CHAPITRE XIX
De la réfraction terrestre ; moyen de la déterminer sur la
Tètre supposée spliérique.
2i3. i^ ous avons déjà fait obserrer (srt. 17 ), que lorsqu'un rayon de lumière traverse obliquement l'atmosphère, il se détourne à chaque instant de la route qu'il suivait dans l'instant précédent , et décrit une courbe dont la concavité est tournée vers la surÊice de la Terre; parce que la force réfractive des couches atmosphériques est proportionnelle à leur densité. Un observateur qui reçoit l'impression de ce rayon , le voit par conséquent dans la direction de la tangente à la courbe ou trajectoire dont il s'agit. C'est cet effet que l'on nomme réfraction.
Dans la supposition que la densité de l'air est constante àla même hauteur au*dessas du niveau des mers^ et que la Terre estsphériquei le rayon lumineux ne peut se mouvoir que dans un plan vertical j puisque ce plan partage sjrmétriquement, en deux portions égales , toutes les couches atmosphériques. Cependant, les variatioDS fréquentes et singulières que la densité de l'air éprouve près de la surface de la Terre, modifient tellement la trajectoire lumineuse, que de concave qu'elle est dans l'état ordinaire de l'atmosphère , elle devient quelque fois convexe, et nous fait voir alors les objets audessous de leur lieu réel; c'est le cas des réfractions extraordinaires. Il peut même arriver que cette trajectoire soit à double courbure, et qu'elle donne lieu à une réfraction latérale. Quelques observateurs, et M. Delambre principalement, attribuent à ce dernier phénomène une partie des écarts des séries d'un même angle entre deux objets terrestres. Cette déviation horizontale ne pouvant être évaluée, ce qu'il y a de mieux à faire pour éluder son influence, est, comme nous l'avons prescrit, de prendre plusieurs séries d'un même angle iiux époques du jour où les réfractions extraordinaires sont le moins ù redouter.
Les opérations géodésiques que j'ai laites en Italie et dans le Milunès, m'ont misa même d'observer moi-même ce dérèglement des réfractions terrestres. Les chaleurs d'été occasionnent contÎDuellement des vapeurs qui s'exhalent de tous les petits canaux qui arrosent l'immense plaine de la Lombardie, et c'est pour ainsi dire un autre phénomène , que d'y voir l'atmosphère purifiée par les vents.
îîi4. Voyons comment on mesure la réfraction terrestre, en supposant qu'elle n'ait lieu que dans le sens vertical.
Si du point yi (fig. 44) , on observe un objet terrestre B éloigné, le rayon lumineux qui en transmet l'image , suivra , d'après ce qui prjécède, la courbe BDA^ et l'objet B sera vu dans la direction de la tangente à cette courbe, c'est-à-dire en jET. L'angle BAB' mesure donc l'efifet de la réaction sur la position de l'objet observé.
'Dans la pratique de la Géodésie, la trajectoire BDAj dont il est impossible de connaître la nature , est heureusement toujours assez petite pour qu'elle puisse être assimilée à un arc de cercle, ou, ce qui est de même , être remplacée par son cercle osculateur ; ainsi l'angle de réfraction BfAB^ formé par une corde et une tangente, a pour mesure la moitié de l'arc AB soutendu par cette corde. Pour un objet 17 intermédiaire, la réfraction serait représentée par l'angle B^ADj qui aurait aussi pour mesure \ AD. Il suit de là, que la réfraction terrestre en A est proportionnelle aux arcs AD^ AB.
Maintenant si, par les points AyD^B^ l'on conçoit les verticales AC^ DCy BC qui passent par le centre C de la Terre, les arcs de distance adj aby faisant partie d'un grand cercle, seront, à très peu près, dans le même rapport que les arcs corxespondans AD y AB de la trajectoire. U est donc vrai de dire que la réfraction terrestre est proportionnelle à l'angle formé par les verticales des extrémités de la courbe de réfraction.
D'après cela, soit r la réfraction BAR correspondante à l'amplitude Cde l'arc terrestre aby on aura en général
r 5= nCi
n étant un coefficient que l'expérience fait connaître, et qui est constant pour le même état de l'atmosphère.
Soit toujours Cle centre de la Terre (fig. 46),^ et B deux signaux.
Si du point A Ton observe le point B^ celui-ci paraîtra en B^ par i'efiet de la réfraction ; de même le point ji paraîtra en A' y obèenré du signal B.
Faisons les distances apparentes au zénit
et les angles de réfraction
BAR = r, ABA" = r^;
on aura, pour les distances vraies au zénit,
pnsA = j ' + 7^ = zXi
donc
ZAB + f^BA = cr + cr' H-r+7^ (i).
D'un autre coté, puisque l'angle extérieur d'un triangle vaut la somme des deux intérieurs opposés, on aura
ZAB = C + ^BC, yBA = C 4- BAC-, donc
ZAB + f^^ = 2<i + C = D + iy (a).
