SV

et ensuite , par la méthode connue de l'jélévation d'un polynôme à la puissance /t.

d'ailleurs

/ an fl^— M

OU, si l'on veut,

Il s'agit aussi de connaître la valeur générale de irT : or , on a vu, à l'art. 171 , que ' ~^ ' "" — = m\ par conséquent

expression qui est la même que celle de l'article 174; on a donc généralement, en vertu de l'équation (D),

37a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

7n^=lr

■4) (!i^^-5) ^ey\

177. On ne peut évaluer numériquement toutes les séries précédentes, sans connaître les axes de la Terre. A l'instar de la Commission des poids et mesures, qui fut créée à l'époque où l'on introduisit en France le système métrique décimal, j'emploierai à cette recherche les arcs du méridien, mesurés à l'équateur et sur le territoire français , afin de parvenir aux résultats mêmes que cette Commission a obtenus, et dont elle a rendu compte à l'Institut, par l'organe de M. Yan^winden. Ployez le rapport de ce savant, inséré parmi les Mémoires de cette Société, tom. II,pag. 45. Mais, avant tout, il s'agit d'intégrer l'équation différentielle d'un arc du méridien.

D'abord , a cause de la série (C) , et de la valeur de ds donnée à l'art. 170, on a

5 = ^* (i+7i) •{^fl^— ^ sin 2 Jtf-K ^ sin 4 JK"— Ç sin 6H+ ....]:

or , l'intégrale est complète , parce que l'arc s s'évanouissant en même tems que JET, la constante est nécessairement nulle.

Il est évident que pour un autre arc s\ terminé à la latitude JEf ', on û de même

s' = ^' (i+7iy{qH' — ^ sin 2 JEf '+ ^ sin 47/'— Ç sin GH' +...} ;

ainsi, entre les limites H et H\ considérées comme les latitudes des extrcmitès de l'arc ^, on trouve, d après l'art. 45,

^=*!(i + ;z)T^î(^-^)-9;sin (H'~-ff)cos (Jï'+H)

+ ^' sin ^2{H'—H) cos 2{H'+H)

— '^siu 5{H—H) cos5(H'+H). . .

Pour un autre arc ^ compris entre les latitudes A et A', on a pareillement

^'^^(i+;,)^^9(A'-A)-9;sin CA'-A)cos (A'+A)

+ !^- îi^in 2(A'— A) cos 2(A'+A)

— ^-sin vl(A' — A) cos 5(A'+A)

Dans la rue d'abréger la notation ; soit

J5r' — jsr = (p, jï' + £r = «,

A' — A = ^^ A' -H A = *'i alors les deux équations précédentes seront

•~|-sin 3^ cos 3* ... .1

-^'=— (i+7i)* Iç^' — ç'sinç'cos*'+~ sin 2^' cos a*

'|-sin3^'cos3*

Ayant d'en déduire une relation entre les quantités connues et les puissances de l'excentricité, mettons pour q, q\ ^f", ^f'", leurs valeurs en ^% en bornant toutefois l'approximation aux termes en e^ : or, par ce qui précède,

71 = - + ;^; donc 71* =^;

ainsi on a

3= ^-+-5^^. î'=K"-+i4 "i^-ii^'

Substituant ces valeurs dans les équations (M) , il vient

^ = ^(H-»)*[(i + g|«*)^ — |(c* + ^ e*) sin ^ cos*

H g ^ sin 2^ cos a*

A'^^^{x^nf{(^^^^^ cos *'

+ -^ ^ sin aç' cos a*'

et soit encore, pour abréger,

~^ {A^* — A'(p) = Jf, A sin ^' cos *' — -^' sin p cos *=3iV,

A sin a{p' cos ^<b' -^A' sin 2^ cos a* = P;

on aura, en divisant les deux équations ci-dessus Tune par l'autre, et rétablissant rhomogénéité ,

d'où l'on tire aisément, en rédolvant cette équation du second degré, ou par le retour des suites ,

Ainsi, la comparaison de deux arcs de méridien est, en gênerai , propre à faire connaître les dimensions de la Terre.

applications numériques.

