CHAPITRE Xn

Recherche des formules pour exprimer en fonction de la latitude différentes lignes de r ellipsoïde de réçolution, et applications de ces formules au sphéroïde terrestre.

167. Avant de nous assurer, par des mesures géodésiques, sî la Terre est réellement un ellipsoïde de réyolulion, nous la supposerons telle. En conséquence, soit CE (fig. Sg) le rayon de l'équateur, et P le pôle. Si par te pointue cm mène la tangente ^Tk Parc elliptique PAEj la droite u4M^ perpendiculaire sur ^7; sera la normale en ce point, et l'angle u4LT=^ FAT^v^ la latitude Hàxi points. Soit de plus le rayon de l'équateur CE=:a^ celui du pôle CP=:b\ l'équation du méridien sera

ûy 4- i«x* = a^h^ (1),

X, y étant les coordonnées CFy FA d'un point A quelconque. Or, il résulte des principes du Calcul différentiel, que le rapport ^ exprime en général la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à une courbe fait avec Taxe des x\ Ton a donc

^ = cotfl^.

D'ailleurs, en différenciant l'équation (1), il vient ^ = — -^^ ; ainsi

— ~ = cet U (2).

Combinant entre elles les équations (1) et (2), on obtient aisément

OU éliminant les cotangentes et extrayant la racine qnarrce, on

trouve

a* C08 H b* sîn H

|/A*8in*iff+a*co8»H' ^ \/F^^H+a^coà^H

Mais si l'on désigne par e le rapport de rexcentricité de l'ellipse du

méridien au demi-grand axe, on aura e* = ^^ ; et si en outre l'on

change les cosinus en sinus, dans les dénominateurs des yaleurs précédentes , il viendra

a* cos H a cos H

b'^slnH a(i^e')8inir f \^)'

Maintenant désignons par N la grande normale ^JU; par jV' la petite normale -^L; par r la tangente -^^T; par r' la tangente ^T" j il est évident qu'on aura , à la seule inspection des triangles rectangles que présente la figure ,

ac = i\r cos JET, y=:r cos Jff, X z=z r' s\n Hj js=zN' sin It^

palpant, à cause des valeurs de x et j^ trouvées ci-dessus, N= — ^ = r,T=:y sec H=— — ^

A^'= ^= -îii^=i^, T'=xcoséc^=-.^^^

on a encore

sous-normale I«F= iV' cos Jï"s= ^C»— )co8 ^ ^

sous-tangente JT= r sm £[=i -^ ^^ — 2 — . — ^

CL = X — LF

(i — e»8m»iï)»

(1— e*sin*£r)i' ne* sin ^f

aaf=CZ.tang^=.

Enfin, soit r le rayon ^Cde la Terre; on aura, par ce qui précède ,

a56 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Cette dernière râleur est susceptible de prendre une forme plus simple y et yoici comment.

j68. Si on imagine une sphérepaE circonscrite à Tellipsoïde P^E^ laquelle ait pour rajon celui de l'équateur; qu'on prolonge l'ordon* née jPL^ jusques en a, et que parce point Ton mène la tangente aTi celle-ci et la tangente .^T se rencontreront nécessairement au même point Tsur l'axe CX\ car, remarquons d'abord que Tellipse donne

et le cercle circoBScrit

y^ étant l'ordonnée aF\ de là

jK*=S(a- — ap*), ety = a»-.^*j

et par suite

Mais sous-tangente dans l'ellipse =^ j^si^,

sous- tangente dans le cerde =^y ^-=i FI^;

de plus, à cause dé ^ = |, on a c(x' = -v^; par oxiséquent

Soit maintenant A l'angle aCFj et h l'angle ^CF ou la latitude géocentrique du point ^; on aura

tang X = ^ et tang A = *î^;

dirisant ces deux relations l'une par Fautre , on obtiendra définitif veulent

tang A = - tang A.

