CHAPITRE XL

JDu tracé et du ccdcul de la méridienne terrestre, et de» perpendiculaires à cette méridienne, etc.

i5g. jljs concevant un plan par Taxe de rotation de la Terre, et par le zénitd'an lieu de sa sur&ce, ce pTan , prolongé jusqu'aux limites de kl sphère céleste ^ y tracera la circonférence d'unrgr^nd cercle cpif 8era le méridien de ce lieu. Tous le» points de la sur&ee de la Terre qui auront leur zénit sur cette. circonfereM^ seront sous le même méridien céleste , et formeront le méridiœ terrestre correspondatit Ta l'immense grandeur du rayop de la sphère étoilée , les vertSsi^hs de tous ces pointa peuvent être eenséesrpairalléiesau plan du méri<&en céleste : on peut doiK$ définir leméridien' terrestre upe courbe Ibrmra par la jonctioadespiedside tontes les^ verticales parallèles: au plan du méridien céleste. Cette courbe s'écarte de ee plaq,. si la Twre est un sphéroïde irrégulier, et alors elle ^^tk double courbure; mais elle est toute entière dans ce plan, si la Terre est un solide de révolution; car toutes les normales à là surfiice de ce solide nencontrant l'axe de rotation, celles qui passent par les points de la courbe génératrice sont nécessairement dans le plan de cette courbe , et par conséquent dans celui du méridien céleste.

Si , par le moyen d'une lunette dirigée vers le pôle élevé , et dont la propriété est de se mouvoir exactementdans un plan- vertical, on place au loin vers le nord et vers le midi deux signaux dans l'axe optique de cet instrument; puis si l'on transporte la lunette à I'ub de ces signaux, et qu'on la dirige sur le premier lieu de l'observateur pour faire placer d'autres signaux de la même manière, et ainsi de suite, la ligne menée par tous ces signaux sera la méridienne terrestre, à laquelle en donnera autant d'étendue que fe terraich pourra le permettre.

Au lieu de tracer effectivement cette ligne sur la sur&ce dé lis Terre, on emploie une construction qui fournit le même résultat : voici en quoi elle consiste.

ÏJVRE TROISIÈME. a45

Soit jtiB<33E.... (fig. 34) une chaîne de triangles étendue dans le eem du méridien ^ et dont les côtés ^ calculés par la méthode de Fart. iSo, sont de très petits arcs du sphéroïde terrestre. Supposons que l'on connaisse par l'observation Vazimut ou l'inclinaison du côté ^C sur le premier côté AMàA la méridienne; alors on trouvera , par la Trigonométrie, le point M où cette courbe rencontre le côté BC. Les points A^ B, C étant dans un même plan horizontal, la ligne ^JU sera de même dans ce plan, et représentera par cc^ séquent une tangente à la sur&ce de la Terre ; mais le prolongement MJkT de cette ligne se trouvera au-dessus du plan du second triangle horizontal BCD^ si donc, sans changer l'angle CMM'y on rabat la ligne MM' sur le plan de ce second triangle BCD^ en la disant tourner autour de jSC comme axe, le point M' décrira un très petit arc de cercle qui pourra être considéré comme une droite perpendiculaire au plan BCD; ainsi, l'opération se réduit à plier le côté IHM' suivant une verticale , et à calculer la distance uiM' pour trouver la position du point JIT. En pliant ainsi de proche en proche les parties de la méridienne sur les triangles horizontaux correspond dans, on aura, à l'aide du calcul, la direction et la longueur de cette méridienne, depuis une extrémité de la chaîne des triangles jusqu'à l'autre.

