S9B TRAITÉ DE GÉODÉSIE

ainsi , pour avoir égard à cette circonstaDce , il faudrait, dans la série (/i), changer le signe des ternies où ùM est affectée d'une puissance impaire.

igo. Voici encore quelques conséquences de la théorie précédente.

Soit S la longueur d'un arc exprimé en grades, et faisant partie d'un paralièie quelconque mené par un point dont la latitude est H-y on aura, en désignant par x le rajon de ce parallèle, et par U son amplitude exprimée en grades,

puis mettant pour x, sa valeur donnée à l'art 167, il viendra ^ g>racosg ^ ^ ^^ j^ ^j^g ^jj cos 10 +log F.

400(1 —eAsk^Hy Il est d'abord évident que le Ëicteur ^"^ r = F^

400(1 — e»8m*JE0»

pour logarithme

log F=^ log ï T — a H-loga — \ log(x — «•sin* iSr)^

mais à cause de

looooooo* ^^ / I i ^ I 7 ^ t '5 A

l'on a

log 0= 7 — log 1 9r H-log (1 +itf'+^tf«-*-î^ e»),

et par suite , en développant en séries les logarithmes indiqués , il vient

log F= 5

. 4.ijf[(ic.4.^c4+^^e«)-i(ie'+Âc<+...)'H-î(i«'H— )*] •+-\M^e^ sin* H+ i e* siu*-Ér+ \ c»sin*Zr+...];

ilf étant toujours le module des tables, ou 0,4343944819.

Si en outre on développe les puissances indiquées , et qu'on réduise , on trouvera

log /?-= 5 -h ^ a «• + ^ e* + T^T ^*)

r^M{i e» sin' iï" + ^ e* sin* H-{- 1 e* sin* ff) j

puis 8i l'on change les puissances des sinus en cosinus d'arcs multiples (art 91)^ on aura

— ^TTÎ ^* cos 6È'^

enfin, en supposant e^5=^^, Il viendra

log F = 5,ooi3oioa3 — o,ooo65iii6o cos aiST

+ o,oooooo488i cos 4£r — o,ooooooooo48 cos 6ff.

On obtiendrait aisément une vérification de cette formule , lorsr que j£r =s o; car dans ce cas, log i^ se réduit à

log 9r H- log a — log aoo = 5;Ooo65o385y

et Ton sait que

log TT = 0,49714 9875

log a = 6,8o455 o5o8

c.logaoo s=s 7,69897 ooo4

les deux membres de l'équation précédente sont donc identiques.

Si l'on prend les différences finies de cette équation, que l'on fasse Aff= 0^,10, que If et Jff' soient deux latitudes consécutives, et que Ton se rappelle qu'en général

cosAtJÏ — cos Aiiï' = asin ^ (iï' — iï) sin J (iï' + Jy), l'expression

A log jP= -+• o,ooo65i 1 160 (cos afl[ — cos aJST' ) — 0,0000004881 (cos 4£r — cos 4ff'),

deviendra, à cause de JET' — J5r= ^ff = 0^,1,

Alogi^=+o,ooo65 11160 X o,oo3i4 i6sin(-Ér+-Ér) — 0,00000 o488i X o,oo6a8 32 sin 2{ff+H') =; 0,00000 ao455sin(i5H-iï')— 0,00000 000307 sin a(i5r+i5r)*

âg4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Développons, par un procédé analogue, la Taleor de S d-^easns, et pour avoir l'expression du grade de longitude , Êdsons J7s=s ir; on aura

if de longitude = ï ^^^ ^ :

100(1 — e*8in*£r)»

mettant au lieu de a, sa valeur donnée plus haut, il viendra

., .. , loooooco^.Ci + le* + «- •) CQs H

l' longitude = ^ ■ - . r

"oo (i— e««n»fl)»

