CHAPITRE XIV

Continuation de la reaherche des expressions ancdytiques des divenes lignes du sphéroïde terrestre.

i84. yJs s'est proposé, à Fart 177, d'exprimer un arc d'ellipse en fonction des latitudes de ses extrémités; mais, dans la pratique de la Géodésie, il est quelquefôid plus c6ttmiode, lorsque cet arc a une petite amplitude, de l'avoir en fonction de son rayon de courbure. Soit ^ un arc du méridien , U son amplitude, H la latitude de son extrémité sud, et / son rayon de courbure au même point i on a en général, par le théorème deMaclaurin,

les valeurs des coeffîciens différentiels étant déterminées pour le cas où {/sso.Mais par l'art. 170, (t^= — ^ / » ss / : si

donc Ton calcule les coeffîciens dififérentiels suivans, en ne conservant que les termes en ^', on trouvera aisément

a a. 3. 4 ^ 1— e*ain*fl

série régulière et qu'on pourrait continuer à volonté. Or, il est remarquable que tous les termes en (/', 17^, W.. . forment cette suite :

fr—'^ti . si"2^ r (a^y (°^^)V i C^^)' "7

^ '~5a'^"i — e*sin^//L a a.3.4^a.3.4.5.6 ""• ' ' J^

tandis que les termes enV\ U^, W . . . forment celle-ci :

^ a a*'(i— e^ain'Z/jLfl.S^ a.3.4. 5 "*- a. 3.4.5. S.7 ~' •Jî

ainsi, en négligeant les termes en a^, on a

/>^=|^/8inaJ5r[i — cosaCT], ;^'=|e*/cosa£r[al7— -sinaCTIj et partant, sous forme finie,

^=sfU+ f ^ /» [sin 2H (1 — cos aCO + cos 2ff (2U — sin 2U)] = /Cr+ï ^* / [sin aZT— sin a(i5r+ iT) + ai/ cos 2II].

Mais si ^et ^sont les latitudes des extrenodtes de^,on a lA=zff' — If^ et par conséquent

A:=^f(fl^^E) [1 + ^ ^* cos 2U^\e ^'°^co«^g^ + g)J

D'ailleurs

sin(i5r'-i5r) = i7(i-^+.-),

cos(^'—J5r)ï=(i—~4--. •)' = !— -^...

ainsi, on a définitivement, en prenant IF — iST en degrés sexagésimaux,

c'est aussi ce que donnerait, avec un peu d'attention, la' 3* formule de l'art. 177. Il est évident qu'il faudrait substituer aco* à la place de 180*, si les latitudes étaient exprimées en grades.

Faisant U-^^ i**, et de plus e = sin /, ce qui est permis, puisque e est une fraction moindre que l'unité; la série (I) ou la formule précédente donnera assez exactement , pour l'arc ilf d'un degré du méridien ,

(m) i»f = -r '^'"''"'^ ..s (1 4- 2 t£î ^°g' Jsiû 2H\

TT étant le rapport de la circonférence op, diamètre. Si H .désignait la latitude de l'extrémité nord, il fendrait prendre -Z- Qégalivement.

On déduit quelquefois l'excentricité de la Terre de la mesuré f^e deux degrés ifef, jk' de méridien, dont les latitudes ni6yeAfecs diffèrent entre elles sensiblement; mais à la formule usitée alors, on peut substituer la suivante, qui est plus exacte. Soient // et /i' les latitudes boréales de leurs wtrémités sud; on aura, en vertu de la formule {m) combinée avec son analogue,

a84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

ain'Zsss

Supprimez, dans le dénominateur, les termes en ^ , et considérez JST, H' comme des latitudes moyennes, vous aurez la formule connue. Lorsque, dans notre hypothèse, H est la latitude de l'extrémité nord de Jtf, on prend sin aiSr négativement : même obsenration pour H*.

Sin I étant trouvé, on a 6ss^in i, et par suite, aplatissement

a =: 1 — y/i — é = asin* ^ I.

i85. La méthode employée ci-dessus, pour développer un arc en série ordonnée suivant les puissances de son amplitude, s'applique également au problème inverse. En effet, on a généralement

mais

cherchant donc les autres coefiiciens différentiels, et ne conservant que les termes en a* j puis faisant attention que e* t; s tang* i , et

que iV = /' = r ? on obtiendra

(i — e'sm^jy)»

(II) £r=:- — ^ tang'/sinafl^.^ ~^.^ tang-Jcos a-ÉT.^.

^ â'7^ tang^/sin afl^-^/ + • • • î

série encore régulière, et dont la loi des termes est en évidence. Ja* mais , dans la pratique , on n'a besoin de tenir compte du quatrième terme.

Si Ton bornait la série au terme en ^^, et que l'on conservât la quatrième puissance de l'excentricité, on trouverait

(III) i7=^52^'î«^.

xnais comme, par cette formule, l'amplitude {/serait donnée en parties de l'unité, il faudrait^ pour l'avoir en grades, multiplier tous les termes

du second membre par ^,^ ayant la même signification que cidessus.

186. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que le rayon de courbure de l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde de révolution : occuponsnous de la recherche de celui d'une section&itedansce corps, par un plan mené d'une manière quelconque suivant une des normales ; et , pour cet efiPet, désignons par x'^f' les coordonnées rectangles d'un point de la limite de cette seÈtion verticale; prenons pour axe des x' la normale à un point du méridien elliptique ayant H pour latitude ; plaçons Torigine des xf au point d'intersection du rayon de l'équateur et de la normale d®nt il s'agit; enfin, désignons par :x:,j^, z les coordonnées rectangles d'un point quelconque de l'ellipsoïde de révolution, de manière que le rayon a de l'équateur soit l'axe des Xy b celui du pôle l'axe des^, et la droite perpendiculaire au plan des xy l'axe des z. Cela posé, l'équation de l'ellipsoïde, rapportée au

centre , sera

(1) aY + *• (5:* + x") = a*6';

or, pour trouver en général l'équation de la section faite dans ce corps, il Êiut, comme l'on sait, substituer à x ^y, z les valeurs

suivantes :

fx = n 4-5c'cosjEr+j^'sin JSTcosfl,.

y = x'sin^ — /cosiSTcosO, z =rysind,

dans lesquelles est l'angle que le plan sécant Êiitavecle méridien x^, et n la distance du centre de l'ellipsoïde au point où la normale rencontre le rayon de l'équateur (art. 167), auquel cas n = 7;

(i — e*sm^H)*

e désignant toujours le rapport de l'excentricité au demi-grand axe. Ces substitutions faites, on a un résultat de cette forme :

(3) mx* + nf^ — /^x'y + çx' + ry' = 5 ;

c'est l'équation à l'ellipse, ou celle de l'intersection cherchée. Il est facile de voir que l'on a

!m=a^ sin* H+b* cos* If, 71 = 5*+(a*— 6*) cos*Jïcos* fl,

p = a(a' — b*) sin jBTcos S cos fl> Ç = aui* cos iST, r =: a<6* sin B cos 9, ^ = (a*—»*) 6'.

Lorsque cette ellipse est perpendiculaire au méridien, on a 6 = jt et pour lors cos = o; circonstance qui réduit l'équation (5) à la suivante :

(5) (a* sin* ff-^- b^ cos* JT)x" + a>i&» cos ^ . x' + &y • = (a» — n*) ^> et de laquelle, en faisant^ =o, l'on tire

, —6% coi H± y^b^ (g* — O (a*gin*g4- fr* cos^g) + &Vcos' H

Soient donc x^, , x'. ces deux racines, abstraction &ite de leurs signes; on trouvera , avec un peu d'attention , et après avoir mis pour ii sa valeur rapportée ci-dessus,

(i e*8m»i5r)«' * (1— é»sm»JÏ)i(i — e»cos*H)*

la première racine est la normale If (art. 167), et la seconde racine, la partie opposée de la corde J^,x'..

Soient en outre a' le demi-grand axe de l'ellipse dont il s'agît, et b' son demi-petit axe; on aura

a (i — «• tin* tf )» (i — e C08* H)

Four trouver le demi-grand axe, on chassera le second terme en jc'

de l'équation (5) , et cela en foisant %' = x"— a- aÏR-H+^cos^n ' ^^ cette manière on aura

ou, pour abréger,

7/zjc"^ + nf' = P.

Mais à x" = o correspond y = a'; partant

(i —6* sin» H)* (i — tî» C03* H)^ ^^^ '

Si au contraire on faisait y = o, on aurait x"= i', et Ton retomberait sur la valeur du dcaii-axc trouvée ci-dessus, ou ce qui est de même, ou aurait

Enfin, dési^aant par tl l'excentricité de cette même ellipse, on atira

et à caose des valeurs précédentes,

.. «• sin* H

187. Maintenant, pour avoir Texpression générale du rayon jf! de courbure de la section que Ton considère, quelle que soit d'ailleurs la valeur de l'angle 6, nous ferons usage de la formule connue, savoir ; /

dans laquelle la différentielle df est constante; et pour introduire

ici les valeurs de j^ et -^^ nous différencierons deux fois de suite

réquation ( 5 ); mais comme nous avons en vue de trouver le rayon de courbure à Torigioe de la normale à l'ellipse du méridien, nous ferons alors f ^=s^o dans le résultat de la diJOTérenciation , en sorte qu'il viendra

et puisque la section est Ëiite suivant cette normale, on a (art 167)

5c'=: m r=iV^'.

Il résulte de là et des relations (4 ), que la quantité r— px'=o; donc quand le rayon de courbure cherché coïncide avec la normale à l'ellipse du méridien, on a simplement

Remplaçant maintenant ttz, 9, /i, ^ par leurs valeurs précédentes, on a , pour une section verticale quelconque ,

(i — e» sin* H) » [*» + (a* — 4*) coi* H cos* êj

a88 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Soient / et / le rayon de courbure du méridien et celui de Tare perpendiculaire au même point; on aura le premier en faisant 0=0, et le second en faisant =^ loo' : ainsi, comme Ton sait d'ailleurs, les rayons de plus petite et de plus grande courbure de la Terre sont

a(i— c»iin»^)» (1 — c»8in«iï)*

On voit par là , que la valeur de /' est égale à celle de la normale N (art. 167).

Afin de donner à l'expression ( 6 ) une forme sjrmétrique et dépendante de /, /', on pourra d'abord écrire

ff <l^ {b^

et mettre b* sin* 8 + £* cos* au lieu de 6* ; ce qui donnera

a* cos* * (i — c* sin* i/) + 6* ain* ê

a cos* I . 6* 5in* ê

a(i —e'sm'jy)* j + . « I