Nous ferons remarquer k cet égard, que l'on emploie les angles sphériques de chaque triangle , c'est-à-dire les angles horizontaux corrigés chacun du tiers de la quantité dont leur somme diffère de deux angles droits plus l'excès sphérique (art. i5x). Ainsi, dans le premier triangle ]jartiel ACM^ on connaîtra les deux angles^, C; le premier est l'azimut supposé observé avec une grande précision , et le second est un des angles sphériques du triangle ABC. An moyen de ces deux angles et du côté ^C connu, l'on évaluera, par la méthode de l'article cité, l'excès sphérique fidutnangle^CJIf,etle troisième angle sphérique Jlf sera = aoo» +€ — A — C; alors, ôtant j e de chaque angle, leur sonmie sera réduite à deux angles droits , et l'on pourra, par ce moyen, procéder, comme à l'art. i5o, pour déterminer le côté A M et le segment CMj c'est-à-dire que l'on aura ces deux proportions :

sin (aoo» — ^-- C+ j $): sm(C — ^ ê) :: AC : AM, sin (aoc — ^— C+IO : sin (-^— ^ ê) :: AC: CM.

fl44 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Si Poh traite de la même manière le triangle ^i7Jf dans lequel les angles sphériquesu^,B seront connus,on obtiendra le segment^JI^ et, en l'ajoutant à CM^ la somme devra être égale à BC déterminé directement.

Il est évident que le second' cAté MM' de la méridienne se déterminera par un procédé tout pareil, puisque dans le triangle BMM' l'on connaîtra le côté BM et les deux angles adjacens B, M, mais lé(^ résolution du triangle ^BM donnerait immédiatement AM. 'Pbur abréger ainsi le calcul de la méridienne, il iaut faire un choix de triangles bien conditionnés (art. 109).

Quant à la partie M' M' qui se trouve extérieure à la chaîne des triangles , on pourra l'obtenir ainsi qu'il suit : on prolongera CD jusques en N^ afin de former le triangle MCN dans lequel le côté CM et les angles Q^seront connus, et l'on déterminera, comme ci-dessusy ' les côtés MN^ CN et l'angle sphérique N. Aiùsi, dans le quadrilatère ' sphérique NDFM", l'on connaîtra les trois angles, DNM'^ supplément à deux droits de CNMy NDF supplément à deux droits de CDF, et DFM' supplémentà quatre àro\\&ii^DFE^EFQ+GFHi on pourra donc résoudre le triangle DNFy c'est-à-dire déterminer, par la méthode exposée à Tart. 1 55, les angles sphériques27iVF,Z>.F!Ar et le côté NF^ diagonale du quadrilatère proposé. U résultera de cette détermination, que dans le triangle NFM" l'on connaîtra le côté NF et les deux angles adjacens, savoir l'angle FNM'=i aoo' — CNM— CNF, et l'angle NFM^'^DFM" — DFN, ainsi l'on pourra calculer les côtés NM' et FM^', passer de là à la détermination de M''M'^ à l'aide du triangle M^'HM'"' qui offrira pour données le côté M''H=:FII—'FM"el les angles sphëril^es ad jacens il^T', M'^HM"'y enfin, arriver à l'extrémité M^' de la méridienne.

160. Une ligne tracée ainsi qu'il vient d'être dit, ou déduite des mesures trigonométriques, par le moyen que l'on vient d'indiquer, se nomme ligne géodésique : elle a la propriété d'être la plus courte que l'on puisse mener entre ses deux extrémités sur la surface de la Terre, et elle y mesure par conséquent la distance itinéraire des lieux; c'est ce que Ton démontrera plus bas. A la rigueur, cette courbe diffère un peu du méridien terrestre, et c'est un feit dont il est facile de se rendre raison j car pour que la ligne que déterminent les opérations géodésiques coïncidât avec le méridien terrestre, iJ

fiiudrait que les verticales des points A^M^M\ M^' fassent parallèles au plan du méridien céleste ; c'est-à-dire à celui qui passe par la verticale du lieu A et par l'axe du monde ^ circonstance qui n'a pas lieu lorsque la Terre n'est pas un solide de révolution. Cependant, dans l'état actuel des choses , la diSerence entre les deux courbes dont il s'agit est si petite y qu'il est inutile d'y avoir égard.

161 . Maintenant, si l'on imagine un cercle perpendiculaire au méridien céleste, et passant par la verticale du Ueu de l'observateur, il représentera le premier vertical de ce lieu. La suite de tous les points de la sur&ce de la Terre qui auront leur zénit sur la circonférence de ce cercle, formera la perpendiculaire à la méridienne, que l'on tracera absolument comme la méridienne elle-même.

