HYPOTHÈSE
ha Terre étant sphérique.
a 18. Soit C (fig.46) le centre de notre globe réputé sphérique, at-^, B deux points inégalement éloignés de ce centre. Si ^jB'est une ligne de niveau vrai ou un arc terrestre, la hauteur J5B' = t/iST sera la différence de niueau des deux points ^, B. Or, par les opc'îralions j;i';od(.'siques, on connaît la plus courte distance de ces points, ainsi que leurs distances zénitalcs réciproques, ou tout au moins Tune dVlics; on a donc tout ce qu'il faut pour déterminer dN.
Ya\ cliôU jvpivsontons p:ir S" la distance zénitale apparente du poi::l /;, (>l)srrvro de la station u4] par S' la distance zénitale apparenie du point -.-/, observée de Z?; par C Tangle que forment les
UV&E TROISIÈME* 55i
deux verticales passant par ^ et £ et se coupant au point C; par f le rayon de la sphère dont la surface s'écarte le moins possible de celle de la Terre aux lieux des observations; par r, f les réfractions dont les distances apparentes «T, cT' se trouvent respectivement affectées; enfin par -D, ZX les distances vraies J^-f- r, J" + /; et ^ supposons d'abord JD < Z?': le triangle rectiligne ABC donnera
sin 2?' : / :: suxDif-^-dN', d'où
.•y /sin Z> — sin iX \
Puis à cause de sîn J5 -*- sin JO' =î acos (-~— ) sin (—^ — "S , et
de — ^ s= loo' + ^ (arl.ai4), ou de cos^— i — ^ = — sin — ,
on aura
flçsin-ainK^'— O) flç sin - sin i (D' — Z>) ^^^ linCaoo— />') ~ co»i(D — iX — C) '
Mais en général
de plas /C =B JT, , JST, étant l'arc qui mesnre la distance des station» ^, Bj et dont la corde est K; ainsi a/ sin - = JST, et
ou
Supposons maiotenant D > 2?'; le triangle ^BC (fig. 46 6« ) donnera «
sin I? : /» :: sin ly : / + dN;
par conséqumt
'^ \ sinD >/'
et par suite, en procédant comme ci-dessus, ou, ce qui est plus simple, changeant dans le résultat précédent Z7 en /?', et vice versa j
55j traité de Géodésie.
puis supposant qu'on nivelle en allant de ^ en i? ,
dN=(K /^A a»nK/>--P)
OU
"^^ ^ cosiCD — zy + c) v^^
Si Ton compare cette valeur à la précédente (1), Ton reconnaîtra que celle-ci est négative et que Pautre est positive , mais que dans le dénominateur, la différence D' — D doit toujours être prise positivement , lorsque Ton emploie pour K la distance des deux stations réduite au point le plus bas. Or, par le calcul d'un réseau trigonométrique, K est nécessairement réduit au niveau de la mer (arta4i), et est alors représenté par a&'. Ainsi la difierence de niveau JBjB'ci^iV", obtenue à l'aide de JST = ab\ est un peu trop petite, puisqu'elle devrait l'être au moyen de .^jB'} mais dans la pratique, on peut, sans inconvénient , faire abstraction de la très petite différence des deux cordes ai', ^B".
Afin de comprendre ces deux formules dans une seule, et de les assujétir à l'hypothèse présente , nous écrhrons
r%\ s11\r^ Ksmjijy^D) Q„hîrn//Ar— -^«njÇ/^--^)
•La réfraction ne modifie en rien ce résultat, puisque^ d'après ce qui a été dit à l'art. 21 4, on peut supposer r = r'. On entendra par le signe co, que la différence cT' 00 J^ qui entre au dénominateur, doit toujours être considérée comme positive et s'ajouter à l'angle C. Ainsi , le signe de dN^ qui dépend uniquement de celui du numérateur sin { (^' — /), sera positif ou négatif selon que l'angle «T' — «T. sera lui-même positif ou négatif.
