LIVRE DEUXIÈME

valeurs de a , & , c qu'elles fourniraient seraient nécessairement in^ déterminées ; et Ton aurait pour le dénominateur commun de ces valeurs

1 — cos' A — cos' B — cos' C — acos A cos B cos C = o :

c'est en même tems la relation qui doit exister entre les trois angles d'un triangle rectiligne, pour que leur somme soit égale à deux droits. {Application de V Algèbre à la Géométrie , par M. Lacroix, p. i4i.)

Diverses expressions de Vaire d'un triangle rectiligne.

55. Soit <y Faire du triangle rectiligne^5C (fig. 13), et^ sa hauteur; on aura

fl a '

mais yz=zh un A\ donc

S=^\hc%\VLA (1).

D'ailleurs à cause de sin C : sin j? :: c : 6, on a & = ^^^i et

sin C

Telles sont les deux formules qui donnent Taire d'un triangle rectiligne, connaissant deux côtés et l'angle compris, ou bien un côté et les deux angles adjacens; mais il est utile en outre d'avoir la valeur de S en fonction des trois côtés. Or, si dans la formule (1) l'on met d'abord pour sin A sa valeur asin \ A cos ^ -^, on aura

• 4S= Je sin^ ^cosj^.

Ensuite, si pour sin 7 ^ et cos 7^ on substitue leurs valeurs trouvées à l'article 5o, on obtiendra sur-le-champ

5= Vp(p-'a){p — b){p'-^.

Tous les théorèmes précédens peuvent sans doute se déduire de la simple Géométrie, et plusieurs même dérivent de constructions fort élégantes j aussi n'avons nous adopté dans cette circonstance la méthode analytique qu'à cause de sa fécondité, et que parce qu'elle fournit de la manière la plus simple toutes les formules trigonométriques connues.