Dans la sphère, les perpendiculaires à la méridienne sont des grands cercles qui se coupent tous sur l'équateur, en deux points diamétralement opposés; mais dans l'ellipsoïde de révolution, et à plus forte raison dans le sphéroïde irrégulier, ces perpendiculaires concourantes sont des courbes à doublé courbure. £n effet, soit A un Ueu situé entre le pâle et l'équateur, et u£BB! (fîg. 36) la perpendiculaire a la méridienne Pui ; le premier côté AB de cette ligne sera dans le plan uéMB déterminé par la verticale u4M et par le côté AB. De même le second côté BB' sera dans le plan BNB'^Bl^ étant la verticale du pointa : or, on verra, au chapitre suivant, que CM> CN\ la verticale Si^sera donc inclinée sur le plan AMBy il en sera de même de la ligne BB^ qui représente le prolongement de ABj plié suivant une droite parallèle à BN. On prouverait pareillement que B'S' s'écarte du plan BNB^ , et ainsi de suite; donc les quatre points AyB\B\ B"' ne sont pas dans un même planj donc enfin la perpendiculaire à la méridienne est en général une courbe à double courbure.

Quelle que soit la nature du sphéroïde terrestre , les parallèles à l'équateur sont des courbes dont tous les points sont à la même latitude : sur le sphéroïde de révolution, ces courbes sont planes et circulaires.

16a. La situation d'un lieu est déterminée, lorsque Ton connaît la perpendiculaire à la méridienne, ou le parallèle sur lequel il se trouve, et sa position sur cette perpendiculaire ou sur ce parallèle*

a46 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Donc lorsque tous les triangles qai forment le canëVas d*oiie carte géographique ont été calculés et orientés d'après les principe» exposés précédemment, on obtient les portions respectives des scmimetsde leurs angles, par le moyen de leurs coordcmnées ou de leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire du lieu principal. Voici comment on calcule ces distances par la méthode de M. Legendre , et lorsque les sommets des triangles s'écartent peu de la méridienne. Supposçns j comme ci-dessus, que les triangles ^BCy BCD (fig. 34) fassent partie d'une chidne quelconque d'autres triangles dont les cdtés soient des arcs der grand cercle d'une sphère ayant pour rayon la distance du niveau de la mer au centre de la Terre , et que Ton connaisse par l'observation l'angle CAX qui mesure l'azimut z du côté ^C, ou son inclinaison par rapport à la méridienne ^X^ on calculera, par la méthode de l'art. i5a, Texcès sphérique c propre au triangle rectangle ^cC, et Ton établira ensuite ces deux proportions, pour trouver -^c, Cc^

6^01(100^ — |«):cos(z-p-|£)::-^C:u^c=x, sin^ioo' — |€):sin(z— j£) ::-^C: C2c =7.

L'azimut de ^B est connu immédiatement à cause de

B-</X= CAB — C^X\ et, si on calcule l'excès sphérique c' propre au triangle ABM\ on aura

uéMB — aoC — M'AB — ABM! + ^^

Pour déterminer les côtés ^M\BM^ ^ il faudra, comme nous l'avons déjà dit, ôter de chacun des angles sphériques du triangle ABM! le tiers de £', et Ton aura ces deux proportions:

sin(2oo' — ^ — 5+^6'):sin(S — ^6')::^iï:^JIf', mi\^o^'-A — B'\'\i)\^\n{A—\é)\\AB\BM\

en désignant respectivement par^, jffles angles sphériques itf'^iff, ABM'.

On connaîtra donc dans chacun des triangles rectangles AhB , M'dD^ deux angles et l'hypoténuse, c'est-à-dire tout ce qu'il faut pour déterminer les côtés Ab^ bB, et Jf rf, dD. Donc les distances des points ByD ahx méridienne ^Xet à la perpendiculaire^ léseront connues.

LITRE TROISIÈME. îi4^

Traitant de la même manière le triangle ACNon MDNj pour avoir u^Net DN prolongement de CD^ et ensuite le triangle JDiV!F, pour connaître le côté NF^t les angles DNF^ DFN^ il sera fecilc de calculer les coordonnées du point F.

