tang 4 C08 z' — fA

-^^^> et séo^ C diffèrent Tune et l'autre très peu de l'unité.

Cette valeur de rfZf, dans laquelle cT est supposée plus grande que^T', doit être prise positirement, lorsqu'on nivelle àtM! en M^ et^ 'Négativement lorsqu'on nivelle de Jtf en M\ c'est-à-dire quand on va^ du nord vers le sud; dans ce second cas,

dN=^ A" séc i q tang (fl=f) — ^ séc ^ C tang { e?lang*(^^^

tang 4/ cos z' +)*'. '

Les deux derniers termes de cette valeur de dN se détruisent mu-5 tuellement; en efièt, à cause de

tang ^^ = a* cos* IT.AH^: e* cos' IT.-côsZy on a

^tang 4 cos z'==7 ë» cos* H'.— cos*^; d'ailleurs

(8) A* = î aa» ^ cos*a' cos';2r = i e» cos* H' . — cos* Z-, ainsi on a seulement

(9) ffiV'=Ji:séciCtang(^^-JS:8éciCtangiÇt»^g«,(^. .

Dans la pratique, on aura égard au signé cle la tangente, ce qui rendra les deux termes négatiË. » \ .- . ..;

11 suit de là, que la différence de niveau sur le sphéroïde, déterminée à l'aide de deux distances ziénitales réciproques, s'obtient comme sur une, sphère dont le rayçjp serait égal à la, noD3uale /. Cependant la vrare difiPérencê dé niveau cherchée est Bjif au lieu de bm ; mais il n'est pas difficile de voir que puisque ces déuxhauteurs sont proportionnelles aux lignes NB, J^T^^ja m^ Bjk — bm

est tout-à-fait insensible dans la pratiqua et r Bien aii^dessous des erreurs qui affectent les observations.

Il est à remarquer que la valeur ci-dessus de âKite doit être en erreur que de la moitié de la difierence qui pourrait exister entre les réfractians aux poiats itf et M'.

â54. Problème ni. Calculer la différence de niveau de deux points, à Vaide d^une seule distance zénitale.

Supposons d'abord, que le lieu ilf (fig. 49) le plus boréal SMt cebi d'où Ton a obserré la distance zénitale «T du pcMnt M' i on demande la différence de niveau BM ou bm\ toutes choses d'ailleurs étant comme dans le problème précédent

Le triangle mNm' donne

OU bien, à cause de / = f 1 + f^»

dN^ ïln(>+r) f^

— «cot(/+r— ^)

coa i cFi +tangi Ccot (l+r ^Vl

= — jr sec ^ Ccot (cT+r— ^

+A^8éciCtangiCcof(cr+r— ^)— A*;

ou changeant le signe de cette valeur , puisqu'on nivelle du nord vers le sud, et que J" est obtus dans la figure,

(10) (/iyr=is:séciCcot(€r+r— I)

— iS: séc i Clang -i Ccot»(€r+ r— I) 4- /M.

On aura , dans l'un comme dans l'autre cas , égard au signe de la cotangente.

Le terme /jl n'est pas détruit comme dans la question précédente j mais il n'y aurait aucun inconvénient à le négliger , car il est du troisième ordre , et le plus souvent en deçà des limites des erreurs d'observation : d'ailleurs l'enxur de rhypothèsc à faire dans ce cas

âm le coeflkient de la réfraction, l'emportera souTent sur la râleur de oe terme.

On déduit, comme conséquence dé cette formule, celle (9) dé« pendante de deux distances zénitales , et cela en remarquant que

j K tang 4 <5<>6 ^ — ft 2= G.

Supposons ea sjecond lieu^ que Pon connaisse seulement la distance

zénitale /^ observée du point M'i il est aisé de voir que Ton aura^ en nivelant du nord au sud,

(11) ijy=: — iR:séciCcat(cr'-f-r~Ç)

— A'séciCtangiCcof^cT' + r — j)— /*.

Concluons de là, que la formule pour déterminer, sur le sphéroïde, la différence de niveau de deux points par une seule distance zénitale, est dépeiMlant€i de rapiatiasemont, soit qu'on nivelle dv nord vers le sud, soit qu'on nivelle en sens opposé. M. Delambre a déduit de ses calculs une conséquence toute cootraire , pag* ^^46 et 7^9 .du tom. II de la Base du Système métrique décimal; mais il est aisé de voir que c'est par une légère inadvertance. On remarquera en outre que le signe du terme fe qui contient l'aplatissement, dépend de l'espèce deFangle observé. A cet égard, «1 peut établir pour règle générale, i"". queai la diaitanceaénitalex>bservée est > xoo^, le terme fjL est de signe contraire à celui du premier terme de la valeur de dN\ a*, que si cette distance zénitale est < loo', ces deux termes ont le même «igné.

a35. Des deuxformules (10) et{ii), dans lesquelles on négligerait la réfraction r, la première relative à cT > 100^ donnerait évidemment une hauteur dN trop faible de toute la quantité due à cette réfraction, dans Hnypotliése que la densité de l'air décroît à mesure qu'on s'élève; et la deuxième, relative à J" < loo', donnerait une hauteur dHtxoç grande de la môme quantité ; ainsi in demi -différence de ces deux valeurs est précisément la correction à faire à l'une des hauteurs calculées. Or, soit Lh cette correction; comme elle sera donnée en mètres, on l'obtiendra en secondes par la formule suivante :

(12) r = -rr-^ — y;

37a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

K étant la distance des deux points Mj M, C'est la une des méthodes que Méchain employait pour déterminer la réfractioD terrestre.