= looooo- (1 +^tf*+^V*+i!^e*) cos Zr

X (i+ie*8in*jy+l.|e<sin*i5r+i.|.f e*sin«J5r) = 1 00000" [( 1 + i e* + ^ ^ + TsV ^*) c os isr

+a^+î^+7Î8i?*)Mn-J5rco»J5r

ensuite n'employant que des cosinus d'arcs multiples ^ on aura

l' longitude = 100000 (1 + i e* + 7'^ ^ -H tô^ O ^^ ^

— 100000 (i e^-hTTB^+i^h ^') c^s 3^ + 100000 (tJç e* + y|— e*) cos 5iBr — 100000 (tAt^*) cos fjff = iooaa4%8874 cos If — 75*,io29 ces Zff + o",o844 cos 5Zr— o",oooi cos fjlf.

Cette formule se vérifie comme la précédente, en faisant JSTsr o; car alors le second membre devient = iooi49",8688 , et c'est précisément ce que donne le premier membre , qui se réduit à

iooooo'"(i 4-^e* + ^^ + r^O , et qui exprime la valeur da grade de l'équateur terrestre.

En prenant les différences finies, et Élisant AJJs: 6^,10, on aura

A . grade longit. = i57"',433o sin i {ff+H')-^ o-,5539 sin | {ff+lT)

+o-,ooo66sin|(:£r+Jff'}.

Ces formules serviraient à vérifier les nombres de la table VII j mais pour qu'il y eût accord parfait, il faudrait introduire dans les séries ci-dessus l'aplatissement yjj au lieu de jj^ que nous avons employé. On assujétirait à ce dernier aplatissement, les logarithmes insérés dans la seconde colonne de la table, en les augmentant tous de o,ooooo4o.

191. De la valeur générale de Sj donnée à Part 181, Ton tire, entre les limites :£f, IH^ et en supposante ssrjf^,

s = looootf* (^— ^) — a8633-,646 sin {H' — H) cos (H' + //)

4- ae*,83o sin 2{H' — H) cos 2{H' + //) — o-,o3i i4 sin 5{I£' — j»^) cos 3(^' + ^);

par conséquent, lorsque I{'^=:lf+ iS et que G désigne le grade de latitude , on a !•. Pour l'aplatissement jjy ,

G = looooo* — . 44^,75a5 cos (J5r+i5r)+o* 84a755 cos a(^+£r)

— o-,ooi467 cos SC^T+fl^'); a*. Pour l'aplatissement y^VjT)

G = 100000-— 486%763o8 cos (Zr+iy')+o-,987i38 cos a(^+^')

— o-,ooi 860 cos 5I1Ï+JÏ').

En supposant au contraire les latitudes exprimées en degrés sexagésimaux^ on aurait, dans les deux hypothèses ci-dessus d'apla-* tissement,

2? = 1 1 1 1 1 i*,i 1 1 1— 499* 7a5 cos(ir+-Ér')+o",93645 cos fi(ff+ff')

— o*,ooi63ocos3(jy+^'), J3==iiiiii- 1111— 54o-,«48cos(iï4-iï')4-i%o9682 cos a(J^^

',ooao67cos3(i5r+jy'3-

Les dififêrences premières des degrés décimaux sont donc

AG = i4*,ia88sina£r— oV5a94sin4J5r' + o*,oooi4sîn6fl^, AG s= 1 S^jagi 5 sin aiST' — o*,o6aoi sin 4i5r' + o^^oooi 8 sin GJST,

et celles des degrés sexagésimaux

AZ? = 1 7",443 sin a JST — o",o6536 sin ^H' + o« 0001 7 sin 6^, A27 = i8-,878 sin aJST — o-,07656 sin 4^' + o- oooaa sin 6ff'.

J^oyeZy pour de plus amples détails, le troisième volume de la Base du Système métrique , page 197, d'où les résultats précédens sont extraits en partie. On remarquera que j'ai eu soin cependant de rectifier les coeffîciens numériques qui se trouvaient fautife.