Suivant les opérations géodésiques de MM. Delambre etMéchain. (résultats provisoires),

^==55i58<t',73, ^ = 56»,7o6944, JEr=45»,958a8x (boréales) j

et suivant celles de Bouguer, admises par la Commission des poids et mesures ,

^' = i76897',4, A' =o',o463 (boréale), A = — 3',4i 70 (australe). 11 suit de là que

(p=H'^H=: io',748663 , * = JET -{- H= ioa',6652a5 , ^'=:A'— A= 3,4633 , ♦'= A'4- A=--3,3707j

d'ailleurs

TT étant la demi - circonférence d'un cercle dont le rajon = i;

amsi , on a

u^(p' = i9io3o5,4, ^'p =3= 1901410,5,

M= i3(),688, ^ sin ^' cos *' = 2()95o,i i , ^' sin ç cos * = — i244,io,

JV = 31194,31, ^ sin 2^' cos 2*' = 5y56o,ia , ^'sin a^ cos 2* = — 68400,91 ^

de plus

JH-|iV+ip = 9209,35

en sorte que lê premier terme de la valeur de a* est

= 0,0069706841 le second terme = 0,0000032889

le troisième = o,OQpooooo56

donc ë^ = 0,0059739766.

Mais l'aplatissement de la Terre,

donc

Concluons de là, que les mesures géodésiques de la France et du Pérou , adoptées par la Commission , donnent le rapport des axes

ht 1 ^ 333 a ^S^^ ^ 334-

178. L'aplatissement étant une fois trouvé, on peut calculer la longueur du quart du méridien ainsi qu'il suit. La formule

5=:^(i + 7i)*{ç^—^sina^+^sin 4^— ....},

en y disant U = loo' = 5 tt, devient, à cause de ^ = Q, Q étant alors le quart du méridien,

on a d'ailleurs *

^ =:— (i+7i)»\ç^— 5' sin ç cos * -H j sin 2^ cos^O

— \^vci 5f) cos 3*

ainsi , divisant ces deux équations Tune par l'autre , réduisant ca série, et s'arrêtant toujours aux termes en e^, il vient, à cause de

formule qui, étant préparée pour le calcul, se change en ceUe*ci:

yoo'Ar" , 3.200/ . , 1 A • ^ j». iS.aoo

sr'f"

et qui est précisément la même que celle à laquelle M. Delambre est parvenu par une voie analogue (pag. 676, tom. II de la Base du Système métrique). Bien entendu que (p doit y être exprimée en grades. Lorsque^ est donné en toises, le quart du méridien est exprimé en pareilles unités. Pour l'avoir en lignes, il faut le multiplier par 864; et puisque le mètre /t en est la lomillionnième partie, on a, en rétablissant la notation primitive.

Dans cette expression , {H' — Jï), qui est l'amplitude de l'arc ^, doit être réduite en^ parties du rayon (art. 91) , puisque tt y désigne la demi - circonférence d'un cercle dont le rayon est l'unité. Mais à cause de e* = 2a — a* (art. 170), on a, en fonction de l'aplatissement,

i5 ^ sin a(//' — H) c es 2(fl^ + Jln

alors Famplitude H' -^ H étant exprimée en secondes de degrés

sexagesunaux , Ion a, a cause de C= . ,, — ,

log C= 1,4470587,5.

Un autre arc^' donnerait une autre valeur de ju; ainsi, la combinaison de ces deux valeurs fournirait l'aplatissement a et le mètre ^t. C'est de cette manière que M. De!ambre a procédé en pareille circonstance {Base du Système métrique, toai. 3, pag. 102).

Le milieu du grand arc du. méridien, mesuré en France, tombant à peu près à la latitude de 45'', il s'ensuit que la détermination du mètre est presque indépendante de l'aplatissement. En effet , peu s'en faut que H'+Ifne soit de go', et que par conséquent cos {H*+H) ne soit nul.

