a Jf [mcos afi— -7 ^•cos4ff+| /n^cosG-HT

et de la relation ! — - zzz m , on aura pareillement

log(i4-7i'cosa2Z')= — log(i4-7n'*)

H-a Jf [ot'cos ajâr-— î ot'"cos4H4-î '^''cosejET--...].

D'ailleurs on sait par ce qui précède, que n' = ^ ^ ; donc m' = te,

ou m' = - ; mais comme n est plus petit que l'unité , cette seconde valeur de m' ne peut être admise, puisqu'elle rendrait la série diver-

gente; donc

etpuisque7i=^^r^, 771=^^^, a cause de ^*= -^r— i on^ donc enfin

Dans le second volume de la Méridienne j et le discours préliminaire des Tab/es du Bureau des L^n^tudeSjM.I)elawi}Te a donné le logaritlime de r en série ordonnée, comme la précédente, suivant les cosinus linéaires de la latitude; mais j'ai préféré d'en rendre la loi des termes manifeste.

Voici ce logarithme, en fonction de l'aplatissement,

logr=loga— Jf[{a— ia*— ^ct'— (iflt+i«-— iflt^)co8ai5f

+ |(a*+a^)cos4jf— ^a»cos6^-f-...].

Si au lieu d^ logarithmes, on voulait les valeurs mêmes de ces lignes , voici comment l'on procéderait pour arriver encore à des séries régulières et fort simples.

Par exemple, la valeur de N élevée auquarré, donne

a" 1 + n co:i slH '

et, par la formule (A) de l'art. 171 , on a

— =(\ — 'Y {i— 2m cos2H+2m^cos iJF£ — 2/n'cos6jH'+.. . ..) = ^ (1 27/Z cos 2//+2m*cos4/f — 2/n^cos6^+. ...).

Il est évident que les expressions des autres lignes du sphéroïde se transformeraient également en séries de mêmes formes que cette dernière.

Comme toutes ces transformations sont très faciles à efièctuer, je me dispenserai de les donner. Tobserverai seulement , que pour parvenir aux valeurs des premières puissances des lignes du sphéroïde, qui ne continssent de même que les cosinus des multiples de la latitude 9 il serait nécessaire de suivre la méthode que j'ai donnée à l'art 175, pour développer ainsi l'expression du rayon de courbure du méridien ; mais alors la loi des coefficiens serait bien moins simple que celle ci-dessus.

176. II est à remarquer que les valeurs de /i et de m, élevées à une puissance entière quelconque, peuvent être exprimées aussi en

séries régulières; car d'abord puisque n = ;, on obtient sur-lc-

champ, par la formule du binôme, ^