LIVRE DEUXIÈME
^où Ton tirera, après avoir extrait la racine quarrée de part et d'autre, et multiplié le second membre haut et bas par a y
sm .^ = a X ^ ^ ^^^ H
mais si, pour abréger, Ton désigne par Jf toute la fraction qui multiplie a, on aura
sin A = aM\
or, la quantité Jlf étant une fonction symétrique des trois côtés du triangle, et par conséquent invariable, on en concluera pareillement
sin jB = 6 Jf , sin C = cM\
donc ^î^ =r ^, ou sin ^ : sin jB :: a : 6 ;
donc enfin, dans tout triangle rectiligne, les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés.
De la proportion précédente, on tire siu'-le-champ cette autre
sin u^+ sin i? : sin ^ — sin jB :: a + 6 : a — 6, d'où
a + 3 sin A -4- sin jB^
a — b "^ fiin A — sin B^
mais, par le tableau des fonctions circulaires (art. 45), on a
lin A + sin B tang j (^ + j?)
«in^ — sinjff "^tangi (^— S) '
ainsi
a+fr tangK^ + ^) o— 6~tangiC^ — -fl)'
ou aH-6:a — J::tang|(-^H-5):tangi(^ — B):
et en langage ordinaire :
La somme de deux côtés quelconques d^un triangle rectiligne est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces mêfnes côtés esta la tangente de leur demidifférence.
De là on tire, à cause de "^ = i^ — . --,
54 TRAITÉ DE OÉODÉSIE.
Cette formule se rapporte au cas où l'on ooapait deux o6tés a, 6 et Tanglo compris C; c'est-à-dire qu'elle donne le moyen de trouver la demi-diflerence des deux angles inconnus j4^B: or, on a d'avance
leur demi-somme, puisque i{J -{- B)=: i^ ^^ ^ C-, ona donc tout ce qu'il faut pour déterminer ces angles, et il est évident que
le plus grand angle = "*"^ + ,
le plus petit angle = -^ ^— ?.
Si les deux côtés a , b sont connus par leurs logarithmes , ainsi qu'il arrive fréquemment dans la pratique, on pourra se dispenser de chercher les deux nombres correspondans pour calculer la formule précédente : voici alors comment il faudra opérer.
On considérera a, b comme les côtés d'un triangle rectangle, et en désignant par ^ l'angle opposé au côté a, on aura
tangf =j;
cet angle sera plus grand qu'un demi-quadrant, puisque l'on supr pose a > 6, et voilà pourquoi nous égalons à une tangente la quantité
fractionnaire p donc, à cause de tang {(f> — ôo») = /^tat^ tang 5or > et de tang Se' = i , on aura
tang((p — 5o') = |^-|; mais par ce qui précède,
a — b tang \ a /^
donc
tang (^1=:?) =: cot i C tang ((p ~ 5o^),
formule qui donnera de même la valeur de >■ ~ - ■ * 5o. Maintenant, si dans l'équation
qui fait connaître un angle au moyen des trois côtés , l'on met , au
