LIVRE DEUXIÈME

est lui-même négatif, et le cosinus est positif oti négatif selon que cet angle est aigu ou obtus. Quant aux signes des autres lignes tri* gonomé triques, ils dépendent évidemment de ceux du sinus et du cosinus.

Remarquez que la plupart des formules précédentes ne sont pas homogènes, parce que le rayon des tables, représenté par l'unité, en est éliminé ; mais, si l'on veut, il sera facile de rétablir l'homogénéité, en désignant ce rayon par Jf?, et l'introduisant comme facteur, ainsi que ses puissances, dans tous les termes où le nombre de dimensions est moindre. Par exemple, la première du tableau s'écrirait ainsi :

Jî sin (j[7 db ^r) = sinp cos q de cosp sin g,

et la troisième deviendrait

sin*/? -{- sin* y = /?■; cela est évident.

Le rayon des tables pris pour unité, Êiit que les logarithmes de sinus et cosinus sont ceux de nombres fractionnaires. Dans cette hypothèse on a

log 0,1 = 9,0000000 =s log sin 5* 44' a 1'', 02 , log 0,01 = 8,0000000 = log sin o . 54 . 3a , 6g, log 0,001 = 7,0000000 = log sin o . 3 . a6 , a6, log 0,0001 =: 6,0000000 = log sin o . o.ao ,63, etc.

Cest ainsi qu'à l'avenir nous considérerons les logarithmes des fractions plus petites que l'unité, quoique quelques auteurs emploient à cet égard des caractéristiques négatives , ou des logarithmes entièrement négatiÊ ; voyez l'explication qui précède les Tables de Logarithmes.

Résolution des triangles rectangles.

47. Avant de considérer en particulier les triangles rectangles, cherchons les relations qui existent entre les côtés et les angles d'un triangle rectiligne quelconque, et, pour cet efiet, partons de ces deux propriétés connues , savoir :

Dans tout triangle rectangle, i'. le quarré de l'hypoténuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés.

So TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

fi*. Le cosinus d'un des angles aigus est égal au côté adJMëni divisé par Vhypoténuse, en supposant le rayon des tables égal à l'unité.

Soient désignés para, hj des trois côtés d'un triangle rectiligne quelconque ( fig. 12 ); par -^, fl, C les angles qui leur sont respectivement opposés; par x le segment -^J5, formé par la perpendiculaire CD y et par/ cette perpendiculaire; on aura évidemment-^

jK* = i* — ^% y^=^a^ — (c — xYy

et par conséquent en égalant ces deux valeurs y

a* = i* -f- c* — 2CX, on a* = i* + c* — 2hc cos ^y

à cause de x = J cos ^. Il résulte de là que le quarré d'un des côtés d'un triangle rectiligne quelconque est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés , diminuée du double produit de ces mêmes côtés multiplié par le cosinus de V angle qu'ih forment entre eux y en supposant toutefois le rayon des tables égal à Tunité et l'angle ^ aign.

Les trois équations cherchées sont donc

a* = 6* -f- c* — 2 Je cos A J*==a*-|-c* — aaccosiî ) {A)\ c* = a' + b^ — aaft cos C

ainsi, lorsque parmi les six parties d'un triangle trois seront connues, savoir les trois côtés, ou deux côtés et un angle, ou bien deux angles et un côté, on pourra déterminer les trois autres parties.

Lorsqae le triangle ^BC est rectangle, ces équations se simplifient beaucoup; en effet, soit ^= i% on aura cos Az=,o^ et partant

c — a cos 5= G > iJB).

b — acosC=o j

On retombe donc sur les deux théorèmes desquels on est parti, ce qui doit être ; mais alors cos £= sin C. Ainsi de ces deux dernier» équations l'on tire

ôm C= -, cos C= -;