17g. Supposons^ pour seconde application, que l'on veuille calculer la valeur de Q , en partant des mesures exécutées en France ,

et prenant pour aplatissement a = ^, trouvé ci-dessus, auquel cas

A* cet

c»s=i — ^= ç^ = o,oo597o58, et log c*= 7,776632895 on aura

le i«' terme sous la parenthèse ^±3 1,000000000

le 3« terme = 0,00000819a

le 4* = o,ooooooo55

Souune. • . . 1,000008227

et le 2« terme = — 0,000187349

Ainsi le fac teur sous la parenth. = 0,999820878=1 — 0,000179122}

et comme ^ = 55i584',72, tp = 10^,748663 , il s'ensuit que

Q = 5i3o739',6952 , ou en nombre rond, Q = 5i 50740'.

C'est ce résultat même que la Commission des poids et mesures a obtenu ; ainsi le mètre , qui est la looooooo'*"* partie du quart du méridien , = 443"',296. Cette longueur du mètre définitif est en effet celle qui est consacrée par les lois françaises : cependant, les derniers résultats de M. Delambre difierent un peu de ceux de la Commission ; puisque, selon ce célèbre astronome, il résulte de la combinaison qu'il a faite lui-même des arcs de méridien mesurés à l'équateur et

en France, que l'aplatissement de la Terre est g^ au lieu de 5^. Les

raisons qui l'ont engagé à modifier les élémens de» calculs précédons, se trouvent exposées dans le troisième volume de la Base du Système métrique, page 112 : elles résultent d'une révision sévère des calculs de Tare mesuré par Bouguer et Lacondamine, et de ceux de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelonne. Quoi qu'il en soit , c'est toujours au mètre légal, qui est représenté par une règle de platine soumise à la température de la glace fondante, et dont la valeur est

de 445%396 de la toise du Pérou, prise à i5* du thermomètre de Réaumur, que Ton doit rapporter toutes les mesures géodésiques.

i8o. Voici les élémens définitifs dont M. Delambre a fait usage pour déterminer l'aplatissement de la Terre, le mètre et le quart du méridien.

L'arc à Téquateur réduit à l'horizon de la mer , d'après les mesures de Bouguer et de Lacondamine .^' = 176877'

Lat. bor. , d'après ces deux académiciens.. . A' = + a* l'3i"

Latitude australe, idem A = — 5** 4'5a".

L'arc de France, par MM. Delambre et Méchain, réduit de même

à l'horizon de la mer ^' = 56i585',6

Latitude de Dunkerque .fif' = 5i* 2' 9'',2

Latitude de Montjoui (par un milieu). . . -éT = 4i*'ai'46",58.

Appliquant ces données à la dernière formule de l'art. 178, on trouve, en calculant chaque terme séparément à l'aide des logarithmes à 7 décimales :

Par les opérations du Pérou ,

fjL c= 44i"Si855 + 66o',5a46ût + 9o8',5oo5a*;

Par celles de France,

fji = 443%4i34 — 27 ,70669a + 594 ,2950**; de là *

a = 0,00323745 — o,747i4o5flt* = 0,0032296 = 5- — ^,

au lieu de g-jg-g que M. Delambre avait trouvé, par suite d'une petite erreur qui s'était glissée dans sa formule; et A6 = 445',328o32 = o',5i3iiii,4

D'après la commission (art. 179) . . o ,5 1 30740,0

Différence 57i,4;

le quart du méridien est donc de 371 toises plus grand que par les premiers calculs. Celte manière de procéder est plus simple que celle de l'art. 177.

Les motifs qui oflt déterminé à déduire l'aplatissement de la Terre et le mètre, de la comparaison des arcs de méridien mesurés en France et au Pérou, sont fondés sur ce que ces arcs réunissent, sous le rapport de rcxaclitudc, toutes les conditions requises, et que

leur éloignement rend en outre leur difierence de courbure plus sensible.

1 81 . Maintenant, de Téquation Q = — (i + n)* ç . 7 9r, tt étant

toujours la demi-circonférence d'un cercle ayant l'unité pour rayon, Ton tire ^ aO

mais ( art. 173 et 176)

