SÉRIES FONDAMENTALES

171. JuORSQU'oN élève au (fu&iTé chacune des expressions finies des lignes de l'elIipSoïde de révolution, le dénominateur se compose d'une quantité de cette forme : 1 + ^ cos z; ainsi l'on peut se proposer de développer en général la fonction —j^ 2» ordonnée sui-

vant les cosinus des multiples de l'angle z. Euler, ùboib son Calcul intégral^ a résolu complètement ce problème ; mais la théorie des exponentielles imaginaires conduit au but d'une m^ère beaucoup plus simple que celle employée par ce grand géomètre. En ^fet^ teignons que Ton ait

^yB^et^ ^ étant des coefiSciens indéterminés, et c la base des Ioga« rithmes hyperboliques : or , à cause de cos z = -^-- , on a

et si l'on réduit au même dénominateur les deux termes du second membre de cette équation, puisqu'on égale entre eux les termes homogènes , on aura ces relations

desquelles on obtient

jB(/3»— «•) = /3, jS*=i — \/x^n\ *•— /3«=aVi — «•;

LDTRE TROISIÈME. «65

«îmi

l + nCQBZ

Si, pour abréger, l'on fait ^ = m, ensuite que Ton réduise en série chacune des fractions ^—^ -7=^, ~ — ry= , et que Pon ait

i+m<ry-' i + mc-^y-'

égard à ce qu'en général cos fiz = -j "^on trouyisra définitivement

(A)...-— = j-(i— amcos z+nm^toa aa— am'cosSz+a/n^cos/^. ..)•

La même méthode s'emploie avec un égal succès pour réduire en série de cette forme la fonction log (i + ^ cos z). Pour le prouver,

soit encore mis ici -=- , au lieu de cos z; on aura

log (1 4- n cos z) = log (2 + nc*^'^^^ 4- ticT"*^^') — log 2 ; et parce que Ton peut supposer que

a et fi étant indéterminés, on aura, en dével(^pant et égalant la quantité rationnelle à la quantité rationnelle , et la partie imaginaire à la partie imaginaire ,

«•4-/3* s= a, afi = 71} ainsi ,

2/3= Va"(Y/i-f.7i— .y/'i— 7i), n

n am

et comme en général log (1 4- u)= i^ — — hg^— ••••? on trouvera, après les réductions convenables,

(B)...log(i4-ncosz)=log^4-log(i4-^c'*^^)4-Iog{i4-OTc"'^~)

=5— log^4-ail!f[/ncosz— ^/n'cos2z4-| w'cosSz — • . . •]>

d6i TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

ilf = 0|434ag448 étant le module des tables; ce qui est conforme an résultat auquel Euler est parvenu.