A moins que K ne soit très grand, on est dans l'usage de calculer dN^dX la formule approximative suivante :
(4) c/JV^=iS:tangi(er-^c^O>
qu'on obtient, en supprimant C au dénominateur de la formule (5). Si l'on voulait réduire celle-ci en série, on la mettrait d'abord sous cette forme :
cos i Ci^' — <^) C05 'i c — sin i {r - <^) sîn i C'
après quoi Ton aura visiblement
(A) rf:^=-^«SÂfe$
cos i C Cl — tang i ('^ — ^) tang i Cj»
et ensuite
(5) dN = "^'""^^^f^-^^ [I- tang \ (J^'-J^) tang i C)]-'
d'où Ton voit qu'en s'arrêtant au premier terme du développement, et Supposant cos ^ C= i , on a la formule (4).
a 19.. Si l'une des distances zénitales et la différence de niveau dN étaient connues, et qu'il fallût avoir l'autre distance zénitale, pour réduire à l'horizon un angle observé entre deux objets inégalement élevés , la formule (A) donnerait sur-le-champ
-jT^ cos 1 C
et par la méthode de l'art. gS, on aurait, en série et en secondes ,
^ , ., jyx dK cos \ C /dNy sinJC /dN\' cos gC ^^
.^d —à)— ^ -^i;j-p VKj lin a' ^^Kk) ~^^'^''
on pourrait bien dans ce cas se contenter du premier terme.
L'usage du théodolite rend ce calcul inutile , puisque les angles observés avec cet instrument, se trouvent réduits à l'horizon (art. 12 5); et ce qu'il y a d'avantageux, sous un autre rapport , c'est que la refraction, dans le sens vertical, ne peut jamais troubler l'accord des séries. Mais est-ce là un motif assez puissant pour négliger d'observer les distances zénitales au cercle répétiteur de.Borda?
220. Ne faisons maintenant dépendre la série (5), que de la seule distance zénitale cT, et dans cette vue, rappelons -nous que cT + r = i« •+• î C — jIS"' — J')i on aura tout d'abord, en éliminant ^cT' — ^T) = i<i — (J'-f- r—^ C),
(6) dN=^ K séc i Ccot (J^ + r — | C)
+À'séc^Ctang^Ccof (ef+r — iC)+. . .
Dans la pratique, le premier terme suffîtle plu&soarent^ et même on a sensiblement sec j C= i ; partant
(7) (/iV= K cot (cT+r— i C), ou en introduisant le coefficient n de la réfraction (art. 214)9
le signe de dN dépendra donc de celui de (i" + ^^~' c\.
Lorsque la valeur numérique du coefficient de la réfraction ne peut se déduire d'aucune observation directe , £iite à l'époque où les distances zénitales ont clé prises, on la suppose ordinairement de -f- 0,08. Dans le cas d'une réfraction extraordinaire, n peut être négatif 3 mais il n'y a que l'observation qui puisse véritablement faire connaître ce coefficient et le signe dont il doit être affecté.
221. M. Laplace a donné, dans sa Mécanique céleste (tom. lY, pag. 27g), une formule analogue à la dernière ci-dessus; on peut y arriver aisément par le procédé suivant :
Si Ton développe le second membre de la formule (7), de manière ù dégager la réfraction. Ton aura
dN=zK
tang
g(^-7)*angr\
= ifcot(<r— -)[^i— tang (eT— -)tangr— cot(«r— -)tangr^
sec
tang r
=À'cot(<r-|)-
tang (l- -
K tangr
sin
quand on néglige toutefois les autres termes de la série. D'un autre côté, à cause da Ctrès petit dans la pratique, et de r=72C= /i— ,
on a simplcuient
(8) (/iv = ^ cot f*r - ^) - -^ = À' cot<r+ -^ — ^.,
ou ce qui est encore permis ,
(80 ,fj\r=A:catJ^4- — — — .
Ce résultat jpet en évidence et le terme dépendant de la spihéricité
de la Terre, savoir —, et celui qui est produit par la réfraction,
savoit . Il serait donc facile de former une petite table pour
différentes valeurs de w, s'il n'était pas plus simple de calculer immédiatement (/iVpar la formule (y^.