Ce résultat nous apprend que les deux distances vraies au zénit surpassent deux angles droits d'une quantité précisément égale à l'arc de grand cercle mené d'un signal à l'autre.
Enfin des équations (i) et (2), Ton conclut
cT + cT' + r 4- r' = aQ + Cj ou bien, à cause que r est sensiblement égal à r^,
Divisant tout par C, l'on aura
et enfin, 7' = 7iC.
71 varie d'une manière très irrcguUère, et il paraît impossible de
parvenir à assigner la loi de ces variations d'après les indications du baromètre et de rhjgromètre. M. Delambre a remarqué en France , que 71 a environ pour valeur moyenne 0,07876, ou simplement o,o8. Il a quelquefois trouvé par des tems brumeux 0,1 5, et en hiver seulement; plus communément 0,06 à 0,08 en été, et 0,08 à 0,10 en hiver. D'autres observateurs ont même trouvé o,5 par les tems de pluie. Si n était négatif, la réfraction abaisserait les images des objets, au lieu de les élever; mais ce phénomène est rare. Il suit de ce qui précède, que
Il serait sans doute nécessaire que les distances zénitales des points ^ et £ fussent prises au même moment par deux observateurs ; mais , comme il est très difficile de recueillir des observations réciproques et simultanées de ce genre , on prend à chaque station plusieurs séries dans les circonstances atmosphériques les plus favo^ râbles, par exemple, vers le milieu de la journée et par un beau tems , et alors la moyenne des résultats de ces séries (art. 118) est celle qu'on emploie, soit dans le calcul du coefficient n de la réfraction, soit pour déterminer les différences de niveau.
ai5. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les cercles étaient placés aux sommets des signaux , et c'est ce qui n'a pas lieu dans la pratique. Si, par exemple, le centre du cercle est au pointa, dans l'axe du signal, la distance vraie du pointa au zénit est Za£, et sa distance apparente observée == ZaB) désignons celle-ci par A, l'on aura évidemment
ZAB = ZaB 4- ^Ba = A + ABa^
reste donc à déterminer l'angle ABa , qui est l'erreur commise.
Soient AB^AB =iKy Aa = dHQt ABa = dAj le triangle ABa donnera
sm dA = — g^ — .
Prenant Parc pour le sinus, et réduisant en secondes, il viendra
, . àH 8În A /r\
dA = j7—r 7 [b\
346 TBAITÉ DE GÉODÉSIE.
Lorsque les triangles sont calculés saÎTant la méthode de Part. 1 55^ on obtient la corde de Tangle C pour une sphère dont le rayon est la distance de Fhorizon de la mer ml centre de la Terre, et cette corde est plus courte que la distance uB = K. Pour évaluer Ferreur, on pourrait rendre dA firaction de la cor^e connue et du rayon de la Terre {Mémoire sur la détermination d'un jéLrc du méridien y par M. Delambre, page 9a); mais il sera suffisant, dans tous les cas, d'employer la formule précédente , en faisant abstraction de la différence de l'arc à la coi^.
La correction précédente étant appliquée aux deux distances au zénit observées , on aura , pour -celles qiU Faundent été aux sonmiets des signaux ,
ZAB' = A 4- dA = cT, VBA' = A' + dA' = cT.
Bien entendu qu'il faudrait prendre dA et dA' négativement, s'il s'agissait de réduii^e les distances zénitales aux pieds des signaux, et comme l'on fait toujours en sorte de mettre le cercle le plus près possiiJe de l'axe du signal, l'on n'a aucun égard, dans le calcul de cette réduction, à l'erreur d'excentricité, parce qu'eUe est d'une extrême petitesse, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer.
Telles sont les valeurs à employer dans les formules (5) et (4), pour estimer la réfraction; mais, pour rendre cette théorie complète, indiquons les moyens de déterminer dJT ou la hauteur du signal au-dessus de la lunette, lorsque cette hauteur ne peut être mesurée directement.
S'il s'agit d'une flèche qui ait peu d'élévation, on mesurera le diamèlrc à deux hauteurs différentes, ainsi que la différence des deux hauleurs, et l'on considérera cette flèche comme la pointe d'un cône tronqué. Or, soient 2?, U les diamètres inférieur et supérieur, h la distance des deux bases, x la partie du clocher qui s'élève an-dessus du diamètre supérieur 27'; on aura, ainsi qu'il est démontré dans tous les élémens de Géométrie ,
Mais lorsque la pointe de la flèche est très élevée, une petite erreur sur la détermination des quantités JD — Z>' et A, pourrait en occasionner une très grande sur la hauteur x. Alors soit B (fig.46)
la pointe de la flèche observée du point ^y B'ià galerie où a élé placé le cercle : on mesurera le^ angles ZAB^ ZAB , et BABf sera la difierence des deu^ distances au zénit : or, le triangle ABB' donne
AB' sin A
BB
smB
mais AB" est très peu différent de a6'= A", et Ton a AB^B^J^'+r^^
•r j donc Jff=2Q— ^— (J^'+Z) ; donc BB ou
j-rr- KainA Kt\nA
sm(J^ + / + -^) flin[i<^+iC+K^ — + ^3 KiinA K aîn A
Développant le dénominateur par la formule connue du cosinus de la somme de deux arcs, on aura
OU bien
d^= ecu^^w+ o [i-tapg^tang K<^--^+C)r î
mais X (J^' — J^ + C) étant un très petit angle, on peut se contenter du premier terme de la série j donc assez exactement
^jj^ KiAT^gA
cQ9ts!i^ — t" + cy
M. Delambre fit usage de cette formule pour déterminer les hauteurs des flèches d'Amiens et d'Orléans; il observait dfifde deux stations voisines, et prenait le milieu entre les deux résultats dont la di^rence était légère. Dans tous les cas semblables, il faut faire en sorte de se placer le plus près possible 4u pQÎut de mire , afin que la réduction à ce point soit plus sure.