La distance/i^etjes angles DFNy NF/élàtA connus, on aura

/FP=:20o''^EFD--'DF]>r^KFfi

car tous les angles horizontaux autour d'un même point de station valent quatre angles droits : ainsi dans le triangle rectangle/i^P on connaîtra deux angles et un côté; on pourra donc calculer Texcès sphérique qui lui convient, Tangle FP/ei les c&tés/F yFF. Résolvant ensuite le triangle rectangle eEF^ on aura de même la position du point E à l'égard de la méridienne u^Xet de sa perpendiculaire ^Yy c'est-à-dire les distances Ee, Ae = AP — eP. M est nécessaire, avant tout, de figurer, d'après Péchelle, la chaîne des triangles observés, afin de voir si ceux tels que ACNy eEP^ etc. , que l'on forme pour faciliter le calcul dés distances à la perpendiculaire et à la mé* ridienne, n'ont pas des angles trop obtus ou trop aigus.

Telles sont eii peu de mots deux des méthodes de calcul que l'on peut employer pour trouver la longueur d'une ligne géodésique quelconque comprise entre deux points tels que A et X Mais en considérant la ligne ^Xcomme une méridienne, on voit que l'on détermine en même tems les azimuts d'un grand nombre de côtés de la chaîne; on peut donc vérifier si les azimuts conclus de la sérïê des triangles s'accordent avec ceux qui résultent de l'observation.

r^ous exposerons plus tard une méthode analytique beaucoup plus commode que les deux précédentes, et applicable, soit à la détermination d'un arc dé méridien , soit à celle d'un arc dé parallèle.

i65. Afin de donner un exemple du calcul rigoureux destliMahces à la méridienne et à la perpendiculaire, supposons que ^ soit le Panthéon, et B Dammartin. Dans ce cas, l'azimut BAX compté du nord sera z = 5i',4oo3, et le logarithme de la distance ABcm K seralog iC= 4,6^49711.

Il s'agit d'abord d'évaluer l'excès sphérique du triangle rectangle ABb'^ or, on a (art. 100)

s étant Taire de ce triangle ; partant

log F = 9 ,69897 s log JK == 9 ,o49g4

sin z s 9 ,85883

cos z = 9 ,8397 a

log ^ = 8 ,44746 log.constt fl,ig6i3

log. excès sph. c ss 0,64558^ e == 4'\4oi

delà z — f € = 5i',4oooo7, z — ji=5i',4ooi 53}

et à cause de

on aura, en convertissant l'excès sphérique en parties da rajon dans le fkcteur [1 + iV ^ • • .], pour satisfidre au principe de Thomogénéité,

log JC = 4 ,5a497ii 4 ,6949711

l.cos(z — y 6) = 9,8597311 l.sin(2 — ^€) =3 9,8688196

log !•' terme = 4 ,36469221 log i«' terme = 4 ,5838oo7 de s, àey^

logiV = 8,74473 8,74475

alog € = 1 ,28716 1 ,28716

2sin 1'' = 8 ,39224 8 ,59224

log 2« terme = 2 ,78882 log 2« terme = a ,80795

2** terme s= o",ooopooo6i5 2* terme = o*,ooooooo642.

Ces seconds termes sont tout-à-Ëdt insensibles ; ainsi en s'en tenant aux premiers, on a

i64. Les géographes emploient pour calculer les distances à la méridienne et à la perpendiculaire, un procédé un peu plus commode et qu'il importe de faire connaître, quoiqu'il ne soit pas aussi

rigoureux que le préccdent. Ils mènent par tous les sommets des triangles des parallèles à la méridienne et à la perpendiculaire ; par ce mojen , les côtés de ces triangles deviennent les hypoténuses des triangles rectangles qu'ils calculent en partant de Tazimut connu^ et sans tenir compte de Texcès sphérique, parce qu'ils considèrent tous les triangles de la chaîne comme décrits sur une surface plane. Par exemple y la résolution des triangles rectangles ^PM^ ^P'M' (fig. 37) donnera les coordonnées absolues xy, x'y' des points ilf , M'. La résolution du triangle Jf'Jf ''6 fera de même connaître les distances relatives bM!'^ bM'i et conune les coordonnées absolues du point JM!' sont x'y'j on aura

Pareillement, lorsque Ton aura calculé les distances dM!'^ dM"\ on aura, pour coordonnées absolues du point M'" y

x''' = ^P"+dM", fz=^P'3r'^dM'%

et ainsi du reste.

