LIVRE DEUXIÈME

lieu de C08 A sa valeur i — a sin* v A^ on aura, en changeant les signes de tous les termes, et en laissant seulement sin*^^ dans le premier membre,

. ^, . a* — 6*~r» + 3Jc a^ — {h — cY Sin-1^=: ^^ = ig^— -.

Le numérateur du second membre étant le produit des deux facteurs (a + i — c), (a — i 4- c), on donnera à cette équation la forme

(fl 4" i — c\ /a — 6 + r\ i )\ 1 )

mais — i- = —^ — ^ h. et — ^- = —^ — — c:

si donc Ton désigne a-^r^^ c par ap, on aura, après avoir extrait la racine quarrée,

formule qui peut être calculée facilement par les logarithmes, et qui donne très promptement un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés. Si l'on y restitue l'homogénéité, et qu'on l'énonce en proportion , il en résultera que dans tout triangle rectiligne, le produit de deux côtés quelconques est au produit des différences de ces mêmes côtés au demi-périmètre^ comme le quarré du rayon des tables est au quarré du sinus de la moitié de V angle que ces côtés comprennent

On peut exprimer d'une manière analogue le cosinus et la tangente de î A : en effet, puisque i + cos^= acos* y -^, on aura, en mettant ici pour cos^ sa valeur en fonction des trois côtés,

'^'^ ^Tc = 2C0S'i^,

d'où cos' \ A = ^^ -jr^ ;

puis procédant comme ci-dessus , il viendra

ces 1 ^ = ^(-. +^+ cH7+7^:T) — . /p -(p— g) .

et à cause de Îî2i^=tang î u^, il s'ensuit que l'on aura

5i. S'il était nécessaire de connaitre les segmens formés parla perpendiculaire CD du triangle ^BC {û^. la) , on j parviendrait de la manière suivante :

De la formule primitivement obtenue (art. 47) , savoir ,

et qui peut s'écrire ainsi :

(a + h)(a — b)=:c(c — 2^), on tire cette proportion facile à graver dans la mémoire,

c:a + b lia — h\c — ax.

C'est-à-dire que quand la perpendiculaire CD tombe dans rinlérieur du triangle, la base ou la somme des deux segmens est à la somme des deux autres côtésy comme la différence de ces mêmes côtés est à la différence des segmens.

Soit donc d cette dernière différence; on aura

le plus grand segment = — ~— , le plus petit segment =

5a, On s'assure bien aisément, par l'analyse, que la seule connaissance des trois angles d'un triangle rectilîgne ne suffit pas pour en déterminer les côtés; car si dans les trois équations {^) l'on considère a, by ccommeles inconnues du problème, et que l'on ajoute la première équation à la seconde, la première à la troisième, et la seconde à cette dernière; ensuite que Ton divise respectivement ces trois sommes par ac, a6, aa, l'on aura les équations suivantes du premier degré :

c — b cos A — a cos S = o )

b — c cos ^ — a cos C = o > (C).

a — c cos B — b cos C = o j

Mais parce que celles-ci ne renferment aucun terme tout connu, les