Calcul de la réfraction terrestre. -
216. A 37'" au-dessous du sommet. du signal A (fig. 45), on a observé la distancé au zénit 100^,2408 du sommet du signal JBj réciproquement à i5",x au-dessous do rexUcmité supérieure du
signal Bj on a observé la distance au zénit 99^9369 du point ^ : la distance rectiligne entre les deux signaux étant de a86o4''975=jL, on demande la valeur de la réfhiction et celle de son coefficient?
Pour réduire les distances au zénit aux sommets des signaux ^ on fera usage de la formule (5) : ainsi ^ par rapport au signal ^, on a
dJHT = 17", A = ioo',a4o8,
et par rapport au signal By
àH' = i5",i, A' = 99^,9359;
logdiî = i,fl3o45 logcUr = 1,17898
1 sin A = 9,99999 1 ain ù! =^,99999
c log /ÎC = 5,54508 clog /C = 5,54508
c.logsin 1* = 5,8o388 c.log ain i* == 5,8o388
logdA = 3,57940 = 579^,67 logdA' = a,5fl793 = 337%a4
A = ioo',a4o8oo a' = 99^995900
•f- dA = o ,037967 -f- dA' = o ,0337114
Réduction 1 . » ^ .. Béduction au
léduction ) , Q n K Béduction ) ^ c i? / 1^
aommet Ai ' ^ / / au aommet B i ^^ *^ ^ ^
Lorsque les distances apparentes au zenit sont réduites aux sommets des signaux ) on emploie les formules (3) et (4) pour avoir la réfraction r et son coefficients. On ne peut, à cet égard, espérer d'arriver à des résultats bien concluans, que quand tous les élémens des deux formules dont il s'agit, ont été recueillis avec les attentions les plus scrupuleuses. Ce qui nuit singulièrement à la bonté des observations et les rend très discordantes, c'est lorsqu'elles sont &ites dans les momens où les objets sont fortement ondulans.
Les formules citées exigent que l'on connaisse l'angle au centre C exprimé en parties du grade. Or , la distance K entre les deux signaux udf et S, = a85o4",75 j et l'on a C, réduit en secondes, à l'aide
de la formule C = — -
ç ç sin 1*'
parlant , log A" = 4,4549172
c.l.sin 1* = 6,8o388oi c log / = 3,1954695
La distance ^B répond donc à un arc de 28' 46^31.
Four plus d'exactitude, on fera bien de prendre pour / le rayon de la Terre dont nous ayons donné la valeur moyenne à l'art. i3o; ou bien encore employer le rayon de courbure de l'arc Kj pour le lieu de Tobservation (art. 187).
Voici maintenant le calcul de la réfraction r et du coefficient n.
On a, par ce qui précède ,
(3) r = ^-H<^ + J''-aoo'),
«t en vertu des valeurs trouvées ci- dessus ,
cT = ioo',a787*,67
jN + J^'2oo=: o,a383,9i
î(cr-f.J^'~aoo) = — 0,1191 ,95
iC= + o,i4a5,io
r = -1-0 ,oa3i ,i5 log r = 8,36389
c log C = 0,54575
log 71 =5 8,9096a donc 71 = o,o8ia == ir environ.
Ainsi, quand la réfraction est constante, on a
r = TiC = (0,08) C.
La recherche des lois de la réfraction intéresse singulièrement FAstronomie. Les premiers succès en ce genre sont dus à Lambert; mais ensuite Euler et Lagrange sont parvenus à déterminer , d'une manière plus rigoureuse, la trajectoire décrite par un rayon de lumière qui traverse l'atmosphère. Enfin, M. Laplace a perfectionné et complété cette théorie, dans le dixième livre de sa Mécanique céleste : nous en donnerons une idée par la suite.
La réfraction terrestre présente, dans certains états de l'atmosphère, des phénomènes très singuliers, et dignes de toute l'attention des physiciens géomètres. Voyez à ce sujet un ouvrage que M. Biot a publié sous ce titre : Recherches sur les réfractions extraordinaires qui ont lieu près de Vhorizon.