Lorsque l'on prend pour f sa valeur en toises, on a Iog/=6,5i549, et si l'on suppose n = 0,08, la formule (8) devient
dN:=^ K cot J^ -f- 0,00000 0128 —
si l'on veut au contraire un résultat en mètres, on a
dN-ssL K cot cT H- 0,00000 006587 -^-77.-
on voit donc que le second terme est proportionnel au quarré de la distance K,
Un autre avantage de la formule (8) est de donner la valeur du coefficient de la réfraction, quand on connaît dN.^ K et la distance zénitale apparente cT : en effet, soit K cot cT = dN'\ on a
Mais rien ne prouve que n soit constant pour toutes les trajectoires lumineuses qu'on peut concevoir, au même moment, autour du lieu de l'observation.
322. Lorsqu'on aperçoit l'horizon de la mer, d'un lieu élevé d'où l'on observe, il est fecile d'obtenir la hauteur de ce lieu au-dessus des eaux, au moyen de l'angle observé entre l'horizon et le zénit, si l'on connaît d'ailleurs le coefficient de la réfraction j voici comment :
Si, par le point B de l'observateur (fig. 47) , l'on imagine une tangente S-rif à la surface de la mer, le rayon terrestre C^=/ sera évidemment perpendiculaire à \AB. Si l'on imagine en outre une ligne de niveau, ou un arc terrestre ^B' compris entre le point ^ et la verticale /^S, la hauteur cherchée sera BB = JV. Or, faisant comme à l'ordinaire la distance zénitale vraie f^.^^=D =zj^ + r^ J^ étant la distance apparente observée et r la réfraction; le triangle rectangle C^B donnera, à cause de l'angle CB^ == i<i — C, et de
sin(i^— C) cosC
Mais BJS^ z=iN:=CB — /, par conséquent
7^7- ^ (1 -^ cos C) aaîp* ï C
-^^ — f coaC ~ "' cosC
Quelle que soit la hauteur de la montagne , la distance zénitale qui aura pu être observée du sommet, sera toujours peu différente de l'angle droit ; ainsi l'angle C sera très petit.Mais parce qu'en général tang mx = 771 tang x, lorsque x est un fort petit arc, et m un coefficient peu différent de l'unité , on a sensiblement
Deplus,àcause de C = S+r^ i'^ = £r-fwC— i<i(art.2i4),ona
enfin,
(10) N=^ f -—-y, tang* (J^ — iQ),
ou à très peu près
N := if{i+ny tang* . dépression apparente.
Toutes ces formules, dues à M. Delambre, et très utiles en Géodésie, sont fondées sur l'hypothèse d'une égale réfraction aux extrémités du rayon visuel; ce qui ne peut être rigoureusement vrai, sur-tout quand la différence de niveau des deux stations est considérable. L'illustre auteur de la Mécanique céleste a donné des
formules plus rigoureuses pour ce dernier cdSj nous les ferons connaître plus tard.
aaS. On voit par ce qui précède, de quelle manière on déterminera les élévations des sommets des signaux au-dessus d'un même horizon 9 de celui de la mer, par exemple : ainsi, en en retranchant les hauteurs des signaux, on abra celles du sol au-dessus du niveau de rOcéan.
En attendant que nous donnions un exemple de ce calcul , supposons que les points jB , 5', 5", 5^"^ soient inégalement élevés
au-dessus d'une même surface de niveau, en sorte que K soit l'élévation du point jB' au-dessus du niveau de B ; K' l'élévation du point B" au-dessus du niveau de B ; d^" la dépression du point B"\ par rapport au niveau 5", et ainsi de suite ; il est évident alors qu'on aura généralement pour là différence de niveau des deux points extrêmes, H — 2?, en prenant positivement les hauteurs A, et négativement les dépressions d supposées observées de gauche à droite. Si la différence H — D est affectée du signe +, le point extrême S^"^ sera au-dessus du niveau de 5; et si elle est afièctée du signe — , le point 5^"^ sera au-dessus du même niveau.
