dans laquelle nous ferons A = — ^^f-^ i • pour lui donner cette

forme :

cos F= — cot^cot h (i — ^).

Or» par l'article cité, Ton a log ^ = log a ± r,

ar a fâr^

log (i — ^) = log (i — a) :p j^iTs — (Tir^.-^ *»=' «**'• î

arrêtant cette série au terme en r*, ainsi que cela est permis quand la différence r est très petite; puis supposant que

log (i — ^) = log (i —a) zpR, et r" = ~j,

on aura évidemment

/î = ar'(x=fc^);

enfin, prenant de part et d'autre le logarithme Tulgaire, il viendra, à cause de ftjfsz i ,

log 2Î = log a + log r ± -•

TYPE DU CALCUL

log. cos y = g^365aâ 78723 — -/.cosgfcos A = 9,69071 80464

différen. log A = 9,67460 98269 valeur approchée a = 0,47^62 log a = 9,67461 20969 1 — a = 0,62738

r= o,oooco 227^ '^5^ = loga — r

log r = 4>366o2 69 — log(i — à) = 9,72212 37 log(i — a) = 9,73212 36669

log r» = 4,63390 ^ ^ = + ^^^^

log a = 9,67461 21 log(i — A) = 9,72212 66902

=» — aa /.cotgcot// = 9,99726 18916

log R = 4,3o84i 21 log (— cos F) = 9,71938 76818.

Cette méthode et cet exemple ont été domiés par M. Legendre , dans la Connaissance des Tems de 1819. Des calculs semblables conduiront à

log^ cos . G = 9,86g53 59734,

log cos J7= 9,91728 GoSiS,

et les tables citées fourniront , d'après ces valeurs, les résultats suiyans :

jF= i2i»36'i9'',8639o,

On pourrait déterminer le sinus de chacun de ces angles, de jFpar exemple, en &isant ^ = cos* Fj et procédant comme à l'art 107. Voyez au surplus le Mémoire de M. Legendre.

Pour donner une nouvelle application de la formule générale d'ûi* terpolation rapportée à l'art. 106, je vais chercher l'angle G, dans une table qui donne les sinus et cosinus logarithmiques de minute en minute; or, j'y vois que cet angle, donné par s^n cosinus, est compris entre WiS' et43*l6^En s'arrétant donc à a = 43'' 1 5', et ayant seulement égard aux premières et secondes différences, on a

log cos G = 9,86933 39734 = y log cps 43'' i5' = 9,86935 97165 =: A

La même table donne ^A = — 1147947 , ^^A = — 671 , A =1 60" j ainsi

7i = ^i^ = o,3s4, l=ijv.^-a„, et plus exactement,

;i=:Zli5|4^ = 0,33431;

enfin

G = a + nA = 43*i5'+o,3343i x 6o" = 43*i5'i3",4586. Si la table était calculée pour des intervalles de 10'' comme celle de Vlacq, qui a pour titre, Trigonometria arUficialis; on aurait précisément le résultat ci-dessus.

94a TRAITÉ DE GÉODÉSSE,

TBS