C'est de cette manière que les distances des lieux de la France à la méridienne et à la perpendiculaire qui passe par l'Observatoire de Paris, ont été calculées par Cassini. Nous ne nous arrêterons pas à montrer comment on détermine les angles aigus des triangles rec^ tangles M^bM'^ M^'dM"'. . . ., ou les angles d'inclinaison de leurs hypoténuses par rapport à des parallèles à la méridienne , parce que cette opération ne présente aucune difficulté, dès-lors que l'on connaît l'azimut de départ ; mais nous ferons observer que lorsque l'on enregistre les distances à la méridienne et à la perpendiculaire, il importe d'indiquer le sens dans lequel elles doivent être prises; or, à cet égard, on peut adopter la convention établie dans la théorie des courbes, relativement aux signes; par exemple, admettre que dans la région sud-ouest, limitée par la méridienne et sa perpendi* eulaire, les coordonnées Xy y sont positives. Alors les signes seront donnés par le tableau suivant :

Région sud-ouest + *i + y t

Région nord-ouest: — x, -f- y >

Région nerd-cst — *> — y^

Région sud*est 4- «> — •/•

35a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Si, dans le calcul des distances à la méridienne et à la perpendî*culaire, on désigne par K le côté connu, et par Z son angle d'incli* naisoQ avec le méridien d'nne de ses extrémités , compté du sud à Fouest et depuis zéro jusqu'à 400^, on aura généralement

X == K eosZf y=^K sin Zi

en sorte qu'en observant la règle des signes de sinus et cosinus (art. 46), on saura de suite à quelle région appartient x et y.

Équations différentielies de la ligne géodésique, déduites du

mode de son tracé.

i65. Soient, comme ci - dessus, ^BC,£ CD (fig. 58) deux triangles consécutifs d'un réseau , et u^M = ds l'élément ou le premier côté d'une ligne géodésique quelconque, MM' le prolongement de cette lîgue.Si l'on prend MM'=dSy et qu'on le plie suivant la verticale 3f'J\r, au eecond iriangle^CjD, on aura JUN ou ds' égal à ce prolongement, et cela à un infiniment petit près du troisième ordre; car l'angle MM'N = i étant considéré comme un infiniment petit du premier ordre, on a, à cause du triangle rectangle élémentaire M'NMj

ds' = ds cos i = ds (1 —5) = ds ^,

en négligeant les termes d'un ordre supérieur à /* ; mais - cb est

une quantité du troisième ordre; donc ds' ^^ds; donc la propriété d'une ligne géodésique s résulte de ce que sa dilférentieUe ds est constante.

D'un autre côté, la normale

M'N= ds sin i = ds (i — ^J =z(/^ — ^ dsy

ou simplement M'N^=' ids; donc la normale comprise entre le pro* longement du premier côté de la ligne géodésique et la sur&ce terrestre est du second ordre. On remarquera que puisque la ligne géodésique u4MN est égale à la distance rectiligne AMM.\ cette ligne jouit nécessairement de la propriété d'être la plus courte entre tontes celles que l'on peut mener sur la Terre, entre ses extrémités A, N. En effet, ABM' > AMM = AMN-, mais

u4BM' = ABN k un infiniment petit près du troisième ordre j àK^n^ABN>JiMN.

Maintenant, soient jc,y, z les coordonnées rectangles de l'origine de l'élément dsy ou du point ^ du sphéroïde terrestre ; celles de l'extrémité Jf de cet élément seront x + die, ^ + {(y , z H- (/z, et les coordonnées du point M'y extrémité du second élément MM' =:dsy seront évidemment

x + 2dx=Xy y + 2dy=:ry z + 2dz=:Z.

