E(«)4-ï'ï^(oC^s^+f ^^(3)C03az4-^7zJE(4)Cos5z4-etc

Égalant les termes semblables, il vient

— STW (l — n») =£(., + 71 + i 7l£(.),

+ 3m* (i— n*) = -Eo+T «£(.)+ în^OT, — 3/n» (i -. 7i') = £(3) + 5 «£(.) + î /i£(o;

d'où l'on tire, en mettant pour m sa valeur " ,

^co = — an»

c __ « (an*— i-f -j/i — a») a»« (i + a|/i--n«)

E- (5»' — aft+ a» y/ 1 — n«) __ —ait^Çi +51/ 711;?)

« „ (4«< — 5n' + 5i»V 1 — w*) an»(>+4i/»--»0

OU enfin, pour abréger,

37W* (i 4- a Vi — «•),

- 3OT» (i H- 3 \/i — n%

am* (i + 4 \/i — 71*),

jEçq = ± am' (i -H i v/i — if).

Telles sont les valeurs que M. Laplace a obtenues par un procédé différent {Mécaniq. célest, tom. I, pag. i56).

173. La fonction (i + tz cosz)'* peut aussi se développer en série de la forme -^ + B cos z + Ccos ^z + D cos 3z + . . . . ; mais comme nous n'aurons besoin par la suite que du développement

particulier de î j,nouseffectuerons ce dernier par la méthode

(i + ncosa)*

naturelle , laquelle consiste à développer d'abord {i + n cos z; ■ par la formule du binôme, et ensuite a changer dans le résultat les puissances du cosinus de l'arc z en cosinus de ses multiples. Cependant, afin de pouvoir découvrir aisément la loi des coeSiciens numériques du développement, nous aurons soin de n'effectuer aucune réduction I. 54

iSe TRAITÉ -DE GÉODÉSIE.

dans la formule générale ,

a''"' COS Z^=:C0SftZ+/*C08(fl — a)z4-î^^^— ^ C08(ft — 4)z

qui, comme ron sait, exige que l'on s'arrête lorsque Farc devient négatif, et que Ton ne prenne que la moitié du coefficient du cosinus de l'arc nul que l'on trouvera, si/ju est pair. Jl résulte de là , que l'on a d'abord

(l + 72 COS Z)"" • = 1 — - 71 COS Z+ j.jTl' COS» Z — -.2-g /l' COS* Z

ensuite en ordonnant par rapport à cos z, cos az, cos 5z. . . .

"*"?• 4^78. 10.1a. 14715* aV3.4 r3 5.5.7.3 , 3.5.7.9.11.5.4 s ■ 5 .5.7.Q.11.13.15.7.6.5 -1

Lâ""^ "i^-T" + a*.4.G.è.io.a '^ •^V.4.é.Ô.io.ia.i4.a.3 " '"J^^ ^