D'un autre côté, les triangles rectangles jdFT^ aFT donnant FT=^y lang^ssy tcmg A, on a

tangA = ^tangJÏ (6),

et par suite

tang A = ^. tang Jï (7); mais à cause de la relation (6) y ^

Jtanç» H

sin* X = tang* X cos* X = Y^fi^àl. = "^"T^ '

puis mettant pour tang Hy sa valeur — jj, et Êdsant attention que -;= 1 — ^•j on a définitivement

. ^ ( 1— e>)gin> £r^

Sin A SïS a • • rr «

partant, la valeur ci-dessus de r, désignée par (5), devient plus simplement

r^a (i—e^ sin*A)* (5'),

comme nous l'avions annoncé.

L'angle C^i^f de la verticale avec le rayon C^ étant représenté par â)| il est évident que Ton a

Mais

„ * t tangJT— -^ tangfl r tang H

tang H — tang h ^ x^ ___fl^

tang û)— 7qpi^„g jï tang A — ^jf' ~— ~f; 7~î

^ ° ° 1 + -^ tang £f 1 + -7 tang» //

si donc l'on change les tangentes en sinus , et que l'on ait égard à ce que sin* JSr= Lll22ïi«^ et sin 2 JET = asin H cos H,-on aura

(g* — A») ta ng H ^ {a" — h') si np/f je[l±L^'"/oN tang Cù — a^^b' tang- H — • a» — (a- — i ) sin* £f — a^-^b' ' „vO>

169. Pour achever de compléter ce systrme de formules, cherchons maintenant l'expression du rayon de courbure du méridien au point ^, dont les coordonnées sont x, y. Soit p ce rayon; on aura, par la théorie connue des osculalions, et eu supposant dx coustanlc ,

36o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

prend ordinairement pour représenter le rapport des demi-axes do la Terre, deux nombres qui ne diffèrent que de Punité.

Nous pourrions substituer l'aplatissement à Texcentricité dans toutes les formules précédentes, mais elles seraient éridemment moins simples, si l'on ne voulait pas y négliger les termes en «*> c'est-à-dire les termes du second ordre.

Comme elles sont d'un fréquent nsâge en Géodésie, rassemblons ici les principales , et désignons par ^ le rayon du parallèle dont la latitude est H^ auquel cas Ç = x j on aura

Normale terminée au petit axe , N «Normale terminée au grand axe, N^ Tangente terminée an grand axe, • r Tangente terminée an petit axe, t' :

Rayon du parallèle ,

Rayon de courbure dn méridien; f

Rayon de la Terre,

(1— c*sin*iy)*^

(i— Vain» if)* ^

a(ï — e*)tangfl'

(i — e'ain*£r)* a coKH

(i — a* sin» H)»

a cos H

(i — e* sin» H)^ a (i — 6*)

(i— e*8in*jar)î'

û (i — e* sin' A)* :

HetX étant liés par l'équation tang A s= - tang H. Dionis du Séjour et M. Legcndre appellent A la latitude réduite, par rapport à la vraie latitude H.

Enfin, ds étant la différentielle d'un arc s de méridien commençant à l'équatcur et se terminant à la latitude jHT, on a

Différentielle d'un arc dn méridien . ds = g('— O'^g

(i— c*sin»£r)^

Mais toutes ces formules peuvent être mises sous une forme qui les rende susceptible d'élrc développées aisément en séries : en effet, à cause de

i—e» tin» il

i-J + Jcosaff (i— 0(i+jj~;cosair)

si Ton Élit, pour abréger, n =S5 ^ ^ ^^ ^ il s'ensuivra que ô* s» Tx^t 1 — : ^ = ^-47- > «t que par conséquent

1 — e*8in"jtf i+/icosaff'

par suite

a(i + ii)* .., 6*/ i+n \ï

(i+ncosa^)*

fc'tangg/ i+i* y ^, g COt Jff" ' "'"" \''^

Quant au rayon de la Terre, son expression devient, en réduisant au même dénominateur , et ayant toujours égard à ce que

. . -y 1 — cos aH sm* H = ,

or, en faisant encore t—-^ =s n, et supposant de plus

-j =: n' , on aura

f an

partant,

l(i+/icosaiy)(i+n')J ^^^

•6s TRAITÉ DE GÉODÉSIE.