Concluons de là, que si N est la hauteur du point B au-dessus du niveau de la mer, N-^-H-^D sera la hauteur de tout autre point au-dessus de ce niveau.
Toute hauteur au-dessus de la mer se nomme hauteur absolue, et la difierence de niveau de deux points s'appelle en général hauteur
relative.
Calculs des différences de niveau.
3a4. Toutes choses étant égales, comn^ dans l'art. 916, on demande la différence de niveau des sommets des deux signaux ^ et JB ( fig.45 ). Cette difierence est donnée parla formule exacte (4)
<r = 300 ,378767 log K = 4^4549171
J^— (^=+ 0,319143 Lsin^cT'— J)==— 7>399075o C=-f- ,a846ai ^- l.cosKer'~cr-f-C)= + 0,0000049
Donc... c/iV'=— 7i",449.
Cherchons encore cette différence de niveau par la série (5) , ou
^^ — cosiC ^eic.
1*' tenme. a* terme.
log isr= 4^45491 71 iogrfzv2= 1,85599
l.tangi(J^'-cf) = 7,3990778— ^ l.tangi(cr'—c^)= 7,39908 c.l.cos ï C= o,ooocxx)3 Ltang ^ C= 7,54933
log c/JV^= 1,855995 1 == — 71 ",448 log 2« terme = 6,6oa4o-^.
Le second terme est négligeable , puisqu'il ne vaut que -y- o"',ooo4 ; ainsi, le point B est plus bas que le points, de 7i"*,45. Nous aurions pu borner tout ce calcul à 5 décimales.
Si l'on ne connaissait que la distance au zénit cT, prise au pointue, il faudrait recoorii: à la formule (6) , ou à celle (7). Dans ce dernier cas et en supposant le coefficient tz de la réfraction = 0,08, on aurait
rfJV= K cot (/-f- 0,08 C — 0,5 C) = JC cot (eT— o,4a C),
^= 100^,278767 log/iC= 4>4^49^
— 0,42 C= — o ,119541 — l.tang 15^9228 = — 7,39813
Enfin , si Ton n'avait que J"', et que l'on nivelât de ^ en JS, on aurait la différence cherchée par la formule
rfJV^ = — JS: pot (cr'+ r— i C),
^ = 99^ 959624 - log a: = — 4,4549a
— 0,42 C= — o ,11954* +!• tang 16^9917 = + 7.4oooi
€^'— o,4aC= 99,a4oo83 — 1,85493 = — 7 i",6o.
En prenant un milieu entre ces deux derniers résultats , l'on retombe sur le premier : ils seraient identiques, en employant la valeur exacte de n déduite des deux distances zénitales cT, S' (art. 216).
Si dans cette dernière formule on eut fait précéder K du signe positif, la valeur de S'aurait été elle-même positive, et pour lors elle eût exprimé que le point ^ est plus élevé que le point de station B.
Dans le calcul d'un réseau trigonométrique , on a toujours soin de faire de fréquentes vérifications de tous les résultats qu'on obtient: par exemple, la différence de niveau des sommets des signaux ériges
aux points A^ B du triangle ABC (fig. 34) , après avoir été déterminée directement par la distance AB, se vérifiera en passant par Je point C, c'est-^-dirp au moyen des ëeux différences de niveau des points A y G et des points C, B.
Quand on emploie à cet effet des distances zénitales moyennes et réciproques , résultantes d'observations faites dans les momens les plus convenables et avec un bon instrument, les limites des discordances sont tellement resserrées, que Pon peut répondre des différences de niveau à 2 métrés près dans les triangulations primaires, ainsi que le prouveril tous les registres géodésiques du Dépôt de la Guerre : alors^ la recherche du coefficient de la réfraction terrestre perd un peu de son importance. Ce coefficient, assujéti à toutes les vicissitudes atmosphériques, varie tellement à certaines époques, pendant la présence du Soleil, et surtout dans les lieux bas et humides, que quand on parviendrait, a l'aide de plusieurs milliers d'observations, à en déterminer la valeur moyenne d'heure en heure dans chaque saison , la probabilité de l'exactitude d'une différence de niveau calculée par une seule distance zénitale prise isolément, serait encore extrêmement faible ; puisque la réfiraction vraie peut différer sensiblement de la réfraction moyenne. Il n'y a donc pas de doute que les distances zénitales réciproques ne soient de beaucoup préférables dans les nivellemens géodésiques importans.