236. Problème ir. Déterminer la hauteur d^un lieu d^où Von voit rhorizon de la mer.

Examinons, comme dans le problème précédent, les deux cas qui peuvent se présenter. Pour cela, supposons que la station Jlf soit boréale par rapport au point de l'horizon observé Jfcf (fig. Sa), point dont la distance zénitale apparente est cT; alors la hauteur cherchée N sera représentée par ^M^ et le triangle rectiligne MNM' donnera^ à cause que Tangle MM' f^x = loo* — 4 cos %' s^ xoC — 6,

^ C.[cog9— coi(fl + Q] .,, ^^ coa (ô + C) ^

Cl C^*^* * ( * —cos C) + sin 9 sîn C]

^" cos d cofl C [i — tang ô tang CQ ^

ou simplement, à cause de la petitesse des angles C etd,

= i/.tang'C+f, tango tang C — ji*} mais dans le triangle dont il s'agit, «T -f- '^ = loC + fl + C, ou

«T + nC= 100» + 9 4- C, d'où C= fz:i.°° - ®

I— Il

amsi

JV = i /. tang» (i— i^-J) + f, tang G tang (~i~) — ^

■ > . /^ — >co\ . „ . (^ — 100)

= î /. tang* ("TziTr) — /*• ^^"S ^ *3°S (J^nT

+ f. tang 9 tang ( ."^T ) ~" '*'

La valeur moyenne du coefficient « de la réfraction étant seulement de 0,08 environ, il s'ensuit que le deuxième et le troisième ternie

de cette valeur se détruisent sensiblement; ainsi on a seulement

et si l'on mettait / au lieu de /, , l'on ne négligerait encore que des quantités absolument insensibles dans la pratique.

Le cas où le lieu de l'observation est au sud, c'est-à-dire en Jf ' (fîg. 55), se traite de la même manière. Soit alors «T' la distance zénitale observée j . l'angle auxiliaire iHM'/^, sera J^, + r, et la hauteur cherchée iV'sera -^'Af' ou ^*'M'. De plus le triangle MM'N donnera

AT— C — Cicoa^ g(t— cosQ , ■'^ — côsT cosC ^^ ^

2g sin* î C , * . 1 /^ I

= |tang* C + M.\ et comme cT, + r = 100» + C, ou cT, + tiC = 100 + C, d'où

p /, — 100 y — loo — Q

il s'ensuit que

A7 c taDg^(^— lOQ — ») • ^ j. - tang*(/^— 100)

-:.pbinafl tang(ir^ — 100) ,

— /tang« — (TITiïp '"'*>

ou seulement

N= |%^l7;°°^ - f tang Ô tang (J- - loo) + ^.

Mais la petitesse de l'angle C permet de Ëiire

f tang fl tang ( cT' — 100) = / tang fl tang C = 2/ sin ^ C tang ô

s=a K tang 4 cos 7! ^^ sfc; * ainsi définitivement

(i3') 2V = fi2^-=^ - Atj

formule qui est la même que la précédente j parce que la différence de / à /i peut, conune nous l'avons déjà dit, être considérée conune nulle.

A la rigoear, les dtstanoes zénîtales a{>pareiite8 ^^ J^, priaes an même moment au point Jf, Tune vers le sud, l'autre vers le nord, ne doirent pas, en général, être les mêmes sur le sphéroïde; mais leur différence est si petite qu'elle échappe nécessairement aux observations; ainsi les termes du quatrième ordre, rc^etés des formules (i5) et (i5'), et de toutes celles qui précèdent, sont très inutiles.

a37. Il résulte de cette analyse , ï"". que les Iformules pour calculer les différences de nireau sur le sphéroïde de révolution, sont les mêmes dans tous les sens du nivellement ; a**, que ces formules ne renferment plus les termes dépendans de l'aplatissement de la Terre, si on 7 introduit deux distances zénitales réciproques; ou bien si, en ne faisant usage que d'une seule distance, on opère dans le sens des parallèles ; S"*, enfin, que la correction d'aplatissement, lorsqu'elle paraît nécessaire , étant presque toujours au-deasous des erreurs des observations, le nivellement trigonométrique pent, dans tous les cas , être considéré comme ayant lien sur une aphére dont le rayon est égal à la normale comprise entre le point d'où l'on observe et Taxe de rotation de ta Terre.

Il paraîtrait cependant convenable d'introduire dans les formules précédentes, au lieu de la normale dont il s'agit, le rayon de courbure de la ligne géodésîque K <d)tena à l'art 187. Sifon prenait ce parti, on aurait

/>, / etZ ayant ici les mêmes significations qu'aux art. 187 et 192: mais après tout, ce serait compliquer, le calcul sans avoir l'espérance de parvenir à de meilleurs résultats ; puisqu'il existera toujours, quoi qu'on fasse, une petite incertitude sur les distances zénitales employées conune clémens des dîflërences de niveau.

Nous Icfons remarquer , en terminant cette matière, que la série (fi) trouvée à Fart. 218 , et qui donne la dîfïerence de niveau par deux distances zénitales , se compose de termes dont les valeurs numériques sont toutes positives ou négatives, selon que le second point est plus, élevé ou plus bas que le premier ( art. a33); il en est de même de la série (6) , art. 920 : ainsi en assujétissant à cette règle le sccodd calcul de c/iV donné à l'art. 224 , on a exactement

dm = — 7 1"',4488 — o'",ooo4 = — 7 x",4492 ,

comme par la premiùrc solution.