rl 5 „.+ ^7^„4+ gf 7-3- - » • -S ^ „« -Icosaz
La 4 3*.4.6.8.i ' a^ .4.6.8. 10. laai J
r ^- 5.7 „s . - ^•^•7-.9" -5 5. t 3.5.7. 9.1 1.13.15.7.6 ,"lc08 52
LaM-6 ' 3^4-6.8.io.i 3'.4.6.8.io.ia.i4.a 'J
r 5.5.7 ..9^ ■ 5.5.7-.q t i.i3.6 g , 3.5.7.9.1 1.13.15.17.8.7 , "Irn^A- ^L^M^.8" ^554X8ÏÏo.ia.i" ^ a».4.6.8.io.ia.i4.i6.a" •••J^os^*
OU bien , plus simplement,
(l+TZCOSZ)"^::::
an F— -4- — ^ 72»-+- ^•^•7-q-" ra4 j. 3-5.7-9.M.i3.i5 « "] ^ ^" La'.a^3'.3.a.4" ^3*.a.a.4.4.6" ^ a'.a.a.4.4.6.6.8 '^ ••J^^OS x.
a. 4yj'r '•^"'^ I "•^•^•7 -.q . , 3.3.5.7.9.i i.i3 , lrn«ior
"♦- ^'^ La'.a.a.4"*-a'.3.a.4.4:6'^ ^ a«.a.a.4.4.6.6:8 '^ J*^^^ ^^
°" b^a.a.4.4.6^â\ 3.3.4.4.6X8 '^ JCOSOZ
^^'''^ b'.a.3.4.4-6.6.8^a''.3.2.4.4.6.6.8.8..o " JC0S4*,
UTRE TROISIEME. 967
série conyergente , lorsque n est plus petit que Funité. Si l'oi^ désigne
respectivement les coefficiens de ses termes par qyq\(]['yC^" ,
on aura
(C). . . r t ^ V sBg~jr^cosg^g'^cosaz— f^^€os5z+g'^cos4z
Avec un peu d'attention, l'on reconnaîtra que le terme général du premier polynôme^ de cette série est, en désignant par h le rang de celui que Ton cherche ,
+ 5.5.7.9 ,[]4ft— 0] 7iC<^-~*)
et que le terme général du polynôme ^ cos {i — 1) z, occupant le rang zdans cette même série, est
=P^ ^ L^ aC'-^*^)a*.4».6». . . . . . .. .[ai-f-fl*— 4]^ Jcos(^z i;z,
le signe — ayant lieu lorsque i est pair, et le signe + lorsque / est impair; et les facteurs A (A+i).. . .[^+•A— 3] ne devant être pris que quand^f+A — 5] est plus grand que h.
174. Il nous sera encore utile par la suite, de connaître le développement de la valeur de
procédant suivant les puissances de e. Dans cette vue, soit.... X; s= 1 -I- y/i--^ =r- ; on aura A is= a — -r : 01*, par uû théorème de
Lagrânge, généralisé par M. La place, lorsque j>^ = a + jcf (^) ,' on a {Cale différ. de M. Lacroix, tom. I, pag. 282, 2* cdit.)
Comparant donc
a68 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
avec la proposée
on a
par conséquent si l'on veut avoir la valeur de AT, auquel cas
f{y) = lt^ on aura
Ainsi la substitution de ces valeurs, dans la série précédente, donne
'^ i.a i.fl.o •
Mais à cause de A\ = -J, on a A,'* c= — ; donc
Donc enfin
(D)...£/'=(î)'{.+fG)-+--^S(î)V'-^;±^^>(|)'+...). Cette série , dont le terme général est
trouve son application dans les hautes sciences mathématiques {yoy^ le tom. I de la Mécan. célesty pag. i8o).
u4pplications des séries fondamentales.
175. En prenant le logarithme de la valeur de la normale N donnée à Fart. 170^ l'on aura^ à cause de la série (B),
log iV = log a + \\o%{\-\-n) — :i log (1 + n cos :iH) = log a 4- T log(i + n) + jlog (1 + m^)
— M[mco^2H — ï/n*cos4Lff4-j/7i^cos6-Ér— ...] = log a 4- M[m — ^m^+\m? — ]
— itf [/TicosaH — îm*co84H"+j/7i3co5 6Jtf— ...].
Far la même raison ,
— ikf[/ncosaJ5r — j/n^coséJHr+jTn^cosG-HT— ...]
log / = l0g-'+ 3Jt/[772-— ^m^+^/TZ^— ...]
— ZM[mcosfàH — ï/ii*co84fir+jm'co86JEf— ...],
et ainsi de même pour les logarithmes des autres lignes du sphéroïde. Pour ce qui concerne le logarithme du rayon de la Terre, son développement en série sera un peu différent^ car de l'équation (5'Q, art. 170, on tire
log - = i log (1 + 71 ) + î log (i + n' co^^H) — ï log (1 + Tî') — 5 log ( i + 7Z COS a^);
et à cause de
log ( i+w cos 2H) = ~ log ( 1 +m')
