L.(i — e* sin» iT)» a(i — «•sm»JÏ)»J

enfin ,

(7; -^f = ç sin» I + ^' cos» f

Tel est le résultat auquel Euler estparyenu le premier, par une autre méthode analytique. II exprime une propriété remarquable de l'ellipsoïde de révolution ; mais cette propriété , commune aux surfaces courbes eu général {yoy. la théorie des osculations de ces sur faces, Calcul différentiel Aç^^. Lacroix, tom. I^pag. 37 a, »• édit), se démontre très directement, par l'analyse précédente.

j88. Une ligne géodésique menée dans une direction quelconque, se confondant sensiblement, dans une étendue de plusieurs degrés, avec la section verticale correspondante, ainsi qu'on le prouverait à l'aide des formules que nous donnerons par la suite , il s'ensuit que l'arc d'un degré d'une section perpendiculaire au méridien, peut être pris pour l'arc de plus courte distance ayant même amplitude et même direction. Cela posé, si l'on désigne par /?, Jif et P le degré oblique, le degré du méridien et celui qui lui est perpendiculaire , on pourra, dans l'expression (7), remplacer -R, /et / par J9, Jtf et P,

UYRE TROISIÈME. 989

puisque les arcs semblables sont entre eux comme Içurs rayons; on aura donc

»— (^— p— )»in'»

ou réduisant en série^ et n'en conservant que les deux premiers termes, il viendra

(8) D = itf (1 + ^^^sin- fl).

Quoique cette formule ne soit qu'approximative , puisque les arcs J9, Mf P, en vertu de la propriété des rayons de courbure, devraient être infiniment petits , cependant c'est ce qu'on peut proposer de mieux pour la pratique. Pour en faire usage, il faudrait connaître M et P. Or, nous avons déjà donné ifef en fonction de son rayon dé courbure (art. i84) : cherchons à exprimer F d'une manière sem-r blable.Dans cette vue, remarquons que si, dans la série (I) (art,cité% on suppose jfifss go*, alors U sera négative, / = /, et Ton aura simplement

M=^f'U^\e'flP

Mais, par l'art. 186, l'origine d'un arc P" perpendiculaire au méridien est Textrémité du petit axe de cet arc elliptique; ainsi, à cause de

f ' = ^ r> et parce que e* se change en e'* , on a en général

(i— c*8in»F)î

Or, à la latitude de 4g*, qui est à peu près celle de Paris, pour une amplitude £/"de 5* et un aplatissement de 7^0 > le second terme de cette valeur serait de a4" environ, tandis que le troisième terme n'irait pas à un décimètre ; on a donc la longueur du premier degré

de l'arc P' censé mesuré, en prenant la valeur de -4- / de l'exprès-

sion précédente. Soit P cette valeur ; alors

180(1 — e*8iû«£r)»

Maintenant si l'on suppose que les longueurs Jtf et P d'un degré du méridien et d'un degré perpendiculaire à la même latitude H^ soien I. - 57

ago THAITÉ DE GÉODÉSIE.

connaeS) on pourra ^.par la combinaison des fbnimtM (m) et (jo), déterminer rexcentricité de la Terre. En effet, on tire de' ces deux formules, et à cause de ^ = sin* J.

par suite ,

M sin' J+ Jfcfcos* / — M sin* J sia* H

= P cos*I+^^P8in«/sin aiST j enfin, à cause de^ =±= i à très peu près, on a

tang»/

"ifcos-H(i-^.^tan6fly

OU bien

^^^^ tang* Icos« iSr — I jjj tang* /sin aJST.

Mais le second terme de cette expression est évidemment très petit ; si on le négligeait, on aurait la relation —jg— ==ï tang' I cos* JSj

donnée par M. Delamfare, dans la Connaissance des Tems pour l'année i8i8, pag. aôa. Toutefois, il parait convenable de conserver ce terme. TangJ étant trouvée par ce moyen , on aura e= sin J , et par suite, aplatissement a = asin* 7/, comme nous l'avons déjà dit (art. i84).Dans toutes ces formules, vr désigne la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est l'unité. Bien entendu que si jfiT était la latitude de Textrémité nord de AT, il Ëiudrait, dans la dernière formule ci-dessus, faire -^négatif.

Si au lieu de connaître P, on connaissait l'arc n d'un degré du parallèle à la même latitude, il est facile de s'assurer qu'on aurait

== Tî et par conseouent — 7i = P.

i8o(i— e^sin'iï)» ^ ^ cas H

Nous pouvons actuellement donner à la relation (7) une forme toute nouvelle ; il suffit pour cela de remplacer M par sa valeur (/n), et de

faire attention que ^~L— ?^Z^,^^ T^^ ^^^^ P^^ P^^^î ^^

LIYJEŒ TROISIÈME. 991

aura en consériaeDce

(d) 27 = ^ (i +~tang- Jsîn aJ5rcos*fl+tang»Ico8* JTsîn-fl).

189. Il est utile de connaître en général la différence des normales Ny N' correspondantes aux latitudes JST, H\ Pour Ta voir en série développée suivant les puissances de JST' —^ iST = AiST, soit

« y*étant le signe d'une fonction quelconque; on aura, par le théorème de Maclaurin,

les valeurs des coefliciens différentiels étant prises pour le point où Aff = G. Or, on a

A^' s= a[i + i 6* sîn- Jï'+M e* sin* JST' + etc.. . .] î

et si Ton fait attention qu'au point où ^ s= JST, on a JV^' 3= y^ les coefficiens différentiels, pris dans cette hypothèse , seront

(j^)==ar^smJycosi5r+i.5e*sin*fl'cosi5r...],

Mais à cause de ^ = a» -*-^ft*| et étant le rapport de l'aplatissement de la Terre au demi-grand axe, ii s'ensuit que e* est de l'ordre de cet aplatissement, comme nous l'avons déjà fait observer (art. 170). Si donc Alf est de cet ordre , et qu'on rejette les termes supérieurs au troisième ordre, on aura

Çn) N'—N^iae^sm2ff.{i+le*sm*Jff)AH'+laÉ'cos2H.£iff%

ou en se bornant au terme du second ordre, ainsi que cela est souvent permis dans la pratique,

(n') N'-^N=^i ae^AH sin aJGT.

Il est à remarquer que quand JGT < JST, la différence A^est négative ,