226. Nous venons d'obtenir la différence de niveau de deux points d'où l'on a pu observer simultanément les distances réciproques au zénit : cherchons maintenant celle de deux objets inaccessibles, mais dont on a les distances rectilignes aux centres des stations.
Du point A ( fig. 48 ) on a observé les distances zénitales des points Dy C'y l'une de 100^,367, et l'autre de 100^,8891. On demande Ja différence de niveau de ces deux points; sachant d'ailleurs que leurs distances à la station A sont respectivement de 28io8",2i et de 6448'",5i, et que le coefficient de la réfraction était ce jour-là de 0,08, à fort peu près. On a
K == a8io8-,2i, K, = 6448-,5i,
cr= 100^,367, cT, == 100^,8891,
rfJV = ^cot(cr+ r — iC), dN, = ^,cot(cr,.f-r, — ^CO; ainsi la différence cherchée sera dN — dNi ;
Calcul de la hauteur d'un lieu d^où Von voit ^horizon de
la mer.
• 397. Du sommet B d'une montagne (fig. 47) on a observé l'angle de 100^,3545, entre l'horizon de la mer et le zénit; on demande la hauteur du centre de l'instrument au-dessus du niveau de la mer, oii sa hauteur absolue. On a, d'après l'art, sâs ,
jy-= I / (1 4- ny tang* (J" — 100),
i" = 100*^,3545 log 0,5 = 9>698()7
— 100 log^ = 6,80453
déprcsaion appar. = o ,3545 ^^6 ^^'^^^ = ^'°^^85
^ '^^ ' '^ l.tang"(/— 100) = 5,49148
log N 3= a,oGi83 = ii5'",3.
Donc le centre du cercle était élevé au-dessus de l'horizon de la mer, de ii5",3.
Pour que les hauteurs déterminées de cette manière s'accordassent avec celles obtenues par des mesures directes, il faudrait connaître la valeur exacte de n; mais conoune on est alors obligé d'employer une valeur purement hypothétique, il ne serait pas impossible qu'il y eut une incertitude de 10 à la mètres sur une grande hauteur calculée d'après une observation de l'horizon de la mer prise isolément (Base du Système métrique, tom. II , pag. 769).
328. Supposons maintenant qu'on ait déterminé, parles méthodes des articles précédens, la diOerencede niveau entre le sommet B de la montagne dont il s'agit, et un point quelconque P i ensuite la différence de niveau des points P, P'; puis des points P%P", et ainsi de suite; de manière, par exemple, que la dififereoce de niveau
entre B et P . . . . = H-a2'",6
entre P et P' = — 68-,4
entre P' et P" .•., = —37 ,1
entre P" et P"^ . . . . = + 4o',8 entre P'" et P'"'.... = +ia ,0
onaura(art.a25) + JÏ= +76 ,4 j — D = — 95,5j
par conséquent la hauteur du point P^"^ au-dessus du niveau de la 1.. 4^
mer sera, suivant la remarque de Tarticle cité,
iV^ -f- -ff — - -D = 1 1 5%3 -I- 75-,4 — 95",5 = 9&",2.
Ceat ainsi que M. Delambre a fiiit le mYellem^it d'ane centaine de points de la méridienne de France, depuis l'Océan josqu'à la Méditerranée. Il est très remarquable que cette opération, qui n'était que secondaire, et dans laquelle on s'çst abstenu d'employer tous les moyens qui pouvaient la rendre plus précise, a cependant prouvé que les niveaux des deux mers n'ont aucune inégalité sensible. Les hauteurs absolues de tous ces points sont comptées à partir de la laisse de basse mer ; il faudrait les diminuer de 0^,97 pour les rapporter au niveau de la mer moyenne (art. i44).