Mais nous venons de démontrer que la petite normale M'Ny ou la perpendiculaire au second triangle BCD est du second ordre ; par conséquent elle peut être considérée comme la diagonale d'un parallélépipède rectangle dont les côtés seraient du même ordre, c'està-dire ddxy ddy, ddz. Ainsi, les coordonnées du point iV, ou du pied de cette normale, seront

x+ 2dx—ddxz=X'yy+2dy — ddy= T', z+ ack — ddz=zZ'.

Or, par la théorie connue des surfaces courbes (Traité élément, du Calcul différentiel de M. Lacroix , ou mon Recueil de propositions de Géométrie y a^ édit., pag. 394), on a en général, pour les équations des projections de leur normale ,

p = (^), q = (j-) étant des coefficiens aux diflFérentielles partiellesj on a donc, pour le cas dont il s'agit,

ddy H- qddz = o J ^ ^

D'ailleurs , lorsque u =/{x , jy , z) = o désigne généralement l'équa* tion d'une surface courbe,/ étant le signe d'une fonction quelconque, son équation diiFérentielle est, comme l'on sait,

mais, en supposant aussi l'équation de cette surface représentée par z = ^ (x , jk) > on a de même , pour son équation difiTércntiellc ,

s5a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

de là on tire aisément

"Enfin, substituant ces yaleurs dans les équations (u^), il ylent

Telles sont les équations de la ligne la plus courte sur une surface courbe quelconque , puisqu'elles résultent de la propriété même de

cette ligne. Éliminant entre elles ^ J , on a, pour troisième équation de la plus courte distance ,

Ces trois équations seront donc celles d'une ligne géodésique^ si 1^ = o exprime l'équation de la surface terrestre {yoyez aussi sur ce sujet le Calcul des f^ariationSj par M. Lacroix, ou celui de M. Francœur).

166. Pour première application, supposons i£=:x*-f:>^*4-2' — 7^=0, c'est-û-dire considérons une sphère du rayon r; les trois coeffîcieiis aux différentielles partielles seront évidemment

/du\ /du\ /du\

U)=^*' (ip)==^' U)="^i

ainsi, en divisant par ds chacune des trois dernières équations {précédentes , on aura

zd^ \d*z

ds 5r~^'

xdy yd\x

ds ds """

(%)iiy-Odd, = o.

Puis intégrant, il viendra

zdy — ydz = ^ds^ zdx — xdz = Bdsy xdy — ydx = Cds'y

UTRE TROISIÈME. a55

jiyByC étant des constantes arbitraires introduites par l'intégration. Enfin, multipliant ces équations respectivement par x^ — ;/, — z, qui sont les coordonnées courantes de la ligne géodésique que Ton con-. sidèrej ensuite ajoutant, on aura définitivement

^x ^ By — Cz ^ss: oj

c'est, comme l'on sait, l'équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées ou le centre de la sphère. Il suit donc de là qu'une ligne de plus courte distance sur la Terre supposée sphérique, estefiectivement un arc de grand cercle* Nous examinerons plus tard les propriétés d'une pareille ligne , lorsque u = o représente l'équation d'un ellipsoïde de révolution, ou d'un sphéroïde quelconque peu différent d'une sphère*

Représentons par X\ X" les angles que les rayons de la sphère, menés aux extrémités de la ligne géodésique , font avec le plan des xyy et par ^' , ^" les angles de leurs projections avec l'axe des x. Soient de plus x^,y , z^ , et x^'y y, z" les coordonnées de ces miêmes eztrér mités i on aura

o(f sï= rcosX'cos^', y = rcosX' sinç' , «'= rsinX'j x" = rcosA"cos^", y = rcosA^sinç", 2*= rsinA"j

et à cause de l'équation précédente du plan, il viendra, par substitution,

^ cos X' cos ^ — ^ cos X' sin ç' — sin X' s: o, ^ cos A" cos ^" — -g cos X" sin ^" — sin A" = o.

Si l'on suppose que la ligne géodésique, partant du plan des xz, lui soit perpendiculaire, on aura J9 = o, 9' = o; ainsi

c = tangA, ê = -^> d'où

COS^''='^^'; ^ tang a' '

équation qui exprime évidemment une des propriétés connues du triangle sphérique rectangle.