"=7 + 4"*-^' «-4+4^% î=i + l6(4 + 4> en se borjiant aux termes de Tordre e^ ; partant

et

'' rV^ 4* 64^ a56^-;—Vi,^ 5* T6* 35*/'

puis prenant les logarithmes de part et d'autre ,

log i = Iog^-JlfQ«H-^«-+^«3),

formules dans lesquelles log ilf = 9, 6377843. Si Ton fait Q =; j oooocoo""', on aura

log ^ = 6, 8o388 oia3o,

et si Ton emploie l'aplatissement ^, on aura

a = 6375739"', log. a = 6,8o453 0607, b = 6366649", log. A = 6,8o32a 8274; par suite

log / = 6,803877927 — 0,00195 3348o ces 2\

+ 0,00000 i<k643 cos 4A

— 0,00000 000x^4 cos 6A, log N = 6,8o5i8ii363 — o,ooo65 11160 cos 2\

+ 0,00000 o488i cos 4a

— 0,00000 000048 cos 6a, log r = 6,8o388o856 4- o,ooo65 iiïSi cos 2A

-— 0,00000 i4642 cos 4A + 0,00000 000328 cos 6a.

a8o TAAITÉ DE GÉODÉSIE.

Pour l'aplatissement « = ^TSs =OjOo3a4, M.Delambre atrouTé

log a ss 6 ,8o468 59646 , log b = 6,8o3i7 4566a,

log 5 = 9 >99859 06016.

Dans la même hypothèse, un arc s y commençant à réquateur et terminé à la latitude iST exprimée en grades, a pour expression

s = looooo*, JST — i5494",94 sin 2ff + i5"',7i sin 4ff

— o^,oa sin G-ÉTj

puisque , par ce qui précède , on a en général

+^(..+..)'jiffi

35 3 sin BjETI*

Si au contraire la latitude est exprimée en degrés, on a s= iiiiii",iiiii.i5r — i54g4",94sin 2H+ i5'",7i $in4J5r

— o",oa 8in6J5r.

183. Lorsque J? vaut un quadrant, on a ^= Q; dans ce cas, l'expression analytique de Q, trouvée à l'art. 181, se développe en une série régulière et très remarquable, comme nous allons le faire voir.

D'abord à cause de

on a

mais (art. 173)

^ ^ 4" " ^ 4*. 8» " ^ 4*.8».ia' '^

j^ 3.5.7.9.11 . i3. i5. 17 , ■^ 4'.8'.iaVi6î '^ •••

Par conséquent,

et enfin

Lorsque è= o^ on a ^ sss — j— =: i, /i = j;;;^-^, et Q =:aj

partant

aj/fl 1 1.5.5 1.3.5 .7.3 1.5.5.7.9.11.15

ir — ^ ^ 4».8» 4».8*.ia^ 4*.8*.ia*.iG» * * * '^

C'est aussi ce que Ton trouve à Paîde d'une valeur générale du quart d'ellipse , donnée par M. Legendre dans les Mémoires de V^cademie des Sciences^ pour l'année 1786.

i85. La méthode par laquelle je suis parvenu à réduire en séries procédant suivant les multiples des cosinus de la latitude , les logarithmes des diverses lignes du sphéroïde terrestre, est sur-tout usitée en Astronomie, et dans tous les cas où elle peut rendre les intégrations plus faciles, ou bien lorsque Ton veut calculer les termes d'une série convergente, indépendamment des tables de logarithmes. Mais l'emploi de ces tables permet de dévdopper tout simplement les

fonctions — — ^ etlog (i + 7i cos zfy en séries procédant sui-

(i + n cos *)'*

vaut les puissances des cosinus de l'angle z; parce que l'évaluation de leurs termes ne se &it pas avec moins d'exactitude. On pourrait, par exemple, calculer la valeur du logarithme de la normale Nf au moyen de la série suivante :

log N=^ log a + i log (1 .+7i)

— ^ ilf ^71 cos aiST -— — cos* a JST + ~ cos' 2H —-..A

ou même de cette autre log iV" = log a + i M(e^ sîn- J5r+ ^ sin^ ^+ ^sin* H +. . .),

qui dérive de l'une des équations (4) de l'art. 167. On aurait par le même procédé,

log / = log a + log (1 — e")

+ 1 ilf (ô* sin* J5r.+ J sin* Jï + ~ sin* H^. . .).

Cependant, il importe, dans la pratique, de choisir parmi les séries d'une même expression, celles qui convergent le plus rapidement. 1. 56

98a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

s^dBBEÏBiBfeqa^abdtaiB^BBBBdhâ^BBBS^BseiBBaéifessBie