Si, en faisant la triangulation d'un pays, l'on ne pouvait se procurer, par des mesures géométriques , la hauteur absolue d'aucune station , il faudrait alors recourir à l'usage du baromètre. Nous parierons des mesures barométriques, dans la seconde partie de cet Ouvrage.
Les hauteurs des objets au-<lessu8 d'un plao de comparaison sont principalement utiles pour former le relief ^une carte topograpfaique. Les distances à la méridienne et à la perpenJKcidoâre, et ces hauteurs s'enregistrent dans un même tableau , afin de reconnstoe sur-lechamp les trois coordonnées de chaque liea.
a« HYPOTHÈSE.
Ut Terre étant un ellipsoïde de révolution.
229. On pourrait craindre que les conséquences déduites de la théorie précédente, dans laquelle nous avons fait abstraction de l'aplatissement de la Terre, ne fussent pas assez exactes dans la pratique. Pour dissiper tous les doutes à cet égard, nous allons envisager la question sous son véritable point de vue.
En considérant la Terre comme un ellipsoïde de révolution , la différence de niveau de deux points, l'un étant sur sa surface, est mesurée par la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'autre point sur cette surface. Par les opérations géodésiques, on obtient leur plus courte distance au niveau des mers, ainsi que leurs positions géographiques : alors la corde de cette plus courte distance et la hauteur cherchée sont les deux côtés d'un triangle rectiligne donné de position, et dans lequel on peut connaître en outre, par
robservation, Tangle qiie le troisième côté fait avec la hauteur ou la verticale dont il s'agit. Relativement à la sphère, ce triangle serait invariable, toutes choses égales d'ailleurs, quelque part qu'il fût situé et quelque direction qu'il eût; mais il n'en est pas de même à l'égard du sphéroïde.
a3o. Il résulte de la théorie exposée à Part. 167, que si Met M' (fig. 4o) sont les extrémités d'une h'gne géodésique K ayant pour latitudes JET, H' y et que /», /' soient les longueurs des normales MN^ M'N' comprises entre ces points et ceux où elles rencontrent Taxe de rotation, l'on a
(1 — c»sin*i&)^' (i— c*siii»fl^')*"*
Nous avons vu en outre à l'art. 189, que la différence de ces deux normales est du second ordre. Cherchons, par un procédé analogue , la différence de la normale / du point Mk l'oblique M'N=^ /, du point J!f', parce qu'elle nous sera utile.
D'abord, en vertu du triangle NM'N'y et de ce que l'angle JVi^f'^^'=^I/, ona
{cosB' ^
'^* "^ C08 (H' + 4) CO8 %Ki — tang 4^ tang IT)
= / séc 4 (^ H- t^ûg 4 t^g ^' +•••); ou à cause de la petitesse de 4 >
fi = f' (1 -+-tang4tûngjEf')
= a[(i-l-ie*8in*J5r+ftf*sin*jr...)](i + tang4tangJï%
ou encore
/. = a fH-i^8În'jBr4-|^8in*^+tang4tangJï'> t H-^c*sin'H'tang4tangfr' J"
D'un autre côté, le théorème de Maclaurin donne
et puisque
f = a [i + i <5' sin* jff-f- 1 e^ sin* JÏ4-. . •], on a
'^'^ a [«• sin ir cos JW -i- i e* sin» H' cos H'] ,
par suite ,
/^ = a[i4-i^*8În*^'+|^8În*J3'...] + ae'sinir'cosir'.Afr+a Çcos'JEf'.A^*
et par coDséquent
— ^ sin» JÏ'.A-ff»— tang 4 tang H'\;
+ |c^8m»JÏ'cosJff'.AH
— ie»sm»J5r' tang4 tangir'
d'ailleurs, par Part. igS, et à cause de tang 4 = ^^ — à très
peu près , on a en fonction de jff',
tang 4 tang fi^' = 5* sin jBT' cos fi^' . AJSr— i e» sîn» ^ . A J5r»
+ e* sin' JST' cos -ff'. A^; ainsi, définitivement
f^f, = a(ie^ cos» H' . ù.ff' + ^e^ sin' ff' cos H'.LH \
\— ^4 sin' H' cos H'.LH—'le^ sin' Jï' cos JJ ^ AF j
expression exacte aux quantités près du quatrième ordre, et qui, en mettant pour i^H^zH-^lF sa valeur approchée (art 19a), devient
/> — />, ==/x===^a^ ^* cos» jBr'.cos»Z===5e» — cos* ZT ces* ^.
Si Ton avait -£"=60000", il s'ensuivrait que fi = o"*,3cos*Zf ' cos»Z j il est donc tout-à-&it inutile de tenir compte des termes négligés.
aSi. PROBLèMB I. Déterminer la réfraction terrestre par deux distances zénitales réciproques.
Au point ikf (fig. 49), on a pris la distance zénitale ^ du point M\ et à celui-ci on a observé au même moment la distance zénitale J ' du point M\ on demande le coefficient de la réfraction.
Kous supposerons toujours que la trajectoire MM\ décrite par
un rayon lumineux, a très peu d'étendue , et qu'elle se confond sensiblement ayec son cercle osculateur ; ainsi , les réfractions aux points jSf, M sont égales (art. 3i4). Si donc un de ces angles est désigné par r, les distances zénitales vraieà seront cT -f- r, <r' -f- r. Ces deux distances zénitales n'étant pas en général situées dans un même plan, rien ne les lie entre elles ; mais soit cr,4- r l'angle MMVx formé par la corde MM et l'oblique iVJ^'/^.; alors dans le triangle recliligne NMM on aura évidemment, en Êdsant MNM = C,
j^^-r + cT, + r= aoo' •+• C, d'où
r=3oor + ^-(i±.^); delà/ + r=ioo+£ + (î:r^).
Reste à trouver la relation qui existe entre cT, + r et cT' -|- r; car /. n'ayant pu être observée, il faut éliminer cette distance zénitale auxiliaire de la valeur précédente de r.
Four cet effet, l'on remarquera que dans le triangle sphérique mniï (fig. 60), on a (z' étant l'azimut de ilf sur l'horizon de M y compté du nord vers l'est),
cos («r, + r) = cos 4 cos (J^' + r) + sin 4 sin {^' -j- r) cos z% ou en supposant cos «4/ = 1 , cos (/, + r) — cos (cT' 4- r) = sin 4 sin (<r' + r) cos z'
âsm
in("^i=- + r)sm(— -^);
or, i"^ et ^' devant dififêrer très peu l'une de l'aujtre, on a, par une première approximation,
sin 4 sin (cT' 4- r) cos z'=3sin {^-^r) sin (cT'— J^,),
et même
<r' — «r, = 4 cos z', ou éT, = J^'— 4 cos z\
Substituant cette valeur dans l'avant-dernière équation ci-dessus, on aura plus exactement
sin 4. sin {^' + r)co8 z' sa a sin («T-f-r— |co3 z') ain (~~)r «t par suite
sin (^ + r) 1 1 — ^cos*'cot(/' + r) J
= 4/Cos zTi -+- *co8 z' cet (/'H- r)] = 4 cos z' + H* cos* z' cot (cT' + r) î
mais comme nous sommes convenos de négliger les quantités du quatrième ordre, nous aurons seulement
partant,
d'ailleurs, on a, par la théorie développée à l'art. 199;
z' = Z — *y sin Z tang JT; de là, cos z' = cos Z + 5' sin' Z tang JET,
et = 4 cos z' = e' cos' H' cos* Z.— : — i
^ ^ un 1
H- ^' cos» If COS Z sin' Z tancff. ' 5* ^
o ç» gin j»
=^' COS» H' COS' Z. — : i
( fein 1
